2020年高中数学必修2同步练习：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积第2课时含答案解析.pdf

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1、第 2 课时柱体、锥体、台体的体积课时过关能力提升一、基础巩固1.已知圆台OO的上、下底面半径分别为2 和 4,高为 9,则圆台 OO的体积是()A.84 B.60C.54D.40解析:V=13(22+2 4+42)9=84.答案:A 2.已知高为3 的棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为1 的正三角形(如图),则三棱锥B1-ABC 的体积为()A.14B.12C.36D.34解析:因为三棱锥B1-ABC 的高 h=3,底面面积S=SABC=3412=34,所以?1-?=13?=13343=34.答案:D 3.若将半径为2 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为()A.33B.3 C.53 D.

2、5解析:设卷成圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 l=2,2 r=2,所以 r=1,卷成圆锥的体积V=13?2?=1312 22-12=33,故选 A.答案:A 4.已知一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12,则它的体积缩小为原来的()A.12B.14C.18D.24解析:设原三棱锥和缩小后的三棱锥的底面积分别为S和 S,高分别为h和 h,体积分别为V 和 V.由已知得 S=14?,?=12?,?=13?=1318?=18?.答案:C 5.已知一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为()A.233B.476C.6D.7解析:由三视图知该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,

3、则 V=V正方体-2V锥体=8-213121 1 1=233.答案:A 6.已知圆锥SO 的高为 4,体积为 4,则底面半径r=.解析:设底面半径为r,则13?24=4,解得 r=3,即底面半径为 3.答案:37.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.解析:由三视图可知,四棱柱的高h 为 1,底面为等腰梯形,且底面面积S=12(1+2)1=32,故四棱柱的体积V=S h=32.答案:328.如图,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,则圆柱被截后剩余部分的体积是.解析:两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+b 的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=r

4、2(a+b),所以所求几何体的体积为?2(?+?)2.答案:?2(?+?)29.已知某圆台的上、下底面面积分别是,4,侧面积是6,则这个圆台的体积是.解析:设圆台的上、下底面半径分别为r 和 R,母线长为l,高为 h,则 S上底=r2=,S下底=R2=4,r=1,R=2,S侧=(r+R)l=6,l=2,h=3,?=13(12+22+1 2)3=733.答案:73310.如图,已知四棱台的两底面均为正方形,且边长分别为20 cm 和 10 cm,侧面积为780 cm2,求其体积.解:如图,取 A1B1的中点 E1,AB 的中点 E,上、下底面的中心O1,O,则 E1E 为斜高,四边形 EOO1E

5、1为直角梯形.S侧=412(10+20)E E1=780,EE1=13 cm.在直角梯形EOO1E1中,O1E1=12?1?1=5 cm,OE=12?=10 cm,O1O=132-(10-5)2=12(cm).故该四棱台的体积为V=1312(102+202+10 20)=2 800(cm3).二、能力提升1.若一个螺栓的底面是正六边形,它的正视图和俯视图如图所示,则它的体积是()A.332+3225B.3 3+3225C.9 3+3225D.9 3+12825解析:该螺栓的上部是圆柱,下部是六棱柱,圆柱的底面半径为0.8,高为 2,则圆柱的体积是 0.82 2=3225,六棱柱的体积是6(34

6、22)32=9 3,故螺栓的体积是9 3+3225.答案:C 2.在ABC 中,AB=2,BC=3,ABC=120.若将 ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是()A.6B.5C.4D.3解析:如图,所形成的几何体是从一个大圆锥中挖去一个小圆锥后剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=AB sin 60=232=3,小圆锥的高 BD=AB cos 60=212=1,大圆锥的高 CD=BD+BC=1+3=4,故所形成的几何体的体积是13(3)24-13(3)21=3.答案:D 3.如图,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的

7、几何体.当这个几何体水平放置时,液面高度为20 cm(轴截面如图),当这个几何体倒立放置时,液面高度为28 cm(轴截面如图),则这个几何体的总高度为()A.29 cm B.30 cm C.32 cm D.48 cm 解析:在题图和题图中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个几何体的总高度为h cm,则有 12(h-20)=32(h-28),解得 h=29.答案:A 4.如图,在三棱柱ABC-ABC 中,若 E,F 分别为 AC,AB 的中点,平面 ECBF 将三棱柱分成体积为V1(棱台 AEF-ACB 的体积)、V2的两部分,则 V1V2=.解析:设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为 V

8、,则 V=V1+V2=Sh.因为 E,F 分别为 AC,AB 的中点,所以 S AEF=14?,所以 V1=13?(?+14?+?4)=712?,V2=V-V1=512?.所以 V1V2=75.答案:75 5.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3 3,则?=_.解析:由三视图可以推断,该几何体是放倒的三棱柱,其底面是底边为2 的等腰三角形(底边上的高为a),高为 3.由题意知,V=122?3=3 3,所以 a=3.答案:36.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.解析:由三视图知四棱锥的高为3 m,底面平行四边形的底为2 m,高为

9、1 m,因此该四棱锥的体积为V=13(2 1)3=2(m3).故答案为 2.答案:2 7.降水量是指水平平面上单位面积降水的深度,现用上口直径为38 cm、底面直径为24 cm、深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量.如果在一次降雨过程中,此桶盛得的雨水正好是桶深的17,求本次降雨的降水量是多少毫米?(精确到 1 mm)解:因为这次降雨的雨水正好是桶深的17,所以水深为1735=5(cm).如图,设水面半径为r cm,在 ABC中,?=?,所以7?-12=7,?=13.所以 V水=13(122+122132+132)5=2 3453(cm3).水桶的上口面积是S=192=

10、361(cm2),所以?水?=2 345336110 22(mm).故此次降雨的降水量约是22 mm.8.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6 和 8 的矩形、高为4 的四棱锥.设底面矩形为ABCD,如图所示,则 AB=8,BC=6,高 VO=4.(1)V=13(8 6)4=64.(2)四棱锥的侧面VAD,VBC 是全等的等腰三角形,侧面 VAB,VCD 也是全等的等腰三角形.在VBC 中,BC 边上的高h1=?2+(?2)2=42+(82)2=4 2.在VAB 中,AB 边上的高h2=?2+(?2)2=42+(62)2=5.所以此几何体的侧面积S=2(126 4 2+128 5)=40+24 2.