2020年广东省深圳外国语学校高考(理科)数学(4月份)模拟试卷(解析版).pdf

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1、2020 年深圳外国语学校高考（理科）数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（共12 小题）.1设全集Ux N*|x 8，集合 A1，3，7，B2，3，8，则（?UA）B（）A2，3，4，5，6，8B2，8C1，7D32设 是平面，m，l 是空间两条不重合的直线，且 l则“ml”是“m”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）ABCD4欧拉公式eixcosx+isinx（i 为虚数单位）

2、是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，?4?表示的复数位于复平面内（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5平面向量?与?的夹角为60，且|?|3，?为单位向量，则|?+2?|（）A?B?C19D2?6已知圆C：x2+y210y+210 与双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A?B53C52D?7函数 f（x）=?(?-1?)，?，?的图象大致是（）ABCD8 已知 x，y满足?+?+?+?且目标函数z2x+y的最大值为7，最小值为 1

3、，则?+?+?=（）A2B1C 1D 29中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4 个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A(3-2 2)?2B?16C(3-2 2)?4D?810已知函数f（x）sinxcosx+?cos2x，且函数yf（x）在-?4，?12上单调递增，则正数 的最大值为（）A12B23C32D111已知点M（1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|?|PN|=41+?，直线 ykx 与点

4、P 的轨迹交于A，B 两点，则直线 PA，PB 的斜率之积kPA?kPB（）A-23B-32C23D不确定12已知正四面体ABCD 的棱长为6?，M，N 分别是 AC，AD 上的点，过MN 作平面，使得 AB，CD 均与 平行，且 AB，CD 到 的距离分别为2，4，则正四面体ABCD的外接球被所截得的圆的面积为（）A11B18C26D27二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13已知一组鞋码与身高的数据（x 表示鞋码，y（cm）表示身高），其中m+n360 x4041424344y172175mn183若用此数据计算得到回归直线?=2.25x+a，则由此估计当鞋码为40

5、时身高约为cm14已知 m3?sinxdx，则二项式（a+2b3c）m的展开式中ab2cm3的系数为15 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，已知 2sin2A3cosA，a=?，b=?，则 B16若不等式x（e2x a）x+lnx+1 恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 已知递增等差数列an满足 a1+a5 10，a2?a421，数列 bn满足 2log2bnan 1，n N*（）求 bn的前 n 项和 Sn；（）若Tnnb1+（n1）b2+bn，求数列 Tn的通项公式18如图 1，在直角梯形ABCD 中，ADBC，BAD

6、=?2，ABBC 1，AD 2，E 是 AD的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图2 中 A1BE 的位置，使得A1C1，得到四棱锥A1BCDE（）证明：平面A1BE平面 BCDE；（）若直线A1D 与平面 A1BC 所成角为 求 sin 19已知动圆M 与定圆 C1：（x2）2+y2 1 相外切，又与定直线l1：x 1 相切，（）求动圆的圆心M 的轨迹 C2的方程（）过点 C1（2，0）的直线 l 交曲线 C2于 A，B 两点，直线 l2：x2 分别交直线OA，OB 于点 E 和点 F求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点20依据某地某条河流8 月份的水

7、文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示（）以此频率作为概率，试估计该河流在8 月份发生1 级灾害的概率；（）该河流域某企业，在8 月份，若没受1、2 级灾害影响，利润为500 万元；若受1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损1000 万元 现此企业有如下三种应对方案：（如表）试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控 1 级灾害40方案三防控 2 级灾害10021已知函数f（x）ex（sinxcosx）a

8、x（?2?）有两个不同的极值点x1，x2（）求实数a 的取值范围；（）设g（x）f（x），求证：0g（?1+?22）a请考生在第22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=-?-?=?-?（t 为参数），直线l 与曲线 C：（y2）2x21 交于 A，B 两点（1）求|AB|的长；（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为(?，3?4)，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|1x|的最大值为M，（）求M

9、 的值；（）已知a，b，c 为正数，且a+b+cM，证明：2-?2-?2-?8参考答案一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集Ux N*|x 8，集合 A1，3，7，B2，3，8，则（?UA）B（）A2，3，4，5，6，8B2，8C1，7D3【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可解：Ux N*|x81，2，3，4，5，6，7，8，则?UA2，4，5，6，8，则（?UA）B2，8，故选：B2设 是平面，m，l 是空间两条不重合的直线，且 l则“ml”是“m”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条

10、件D既不充分也不必要条件【分析】由l，“ml”，可得：“m ”或 m?，即可判断出关系解：l ，“m l”，“m”或 m?，“ml”是“m”的必要不充分条件故选：B3 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）ABCD【分析】根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论解：根据四个列联表中的等高条形图知，图形 D 中不服药与服药时患禽流感的差异最大，它最能体现该药物对预防禽流感有效果故选：D4欧拉公式eixcosx+isinx（i

11、为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，?4?表示的复数位于复平面内（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据欧拉公式，以及复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可解：?4?=cos?4+isin?4=22+22i=22（1+i），则?4?=?22(1+?)=?(1-?)(1+?)(1-?)=?1+?2=22+22i，对应点的坐标为（22，22）位于第一象限，故选：A5平面向量?与?的夹角为60，且|?|3，?为单位向量，则|?+2?|（）

12、A?B?C19D2?【分析】由|?+2?|=?+?+?，带值计算即可解：平面向量?与?的夹角为60，且|?|3，?为单位向量，即|?|1，由|?+2?|=?+?+?=?+?+?=?故选：B6已知圆C：x2+y210y+210 与双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A?B53C52D?【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离dr，列方程求出离心率e=?的值解：双曲线?2?2-?2?2=1 的渐近线方程为bxay0，圆 C：x2+y210y+210 化为标准方程是：x2+（y5）24，则圆心 C（0，5）到直线bxay0 的距离为dr；

13、即|0-5?|?2+?2=5?=2，解得?=52，即双曲线的离心率是e=52故选：C7函数 f（x）=?(?-1?)，?，?的图象大致是（）ABCD【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得x+时，有 f（x）ln（x-1?）+，排除 BC，求出 f（1）的值，排除D，即可得答案解：根据题意，函数f（x）=?(?-1?)，?，?，当 x1 时，有 f（x）ln（x-1?），x+时，x-1?+，有 f（x）ln（x-1?）+，排除BC，当 x1 时，f（1）ecos=1?，排除 D，故选：A8 已知 x，y满足?+?+?+?且目标函数z2x+y的最大值为7，最小值为 1，则?+?+?=（）A2B1

14、C 1D 2【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y 表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可解：由题意得：目标函数z2x+y 在点 B 取得最大值为7，在点 A 处取得最小值为1，A（1，1），B（3，1），直线 AB 的方程是：xy20，则?+?+?=-2故选：D9中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4 个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（）A(3

15、-2 2)?2B?16C(3-2 2)?4D?8【分析】如图所示，设正方形的边长为2，其中的4 个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可解：如图所示，设正方形的边长为2，其中的4 个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r，故 BEO2EO2Or，BO2=?r，BO2+O2OBO=12BD=22，?r+r=22，r=2-22，黑色部分面积S（2-22）2=3-222，正方形的面积为1，在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为3-2 22，故选：A10已知函数f（x）sinxcosx+?cos2x，且函数yf（x）在-?4

16、，?12上单调递增，则正数 的最大值为（）A12B23C32D1【分析】化简函数f（x）可得?(?)=?(?+?3)+32，结合题意可得?12-(-?4)=?3?2=12?2?2?，整理可得?32，同时?32?(-?4)+?3?+?3?32?12+?3，整理可得 1，由此得出正确答案解：依题意，?(?)=12?+32?+32=?(?+?3)+32，又函数 yf（x）在-?4，?12上单调递增，?12-(-?4)=?3?2=12?2?2?，?32，?32?(-?4)+?3?+?3?32?12+?3，即-5?12?+?37?12，?12+?3?2，得 1故选：D11已知点M（1，0），N（1，0）

17、，动点P（x，y）满足：|PM|?|PN|=41+?，直线 ykx 与点 P 的轨迹交于A，B 两点，则直线 PA，PB 的斜率之积kPA?kPB（）A-23B-32C23D不确定【分析】设P（x，y），由已条条件推导出：|PM|?|PN|=41+?，能求出P 的轨迹 C 的方程设出A 的坐标，求出B 的坐标，设出P，利用斜率公式化简求解即可解：设动点P（x，y），点 M（1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|?|PN|=41+?，(?+?)?+?(?-?)?+?=41+(?+1)(?-1)+?2(?-1)2+?2?(?+1)2+?2，整理，得?23+?22=?，P 的轨迹 C

18、 的方程为?23+?22=?设 A（x1，y1），直线 l：ykx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点A、B 关于原点O 对称，B（x1，y1）P 为椭圆 C 上异于 A，B 的动点，设P（?cos，?sin），则 kPA=?1-2?1-3?，kPB=?1+2?1+3?，kPA?kPA=?1-2?1-3?1+2?1+3?=?12-2?2?12-3?2?，A 在椭圆上，?123+?122=?，?=?(?-?123)，kPA?kPA=?12-2?2?12-3?2?=2-23?12-2?2?12-3?2?=2?2?-23?12?12-3?2?=-23，故选：A12已知正四面体ABCD 的棱长为6?，

19、M，N 分别是 AC，AD 上的点，过MN 作平面，使得 AB，CD 均与 平行，且 AB，CD 到 的距离分别为2，4，则正四面体ABCD的外接球被所截得的圆的面积为（）A11B18C26D27【分析】将正四面体补全称一个正方体如图，则 ABCD 的外接球球心O 即为正方体的中心，可得球O 的半径为3?，根据条件得到与面 APBQ，ECFD 平行，此时O 到 的距离为1，则可得被球 O 所截圆半径r=?-?=?，进而可得截面的面积解：将正四面体ABCD 补形成棱长为6 的正方体APBQ ECFD，则 ABCD 的外接球球心O 即为正方体的中心，故球 O 的半径 R=632=3?，因为 AB，

20、CD 均与 平行，故 与面 APBQ，ECFD 平行，到面 APBQ，ECFD 的距离分别为2 和 4，因为 O 到面 APBQ 的距离为3，故此时 O 到 的距离为1，故 被球 O 所截圆半径r=?-?=?，从而截面圆的面积为 r226 故选：C二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13已知一组鞋码与身高的数据（x 表示鞋码，y（cm）表示身高），其中m+n360 x4041424344y172175mn183若用此数据计算得到回归直线?=2.25x+a，则由此估计当鞋码为40 时身高约为173.5cm【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求出a，得到回归直线方程，

21、然后代入 40，求解即可解：由题意可知：m+n360，?=40+41+42+43+445=42，?=172+175+?+?+1835=178，将（?，?）代入回归直线可得a83.5，回归直线?=2.25x+83.5，故当鞋码为40 时身高约为2.2540+83.5173.5（cm）14 已知 m3?sinxdx，则二项式（a+2b3c）m的展开式中ab2cm3的系数为6480【分析】求定积分得到m6，再利用二项式定理求得展开式中ab2cm3的系数解：m3?sinxdx 3cosx|?=6，则二项式（a+2b3c）6（2b3c）+a6展开式中含 ab2c3的项为?a?（2b3c）5；对于（2b

22、3c）5，含 b2c3的项为?（2b）2?（3c）3，故含 ab2c3的项的系数为?22?（3）3 6480，故答案为：648015 ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知 2sin2A3cosA，a=?，b=?，则B?4【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可得（2cosA 1）（cosA+2）0，解得cosA 的值，结合范围A（0，），可求A，进而根据正弦定理可求sinB 的值，进而可求 B 的值解：2sin2A 3cosA，2cos2A+3cosA2 0，可得（2cosA1）（cosA+2）0，解得cosA=12，或 2（舍去），A（0，），A=?3，a=?，b=?，由

23、正弦定理可得sinB=?=22，ba，B 为锐角，B=?4故答案为：?416若不等式x（e2x a）x+lnx+1 恒成立，则实数a 的取值范围是（，1【分析】不等式x（e2xa）x+lnx+1 恒成立，等价于a?-?+1?-?恒成立，设f（x）=?-?+1?-?，则 af（x）min，易证 exx+1（当且仅当x0 时，等号成立），所 以f（x）=?-?+1?-?=?2?-?-1?-1=?+2?-?-1?-?+2?+1-?-1?-?=1，当且仅当lnx+2x0 时，等号成立，从而得到a1解：不等式x（e2xa）x+lnx+1 恒成立，等价于a?-?+1?-?恒成立，设 f（x）=?-?+1?

24、-?，则 af（x）min，设 g（x）exx 1，则 g（x）ex1，令 g（x）0 得，x0，所以当 x（，0）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减；当x（0，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增，故当 x0 时，函数g（x）取得最小值，最小值为g（0）0，所以 g（x）0，即 exx+1（当且仅当x0 时，等号成立），所以f（x）=?-?+1?-?=?2?-?-1?-1=?+2?-?-1?-?+2?+1-?-1?-?=1，当且仅当lnx+2x0 时，等号成立，所以 f（x）min1，所以实数a 的取值范围是：a1，故答案为：（，1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

25、17 已知递增等差数列an满足 a1+a5 10，a2?a421，数列 bn满足 2log2bnan 1，n N*（）求 bn的前 n 项和 Sn；（）若Tnnb1+（n1）b2+bn，求数列 Tn的通项公式【分析】本题第（）题先设等差数列an公差为 d（d0），根据已知条件可列出关于首项 a1与公差 d 的方程组，解出a1与 d 的值，即可得到数列an的通项公式，然后根据2log2bnan1 可计算出数列bn的通项公式，根据通项公式的特点可判别出数列bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式可计算出前n 项和 Sn；第（）题先根据Tn的表达式的特点进行转化变形，然后

26、将数列bn的通项公式代入，再运用分组求和法及等比数列的求和公式可得数列Tn的通项公式解：（）由题意，设等差数列an公差为 d（d0），则?+?=?(?+?)(?+?)=?，解得?=?=-?（舍去），或?=?=?，an1+2（n1）2n1，2log2bn an 12n112n 2，log2bnn1，即 bn2n11?2n1，n N*故数列 bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 Sn=1-2?1-2=2n1（）由（），可知Tnnb1+（n1）b2+bnb1+（b1+b2）+（b1+b2+b3）+（b1+b2+bn）S1+S2+S3+Sn（21）+（221）+（23 1）+（2n 1）（2

27、+22+23+2n）n=2-2?+11-2-n2n+1n218如图 1，在直角梯形ABCD 中，ADBC，BAD=?2，ABBC 1，AD 2，E 是 AD的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图2 中 A1BE 的位置，使得A1C1，得到四棱锥A1BCDE（）证明：平面A1BE平面 BCDE；（）若直线A1D 与平面 A1BC 所成角为 求 sin【分析】（）由已知易证A1OC 是二面角A1BEC 的平面角，利用勾股定理可证A1OC90，所以两面垂直（）建立坐标系，由点坐标可求向量?，?，?的坐标，进而可求面A1BC 的法向量?，利用线面角公式可求解：（I）在图

28、1 中，易证四边形ABCE 为正方形，所以BEAC，即在图 2中，BEOA1，BEOC，从而 A1OC 为平面 A1BE 与平面 BCDE 所成二面角的平面角，又由A1C2 A1O2+OC2知 A1OC=?2，所以平面A1BE平面 BCDE（）由（）知由，平面A1BE 平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDE BE，又 A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，得：B（22，0，0），E（-22，0，0），A1（0，0，22），C（0，22，0），由?=?得 D（-?，22，0），?=（-22，22，0）?=（0，22，-22），设平面 A1BC 的

29、法向量?=（x，y，z），则?=?=?，得-?+?=?-?=?，取?=（1，1，1），又?=（-?，22，-22），从而 sin|cos?，?|=|?1?|?|?|?1?|=2319已知动圆M 与定圆 C1：（x2）2+y2 1 相外切，又与定直线l1：x 1 相切，（）求动圆的圆心M 的轨迹 C2的方程（）过点 C1（2，0）的直线 l 交曲线 C2于 A，B 两点，直线 l2：x2 分别交直线OA，OB 于点 E 和点 F求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点【分析】（）易知M 点轨迹为以（2，0）为焦点，x 2 为准线的抛物线；（）联立直线与抛物线方程，得到E、F 点坐标，表示出

30、圆方程，令y0 即可解：（）易知M 到点 C1（2，0）的距离与到直线l：x 2距离相等，所以 M 轨迹方程为C2：y28x（）显然直线l 不与 x 轴重合，设直l 方程为：x my+2 与 y28x 联立，消去x 得：y28my160，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y28m，y1y2 16，直线 OA 方程为：y=?1?1x，所以 E（2，2?1?1）即 E（2，16?1），同理 F（2，16?2），所以以 EF 为直径的圆方程为：（x2）（x2）+（y-16?1）（y-16?1）0，令 y0 得：x24x+4+256?1?2=0，即 x24x 120，解得 x 2 或

31、x6，以 EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点（2，0）和（6，0）20依据某地某条河流8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示（）以此频率作为概率，试估计该河流在8 月份发生1 级灾害的概率；（）该河流域某企业，在8 月份，若没受1、2 级灾害影响，利润为500 万元；若受1级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损1000 万元 现此企业有如下三种应对方案：（如表）试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施

32、0方案二防控 1 级灾害40方案三防控 2 级灾害100【分析】（）记该河流8 月份“水位小于40 米”为事件A1，“水位在40 米至 50 米之间”为事件A2，“水位大于50 米”为事件A3，该地 8月份“水位小于40 米且发生1级灾害”为事件B1，“水位在40 米至 50 米之间且发生1 级灾害”为事件B2，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B3，根据频率分布直方图分别求得对应的概率，进而求得该河流在8 月份发生1 级灾害的概率；（）分别求出选择方案一，方案二以及方案三的数学期望，由期望大小即可作出判断解：（）依据甲图，记该河流8 月份“水位小于40 米”为事件A1，“水位在40 米至

33、50 米之间”为事件A2，“水位大于50 米”为事件A3，它们发生的概率分别为：P（A1）（0.02+0.05+0.06）50.65，P（A2）（0.04+0.02）50.3，P（A3）0.0150.05，记该地 8 月份“水位小于40 米且发生1 级灾害”为事件B1，“水位在40 米至 50 米之间且发生1 级灾害”为事件B2，“水位大于50 米且发生1 级灾害”为事件B3，所以 P（B1）0.1，P（B2）0.2，P（B3）0.6，记“该河流在8 月份发生1 级灾害”为事件B，则 P（B）P（A1B1）+P（A2B2）+P（A3B3）P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P

34、（B3）0.155，估计该河流在8 月份发生1 级灾害的概率为0.155（）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润 X1（万元）的取值为：500，100，1000，由（）知 P（X1500）0.650.9+0.30.75+0.05 00.81，P（X1 100）0.155，P（X1 1000）0.650+0.30.05+0.050.40.035，X1的分布列为X15001001000P0.810.1550.035则该企业在8 月份的利润期望E（X1）5000.81+（100）0.155+（1000）0.035354.5（万元）选择方案二，则X2（万元）的取值为：460，1040，由（）知，P

35、（X2460）0.81+0.1550.965，P（X2 1040）0.035，X2的分布列为：X24601040P0.9650.035则该企业在8 月份的平均利润期望E（X2）4600.965+（1040）0.035407.5（万元）选择方案三，则该企业在8 月份的利润为：E（X3）500100400（万元），由于E（X2）E（X3）E（X1），因此企业应选方案二21已知函数f（x）ex（sinxcosx）ax（?2?）有两个不同的极值点x1，x2（）求实数a 的取值范围；（）设g（x）f（x），求证：0g（?1+?22）a【分析】（）依题意，f（x）0，即 a 2exsinx 在?2，?上有

36、两个实根，构造函数h（x）2exsinx，利用导数研究函数h（x）在?2，?上的单调性及最值，作出图象，由图象观察即可得解；（）g（x）2exsinxa，利用导数可知g（x）在?2，?上单调递减，先证不等式的右边，由?2?1+?22?，可知?(?2)?(?1+?22)，结合 a 的取值范围即可得证，再证不等式的左边，先通过极值点偏移的常见证明方法证得?1+?223?4，进而得到?(?1+?22)?(3?4)=?，综合即可得证解：（）f（x）ex（sinxcosx）+ex（cosx+sinx）a2exsinx a，依题意，f（x）0，即 a2exsinx 在?2，?上有两个实根x1，x2，亦即函

37、数h（x）2exsinx 的图象与直线y a 在?2，?上有两个交点，?(?)=?+?=?(?+?4)，又?2，?，故当?2，3?4时，h（x）0，h（x）单调递增，当?(3?4，?时，h（x）0，h（x）单调递减，且?(?2)=?2，?(3?4)=?3?4，h（）0，其图象如下，由图可知，满足条件的实数a 的取值范围为?2，?3?4)；（）证明：由（）可知 g（x）2exsinxa，?2，?，则?(?)=?(?+?4)，则?(?)=?(?+?4)+?(?+?4)=4excosx，又?2，?，故 g（x）0，g（x）在?2，?上单调递减；注 意 到?2?，?2?，故?2?1+?22?，则?(?

38、2)?(?1+?22)，即?(?1+?22)?2?，即所证不等式右边成立；接下来先证明?1+?223?4，即证?3?2-?，由（）可知?2?3?4?，故3?43?2-?，设?(?)=?(?)-?(3?2-?)，?(?2，3?4)，则?(?)=?(?)+?(3?2-?)=?(?+?4)+?(3?2-?)?(3?2-?+?4)=?(?+?4)-?(3?2-?)?(3?4-?)?，（x）在(?2，3?4)上单调递减，又?(3?4)=?(3?4)-?(3?4)=?，故（x）0，即?(?)?(3?2-?)，由?(?2，3?4)可知，?(?)=?(?)?(3?2-?)，又当?(3?4，?时，h（x）单调递

39、减，故?3?2-?，即?1+?223?4，?(?1+?22)?(3?4)=?综上，?(?1+?22)?一、选择题22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=-?-?=?-?（t 为参数），直线l 与曲线 C：（y2）2x21 交于 A，B 两点（1）求|AB|的长；（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为(?，3?4)，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离【分析】（1）把直线的参数方程参数t 消去得，y 2=?（x+2），代入曲线C：（y2）2x21，根据|AB|x1x2|?+?，运算求得结果（2）根据中点坐标的性质可得AB 中点 M 对应

40、的参数为?1+?22=1，由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离，运算求得结果解：（1）由?=-?-?=?-?（t 为参数），参数t 消去得，y2=?（x+2），代入曲线C：（y 2）2x21，消去 y 整理得：2x2+12x+11 0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2 6，x1?x2=112 所以|AB|x1 x2|?+?=2?-?112=2?（2）易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（2，2），根据中点坐标的性质可得AB 中点 M 对应的参数为?1+?22=1 所以由 t 的几何意义可得点P 到 M 的距离为|PM|2选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+1|1x|的最大值为M，（）求M 的值；（）已知a，b，c 为正数，且a+b+cM，证明：2-?2-?2-?8【分析】（）利用绝对值的几何意义，求解最大值，推出M 即可（）利用基本不等式，通过综合法证明即可【解答】（）解：函数f（x）|x+1|1 x|x+1+1x|2，所以 M2（）证明：由a，b，c 为正数，且a+b+c 2，2-?=?+?2?，同理2-?=?+?2?，2-?=?+?2?则2-?2-?2-?2?2?2?=8，即：2-?2-?2-?8 当且仅当abc=23时等号成立