2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(理)(二)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 22 页2020 届百校高考百日冲刺金卷全国卷数学（理）试题一、单选题1已知集合|6Ax x且*Nx，则A的非空真子集的个数为()A30B 31C62D63【答案】A【解析】先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A 的元素个数间的关系求解.【详解】因为集合|6Ax x且*N1,2,3,4,5x，所以A的非空真子集的个数为52230.故选：A【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.2复数 z满足113zii，则z（）A2B 4C5D5【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出复数z，再求出模长|z|【详解】13113212iiizii，故5z.故选：C.【点睛】本题考查

2、了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题3已知31sin23，则cos（）A13B13C2 23D2 23【答案】B【解析】直接由诱导公式计算即可.【详解】第 2 页 共 22 页由诱导公式可得：3sin21cos3，故1cos3.故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题.4李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著 测圆海镜 中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就

3、东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到 B 处，甲乙二人共行走1600 步，AB比AC长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为()A222?xzyB222?xyzC222?yzxD?xy【答案】A【解析】根据题意得，,ACxAByBCz则1600,80 xyzyx，所以15202zx，再根据ABC为直角三角形90C求解.【详解】由题意得，,ACxAByBCz则1000,80 xyzyx，第 3 页 共 22 页所以15202zx，

4、符合程序框图所示:又ABC为直角三角形，且90C，所以222xzy.故选：A【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5已知袋中有3 个红球，n个白球，有放回的摸球2 次，恰 1 红 1 白的概率是1225，则n（）A1B 2C6D7【答案】B【解析】恰 1 红 1 白的概率为：12312C3325nnn，然后求出答案即可【详解】恰 1 红 1 白的概率为：12312C23325nnnn故选：B【点睛】本题考查的是独立重复试验下的概率计算，较简单.6已知双曲线22:145xyC-=，圆221:(3)16Fxy.Q是双曲线C右支上的一个动点，以Q为圆心作圆Q与

5、圆1F相外切，则以下命题正确的是（）AQ过双曲线C的右焦点BQ过双曲线C的右顶点CQ过双曲线C的左焦点DQ过双曲线C的左顶点【答案】A【解析】由Q与1F相外切得14QFQR，由双曲线的定义得：1224FQF Qa，然后可得2QF QR【详解】Q与1F相外切，可得：14QFQR，而1224FQF Qa，第 4 页 共 22 页故2QF QR，故Q过右焦点2F.故选：A【点睛】本题考查的是两圆的位置关系和双曲线的定义，较简单.7在ABC中，5AB，3AC，4BC，ABC内有一点O，满足：COCBCA，且0，0，432，则CO的最小值为（）A1B 2C2D2 2【答案】C【解析】设12CMCB，23

6、CNCA，从而可得1323222232COCBCACBCACMCN，由3432212，可得,O M N共线，然后即可得出答案.【详解】设12CMCB，23CNCA，1323222232COCBCACBCACMCN，由3432212，故,O M N共线，等腰直角CMN中，CO的最小值为点C到MN的距离，则CO的最小值为2.故选：C【点睛】,A B C三点共线，若OCOAOB，则1.8已知函数sin()(0,(0,2)yx的一条对称轴为6x，且()f x 在4,3上单调，则的最大值为（）A52B 3C72D83【答案】D【解析】函数sin()yx的对称轴可表示为：()6kxkZ，()f x 在第

7、5 页 共 22 页4,3上单调可得0kZ，使得0061463kk，然后可得0062173kk，即可分析出答案.【详解】函数sin()yx的对称轴可表示为：()6kxkZ，()f x 在4,3上单调可得0kZ，使得0061463kk，解得0062173kk又.00,0,1,2,3k，当0k3 时，可取最大值为83【点睛】本题考查的是正弦型函数的对称性和单调性，属于中档题.9已知椭圆2222:1(0)xyEabab的上顶点为B，右焦点为F，延长BF交椭圆E于点C，(1)BFFC，则椭圆E的离心率e（）A11B11C2211D2211【答案】A【解析】设00,C xy，由BFFC可得00(1)cx

8、by，然后代入椭圆方程化简即可.【详解】设00,C xy，则由0000(1)cxcxcBFFCbbyy第 6 页 共 22 页代入椭圆E的方程，整理得：2222(1)11e所以22211(1)1e，所以11e.故选：A【点睛】本题考查的是平面向量的坐标运算及求椭圆的离心率，属于中档题.10已知0112nnnxaa xa x，其中01243naaa，则0121231naaaan()A182B1823C913D1829【答案】B【解析】由题可知，令1x，得：32435nn，根据导数的运算公式，得666255101212112261226xxa xa xxa x，令0 x和1x，即可求出答案.【详解

9、】解：根据题意，01243naaa，令1x，得：32435nn，由于612126x512x62551015026a xa xaa xa xa x，即662510121226xa xa xa x，662510121226xa xa xa xC，第 7 页 共 22 页令0 x，解得112C，而5n，令1x，得051218212363aaaa.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开式以及导数的应用，考查转化能力和计算能力.11某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（）A2 3B2 2C3D6【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据

10、及勾股定理求出各条棱长即可得出结论【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥，画出图形如图所示：正方体的棱长为2，A、C 为所在棱的中点，则 CD=1，BC=AD=5，BD=BE=CF=2 2，第 8 页 共 22 页结合图形可得,AEB，AFC，AFD 为直角三角形，由勾股定理得AB22=813BEAE，AC=22=5+1=6CFAF，最长的棱为AB=3，故选：C.【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题.12已知函数ln()axf xx，()e1xg x（e为自然对数的底数），(0,)x，使得(

11、)()f xg x成立，则实数a的最小值为（）A1BeC2Dln 2【答案】A【解析】由lne1xaxx可得elnxaxxx，然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】因为0 x，所以由lne1xaxx可得elnxaxxx令()elnxxxxx则11()(1)e1(1)exxxxxxx.令1()exh xx，则21()e0 xh xx.故()h x为增函数.因为102h，(1)0h，故()0h x有唯一解，设为0 x，则有001exx，00lnxx.在00,x上，()0()0h xx；在0,x上，()0()0h xx.故0000000001()eln1xxxxxxxxxx，第 9 页 共 22

12、 页故a的最小值为1.故选：A【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为最值问题.二、填空题13已知2lgfxxxax是偶函数，则21fxfx的解集为 _.【答案】1,13【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出2lgg xxax为奇函数，001ga，利用函数的单调性解不等式，即可求出21fxfx的解集.【详解】解：由题知，fx是偶函数，故2lgg xxax为奇函数，001ga，对12121122000 xxg xg xx g xx g x，即fx在0,上为增函数，22121212113fxfxxxxxx，即21fxfx的解集为：1,13.故答案为：1

13、,13.【点睛】本题考查复合函数的奇偶性和利用单调性解不等式，考查计算求解能力.14已知x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy目标函数2zxy的最大值为2，则实数k的取值范围是_.【答案】1,2第 10 页 共 22 页【解析】根据x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy，且直线20kxy过定点0,2，将目标函数化为2yxz，平移直线2yx，根据2z时，最优解在直线220 xy上，而0,2在可行域内，且满足220 xy结合图形求解.【详解】x，y满足线性约束条件20220 xyxkxy，直线20kxy，过定点0,2目标函数化为2yxz，平移直线2yx，在 y 轴上截距最大时，目标

14、函数值最大，当2z时，可知：最优解在直线220 xy上，而0,2在可行域内，且满足220 xy.所以最大值点为0,2如图所示：所以实数k的取值范围是1,2.故答案为：1,2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题.15已知点(0,0)O，(4,0)A，M是圆22:(2)1Cxy上一点，则|OMAM的最小第 11 页 共 22 页值为 _【答案】13【解析】设点(,)Mx y，则222222|(4)OMxyAMxy，将221(2)yx代入消元，然后即可求出右边的最小值.【详解】设点(,)M x y，则222222|(4)OMxyAMxy又因为22(2)1xy，则22

15、1(2)yx，故22|43101|413413OMxAMxx，1,3x，易得函数101413yx在1,3上单调递增.则22|OMAM的最小值为19，故|OMAM的最小值为13.故答案为：13【点睛】本题考查的是利用圆的方程进行消元，然后利用函数的知识求最值，属于中档题.16公路北侧有一幢楼，高为60 米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45，行走 80 米到点B处，测得仰角为30，再行走80 米到点C处，测得仰角为.则 tan_.【答案】3 7777【解析】首先得到60,60 3OAOB，然后由余弦定理得：2222cosOAABOBAB OBABO，2

16、222cosOCBCOBBC OBOBC，然后求出OC即可【详解】第 12 页 共 22 页如图，O为楼脚，OP为楼高，则60OP，易得：60,60 3OAOB.由余弦定理得：2222cosOAABOBAB OBABO，2222cosOCBCOBBC OBOBC，两式相加得：22222230800OAOCABOBOC，则20 77OC，故603 77tan7720 77.故答案为：3 7777【点睛】解答本题的关键是要注意：本题对应的是一个立体图形，然后用余弦定理求解.三、解答题17已知数列na满足113a，2415a，且数列41nnaa是等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na

17、的前n项和nS.【答案】（1）2241nnan（2）nS22(21)nnn【解析】（1）令41nnnaba，然后用等差数列的知识求出nbn即可（2）222111111141441482121nnannnn，然后即可求出nS【详解】(1)设41nnnaba，第 13 页 共 22 页则121,2bb，故11nbbnn，即224141nnnannaan.（2）由222111111141441482121nnannnn得1 11111148 13352121nnSnn1114821nn22(21)nnn【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18四棱锥

18、PABCD中，2PAAD，1ABBCCD，/BCAD，90PAD.PBA为锐角，平面PBA平面 PBD.（1）证明：PA平面ABCD；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77【解析】（1）先作AMPB于M，则由平面PAB平面PBDAM平面PBDAMBD，又在底面中可得90ABD，从而可得DB平面PABPADB，结合90PDAPA平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，可得所求.【详解】（1）作AMPB于M，第 14 页 共 22 页则由平面PAB平面PBDAM平面PBDAMBD，取AD中点为Q，则190BQCDQDQAABDB

19、C QD，又PBA为锐角，M、B 不重合，DBABDBDBAM平面PABPADB与PAADPA平面ABCD.（2）取AQ中点 H，如图建立空间直角坐标系（其中x轴与HB平行），则3 1,022B，3 3,022C，0,2,0D，0 02P,，由（1）的证明知：平面PAB法向量为3 3,022BD，设平面PCD法向量为,mx y z，则2200310022yzm PDm CDxy，令11,3,3xm，33 3722cos77,3m BDmBm BDD.第 15 页 共 22 页【点睛】本题考查面面垂直、线面垂直与线线垂直间的相互转化，考查了空间直角坐标系求二面角，考查空间想象能力以及计算能力，属

20、于中档题；19直线l过点(4,0)，且交抛物线22(0)ypx p于,A B两点，90AOB.（1）求p；（2）过点(1,0)的直线交抛物线于,M N两点，抛物线上是否存在定点Q，使直线,MQ NQ斜率之和为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）2（2）存在，(1,2)Q或(1,2)【解析】（1）设1122,A x yB xy，由90AOB得21240y yp，然后设直线:4lxmy，与抛物线方程联立消元即可（2）设00,MMNNQ xyMxyN xy，:1MNxty，代入24yx整理得：2440yty，即得4,4MNMNyyt yy，然后可推出0NQ200016244

21、4MQytkkyyty，当2000424yyy时为定值.【详解】（1）设1122,A x yB xy，则由222121212121290004022yyAOBx xy yy yy yppp，设直线:4l xmy，联立22ypx消元得2280ypmyp所以128y yp，所以2480pp，解得2p（2）设00,MMNNQ xyMxyN xy，:1MNxty，代入24yx整理得：2440yty，4,4MNMNyyt y y第 16 页 共 22 页则0N00NQ2200N044MMMQMMyyyyyykkyyxxxx022044NNyyyy0044MNyyyy02004 2MNMNMNyyyyyy

22、yyy02004 2444ytyyt02000162444ytyyty当且仅当2000424yyy时，此式为定值，解得02y，故(1,2)Q或(1,2)【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.20 某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年有300 天需要这种土鸡，A饭店每天需要的数量是1418 之间的一个随机数，去年A饭店这 300 天里每天需要这种土鸡的数量x（单位：只）的统计情况如下表：x1415161718频数4560756060这 300 天内（假设这7 个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天

23、出栏土鸡71418aa只，送到城里的这7 个饭店，每个饭店a只，每只土鸡的成本是40 元，以每只 70 元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a元的价钱处理.（）若16a，求养鸡厂当天在A饭店得到的利润y（单位：元）关于需求量x（单位：只，*Nx）的函数解析式；（）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏 112 只或 119 只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112 只还是 119只？第 17 页 共 22 页【答案】（）*30,16N480,16x xyxx；（）119 只.【解析】（）根据题意，可求出利润y关于需求量x的函数解析式：2

24、*1416,N30,a xaaxayxa xa，即可求出当16a时，y关于x的解析式；()根据离散型分布特点，分类讨论，求出出栏112 只和出栏119 只时的分布列和期望，比较即可得出结论.【详解】（）当xa时，2704056401416yxaaxa xaa，当xa时，30ya，2*1416,N30,a xaaxayxa xa，当16a时，*30,16N480,16x xyxx.（）若出栏112 只，则16a，由（）知，当16a时，*30,16N480,16x xyxx，记1Y表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.1Y可取 420，450，480，14200.15P Y，14500.2P Y，1

25、4800.65P Y，1Y的分布列为：1Y420450480P0.150.20.651420 0.15450 0.2480 0.65465E Y，若出栏 119 只，则17a，记2Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.第 18 页 共 22 页当17a时，*3117,17N510,17xxyxx，2Y 可取 417，448，479，510，24170.15P Y，24480.2P Y，24790.25P Y，25100.4P Y，2Y的分布列为：2Y417448479510P0.150.20.250.42417 0.15448 0.2479 0.25510 0.4475.9E Y.综上可知，

26、1277E YE Y，则养鸡厂出栏119 只时，利润最大.【点睛】本题考查求函数的解析式以及离散型分布列和期望，考查利用已学知识解决实际利润问题，考查解题和计算能力.21已知函数22,0()4e2,0 xxf xx x，()ln()g xxa.（1）若()f x，()g x有公共点M，且在点M处有相同的切线，求点M的坐标；（2）判定函数()()()h xf xg x在0,)上的零点个数.【答案】（1）M的坐标为(2,1)e或ln 2,ln 22.（2）见解析【解析】（1）设00,Mxy，分00 x和00 x两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在0 xx处的导数值和函数值相等建立方程求解（2）结

27、合（1）中得到的结论，分ae、ea、e1a、1a四种情况讨论.【详解】（1）设00,Mxy，第 19 页 共 22 页则当00 x时，2002020ln(*)4e1(*)2exxaxxa由()得：2002exax，代入()得：22200202elnln 2eln4exxx对函数222()ln 2eln4exxx，求导得：21()02exxx故()x为增函数，且(2e)0.故02ex当00 x时000002ln1ln 22ln1222xxaxxxa综上，M的坐标为(2,1)e或ln 2,ln 22.（2）由（1）知：02ex时，ae，22()ln()4exh xxa故ae时，222111(),(

28、)02ee2e(e)xh xhxxx，故()h x有唯一零点为：2e,()(2e)0 xh xh，故()h x有唯一零点.当ea时，2222()ln()ln(e)0,()4e4exxh xxaxh x无零点.当e1a时，()h x在0,)上至多 1 个零点，()h x在(0,)上至少 2 个零点.而(0)ln0,(2e)1ln(2e)0.hahax时，()h x故()h x在(0,2e),(2e,)上各 1 个零点.当1a时，21()2exh xxa.满足：(0)0h，(2e)0h，故在(0,2e)上，()h x仅 1 个零点.设为m，在(0,)m上，()h x为减函数，在(,)m上，()h

29、x为增函数.而1(0)0,()(0)0,hh mhxa时，()h x.第 20 页 共 22 页故仅在(,)m上有 1 个零点.综上可得：当ea时，()h x有 0 个零点；当ae或1a时，有 1 个零点；当e1a时，()h x有 2 个零点.【点睛】本题考查的是导数的几何意义及利用导数研究函数的零点个数，属于压轴题.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2cos1sinxtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为222483cos4sin.（）当3时，把直线l的参数方程化为普通方程，把椭圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（）直线l交椭

30、圆C于A，B 两点，且A，B 中点为2,1M，求直线l的斜率.【答案】（）312 30 xy，2211612xy；（）32.【解析】（）根据直线l的参数方程为2cos1sinxtyt，且3，消去 t 即可直线的的普通方程.根据椭圆C的极坐标方程222483cos4sin，变形为22223cos4sin48，再利用cos,sinxy求解.（）将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得223sin12cos8sin320tt，利用A，B 中点为2,1M，且直线过2,1M，利用参数的几何意义求解.【详解】（）因为直线l的参数方程为2cos1sinxtyt，且3，所以122312xtyt，第 2

31、1 页 共 22 页消去 t 得312 30 xy，所以直线l的普通方程为：312 30 xy；因为椭圆C的极坐标方程为222483cos4sin.所以22223cos4sin48，223448xy，椭圆C的直角坐标方程为：2211612xy.（）将直线l的参数方程代入椭圆C的直角坐标方程整理得：223sin12cos8sin320tt，因为A，B 中点为2,1M所以120tt，故312cos8sin0tan2k，所以直线l的斜率为32.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23已知函数2fxxax.（）若3f

32、x恒成立，求实数a的取值范围；（）fxx的解集为2,m，求a和m.【答案】（）5a或1a；（），4a，6m.【解析】（）根据绝对值三角不等式，由222xaxxaxa，求得fx最小值，再由23a求解.（）不等式的解集与相应方程根的关系，当2x时，22f，即22a，解得：0a或 4.，再分类求解.【详解】第 22 页 共 22 页（）因为222xaxxaxa，当且仅当20 xax时取等，故fx最小值为2a-，235aa或1a.（）由不等式解集的意义可知：2x时，22f，即22a，解得：0a或 4.0a时，如图所示：不合题意舍去.4a时，如图所示：由yx与26yx解得：6x，即6m，综上，4a，6m.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.