2020年高中数学必修2同步练习：3.3.4两条平行直线间的距离含答案解析.pdf

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1、3.3.4两条平行直线间的距离课时过关能力提升一、基础巩固1.平行直线 l1:3x-y=0与 l2:3x-y+10=0 间的距离等于()A.1 B.0 C.10 D.3解析:d=|0-10|32+(-1)2=1.答案:A 2.直线?4-?6=1 与?=32?+1 之间的距离为()A.4 1313B.14 1313C.132D.24解析:两条直线方程分别可化为3x-2y-12=0,3x-2y+2=0,则所求距离 d=|-12-2|32+(-2)2=14 1313.答案:B 3.已知过点 A(-2,1)和过点 B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是()A.4 B.5 C.6

2、D.61解析:由已知得两条直线方程分别为x=-2,x=3,所以两条直线间的距离为5.答案:B 4.若平行直线 x-y=0与 x-y+m=0间的距离等于 2,则实数?等于()A.2 B.-2 C.2D.2解析:由题意得|?|2=2,解得m=2.答案:D 5.到直线 3x-4y-1=0 的距离为 2的直线的方程为()A.3x-4y-11=0 B.3x-4y+9=0 C.3x-4y-11=0 或 3x-4y+9=0 D.3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 解析:设所求直线方程为3x-4y+k=0(k-1).由题意得|?+1|32+(-4)2=2,|?+1|=10,?=9 或k=-11.故所

3、求直线的方程为3x-4y+9=0 或 3x-4y-11=0.答案:C 6.平行直线 l1:x-2y+4=0与直线 l2:3x-6y+3=0 间的距离 d=.解析:直线 l2的方程化为 x-2y+1=0,则 d=|4-1|12+(-2)2=3 55.答案:3557.已知直线 l 与两直线 l1:2x-y+3=0和 l2:2x-y-1=0 的距离相等,则 l 的方程是.解析:由题意知 ll1l2.设直线 l 的方程为 2x-y+c=0(c 3,c-1),则|3-?|5=|?+1|5,即|c-3|=|c+1|,解得 c=1,故直线 l 的方程是 2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0 8.已知平行

4、直线 l1:2x+my+1=0与 l2:2x+my+n=0间的距离等于 2,则实数 m,n 满足的条件是.解析:由题意得|1-?|4+?2=2,整理得 4m2-n2+2n+15=0.答案:4m2-n2+2n+15=0 9.已知两条平行直线3x+4y+5=0与 6x+ay+30=0 间的距离为 d,则 a+d=.解析:因为两条直线平行,所以?4=63,所以a=8,所以两条直线 3x+4y+5=0 与 3x+4y+15=0 间的距离 d=|5-15|32+42=2.故 a+d=10.答案:10 10.求与直线 l:5x-12y+6=0平行,且到 l 的距离为 2的直线方程.解:设所求直线的方程为5

5、x-12y+m=0(m 6),由两条直线间的距离为2,知|6-?|52+(-12)2=2,解得 m=32 或 m=-20.故所求直线方程为5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0.二、能力提升1.直线 l1:2x+3y=0上到直线 l2:4x+6y-10=0 的距离等于5 1313的点有()A.0 个B.1 个C.2个D.无数个解析:直线 l2的方程化为 2x+3y-5=0,则直线 l1,l2平行,且它们之间的距离 d=|0+5|4+9=51313,则直线 l1上所有点到直线 l2的距离都等于5 1313.答案:D 2.已知两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,若 a,

6、b 是关于 x 的方程 x2+x-2=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离为()A.23B.2C.2 2D.3 22解析:根据 a,b 是关于 x的方程 x2+x-2=0 的两个实数根,可得?+?=-1,?=-2,所以?=1,?=-2或?=-2,?=1.所以|a-b|=3.故所求两条直线之间的距离为d=|?-?|2=32=3 22.答案:D 3.已知 P,Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上的任意一点,则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.3 D.6 解析:|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离.在直线 3x+4y-12=0 上取点(4,0),然后利用点到直线

7、的距离公式得|PQ|的最小值为 3.答案:C 4.若动点 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-7=0和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点到原点的距离的最小值为()A.3 2B.2 3C.3 3D.4 2解析:所求最小值即为与l1,l2平行且到 l1,l2距离相等的直线到原点的距离.设到直线 l1与 l2距离相等的直线为 x+y+c=0(c-7,c-5),则|?+7|2=|?+5|2,解得c=-6.即直线 x+y-6=0 到 l1与 l2的距离相等.所以原点到直线 x+y-6=0 的距离 d=62=3 2.故选 A.答案:A 5.已知直线 l1:2x+4y+

8、1=0 与直线 l2:2x+4y+3=0平行,点 P 是平面直角坐标系内任一点,点 P 到直线 l1和 l2的距离分别为 d1,d2,则 d1+d2的最小值是.解析:l1与 l2间的距离 d=|3-1|4+16=55,则 d1+d2d=55,即 d1+d2的最小值是 55.答案:556.已知直线 l 与直线 l0:x-y+1=0平行,且 l 与 l0间的距离为22,原点到?的距离为 2,则直线?的方程为 _.解析:由已知设 l 的方程为 x-y+c=0(c 1),则|?-1|2=22,且|?|2=2,解得c=2.故所求直线方程为 x-y+2=0.答案:x-y+2=0 7.已知直线 l1经过点

9、A(0,1),直线 l2经过点 B(5,0),l1l2,且 l1与 l2间的距离为 5,求 l1,l2的方程.解:若直线 l1,l2的斜率存在,设直线的斜率为 k,由斜截式得 l1的方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0.由点斜式可得 l2的方程为 y=k(x-5),即 kx-y-5k=0.因为直线 l1过点 A(0,1),则点 A 到直线 l2的距离 d=|1+5?|(-1)2+?2=5,所以 25k2+10k+1=25k2+25,解得 k=125.所以 l1的方程为 12x-5y+5=0,l2的方程为 12x-5y-60=0.若 l1,l2的斜率不存在,则 l1的方程为 x=0,l2的

10、方程为 x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.综上所述,满足条件的直线方程有两组:l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;或 l1:x=0,l2:x=5.8.两条平行直线分别经过点A(6,2)和 B(-3,-1),并且各自绕着 A,B旋转,两条平行直线间的距离为 d.求:(1)d 的取值范围;(2)当 d 取最大值时,两条直线的方程.解:(1)如图,显然有 0d|AB|.而|AB|=(6+3)2+(2+1)2=3 10.故所求的 d 的取值范围为(0,3 10.(2)由图可知,当 d 取最大值时,两条直线与 AB 垂直.而 kAB=2-(-1)6-(-3)=13,则所求直线的斜率为-3.故所求的直线方程为y-2=-3(x-6)和 y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0.