北航线代期末考试模拟题1(含答案).pdf

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1、线性代数期末考试模拟题一一、单项选择题1设 A 为 3 阶方阵,数 =2,|A|=3,则|A|=（）A24;B 24;C6;D 6.2设 A 为 n 阶方阵,n1+n2+n3=n,且|A|0,即123AAAA,则 A-1=()A111213AAAA;B111213AAAA;C131211AAAA;D131211AAAA.3设 A 为 n 阶方阵,A 的秩 R(A)=r n,那么在 A 的 n 个列向量中（）A必有 r 个列向量线性无关;B任意 r 个列向量线性无关;C任意 r 个列向量都构成最大线性无关组;D任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出.4若方程组 AX=0有非零解,则 AX

2、=(0)（）A必有无穷多组解;B必有唯一解;C必定没有解;DA、B、C 都不对.5.设 A、B 均为 3 阶方阵,且 A 与 B 相似,A 的特征值为 1,2,3,则(2B)-1特征值为()A2,1,32;B.12,14,16;C1,2,3;D2,1,23.6.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 R（A）=R（B），则（）AAB=BA;B存在可逆矩阵 P,使 P-1AP=B;C存在可逆矩阵 C,使 CTAC=B;D存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B.7实二次型2123222132122,xxxxxxxxf是（）A正定二次型;B半正定二次型;C半负定二次型;D不定二次型.8设 A,B 为满足 AB

3、=0 的任意两个非零矩阵,则必有（）AA 的列向量线性相关,B 的行向量线性相关；BA 的列向量线性相关,B 的列向量线性相关；CA 的行向量线性相关,B 的行向量线性相关；DA 的行向量线性相关,B 的列向量线性相关.二、填空题若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_;2.设 n 阶矩阵 A 满足 A22A+3E=O，则 A-1=_;3.设1230,3,1,2,1,1,2,4,3,0,7,13TTT，则321,的一个最大线性无关组为 _;4.设0是非齐次方程组 AX=b 的一个解向量，rn,21是对应的齐次方程组 AX=0的一个基础解系，则0,1,2rn线性_;5.设1

4、,2为 n 阶方阵 A 的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为 X1，X2，则 X1+X2_矩阵 A 的特征向量。，6.设 A 为 n 阶方阵，若 A 有特征值1,2,n，则|A2+E|=_;7.n 维向量空间的子空间W=(x1，,x2,xn):12200nnxxxxx的维数是_;8.设123123123123(,),(,24,39)AB如果|A|=1,那么|B|=_.三、解矩阵方程BAXX2，其中001121011A，302031B.四、设方程组.,13221321321xxxxxxxxx问当取何值时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向

5、量形式表示）.五、已知二次型,222123123121323,553266fx x xxxxx xx xx x，(1)写出此二次型对应的矩阵A;(2)求一个正交变换x=Q y,把二次型 f(x1,x2,x3)化为标准型.六、设)1,1,1(1，)2,1,0(2，)3,0,2(3是 R 3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交组.七、设 A 为 n 阶方阵,求证:A2=A 的充分必要条件是:R(A)+R(A-E)=n.试题一参考答案一.1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.A 二.1.0 2.A1=23EA3.21,3,4.无关5.不是6.22212(1)(1)(

6、1)n7.n 2 8.2 三.解由BAXX2，得BXAE)2(.因为03201101011|2|AE，所以矩阵AE2可逆，BAEAEBAEX|2|*)2()2(1 =11331230032111012312031.四.解:222125422451512120111(1)(10)(1)(4)0022当0A,即2(1)(10)021且10时，有唯一解.当(1)(10)02且(1)(4)02，即10时，无解.当(1)(10)02且(1)(4)02，即1时，有无穷多解.此时，增广矩阵为122100000000原方程组的解为12123221100010 xxkkx(12,k kR)五.1.二次型 f 所

7、对应的矩阵为：513153,333A2.可求得det()(4)(9),AEA于是的特征值1230,4,9,特征向量1231111,1,1.201ppp将其单位化得1111616,26pqp2221212,0pqp3331313.13pqp故正交变换为：112233111623111,62321063yxyxxy标准型：222349.fyy六解：易验证321,线性无关，从而可施行施密特标准正交化.令)1,1,1(11，)1,0,1()1,1,1(33)2,1,0(,1111222，111132222333,)1,1,1(35)1,0,1(21)3,0,2(七证法 1.充分性由 R(A)+R(A-E)=n 可得:n-R(A)+n-R(A-E)=n 则方程组 AX=0 与(A-E)X=0 两个解空间的维数之和为n,故 A 有 n 个线性无关的特征向量nii,2,10分别属于特征值0,1 存在 P(P可逆),使得:P-1AP=0Ernr于是 P-1A2P=220rn rE0n rEr=P-1AP 故 A2=A 2.必要性因为A2=A 所以 A(A-E)=0 从而n=R(E)R(A)+R(A-E)n 故 R(A)+R(A-E)=n.得证.