2021年冲刺中考数学之热点专题二次函数综合专题(解析版).pdf

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1、热点专题二次函数综合题型二次函数的综合探究题一直是中考的必考题。通常考查与动点、存在性、相似有关的二次函数综合题，解答与动点有关的函数探究问题，通常需要把问题拆开，分清动点在不同位置运动，或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象这类问题往往与函数知识、特殊三角形、特殊四边形的性质，以及分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系。解题时要特别注意把握题目中的“动中有变(图形的变化)、变中有静(特殊三角形或四边形的性质及其数学思想)”的内在规律并注意挖掘隐含条件，综合运用数学知识解决问题。此类问题的考查形式通常为解答题，解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况。二次函数综合题型有以下

2、三种常见题型:题型一：二次函数与线段最值问题；题型二：二次函数与图形面积问题；题型三：二次函数与特殊三角形的存在性问题；题型四：二次函数与特殊四边形的存在性问题。考向 3二次函数与特殊三角形的存在性问题例：（2019?梅江区期末）如图1，已知抛物线23(0)yaxbxa=+1与x轴交于点(1,0)A和点(3,0)B-，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图l，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；（3）如图 2，在x轴上是否存在一点D使得ACDD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由【解析

3、】（1）将点(1,0)A，(3,0)B-代入23yaxbx=+，得，309330abab+=?-+=?，解得，12ab=-?=-?，抛物线表达式为223yxx=-+；（2）如图 1，过点E作EFx轴于点F，设(E a，223)(30)aaa-+-Q，当32m=时，S取最大值94，3(2P，3)；（3）存在，理由如下：如图21-，当90CPDD=时，90CODODPCPDD=D=D=Q，四边形CODP为矩形，3PDCO=，将3y=代入直线26yx=-+，得，32x=，3(2P，3)；如图22-，当90PCDD=时，3OC=Q，ODm=，22229CDOCODm=+=+，/PDOCQ，PDCOCD

4、D=D，coscosPDCOCDD=D，DCOCPDDC=，2DCPD OC=g，293(26)mm+=-+，解得，1332m=-（舍去），2332m=-+，(33 2P-+，1262)-，当90PDCD=时，PDxQ轴，不存在，综上所述，点P的坐标为3(2，3)或(33 2-+，126 2)-3.（2019?香洲区校级模拟）如图，抛物线的顶点(P m，1)(0)m，与y轴的交点2(0,1)Cm+（1）求抛物线的解析式（用含m的式子表示）（2）点(,)N x y在该抛物线上，NH 直线34y=于点H，点5(,)4M m且60NMHD=求证：MNHD是等边三角形；当点O、P、N在同一直线上时，求

5、m的值【解析】设抛物线解析式是2()1(0)ya xma=-+1，将2(0,1)Cm+代入，得22(0)11amm-+=+解得1a=故该抛物线解析式是：2()1yxm=-+；（2）根据题意知，34NHy=-22225525393()()142162164NMxmyyyyyyy=-+-=-+-+=-+=-则NMNH=又因为60NMHD=，所以MNHD是等边三角形；由知，MNHD是等边三角形则13()24MNyy=-，即513()424Ny=-故74Ny=由于点7(,)4N x在抛物线2()1yxm=-+上，27()14xm-+=所以点N的坐标是(x，2()1)xm-+设直线OP的解析式是(0)y

6、kx k=1把(P m，1)(0)m代入，得1mk=解得1km=故该直线方程是xym=把(N x，2()1)xm-+代入，得2()1xxmm-+=联立方程组，解得2 33m=4.（2019?汕头市二模）如图，二次函数21yxbxc=+与22()yxcxb bc=+的图象相交于点A，分别与y轴相交于点C，B，连接AB、AC（1）过点(1,0)作直线l，判断点A与直线l的位置关系，并说明理由（2）当A、C两点是二次函数21yxbxc=+图象上的对称点时，求b的值（3）当ABCD是等边三角形时，求点B的坐标【解析】（1）联立1y、2y并解得：1x=，故点(1,1)Abc+，故直线l过点A；（2）由题

7、意得：点B、C的坐标分别为(0,)b、(0,)c，AQ、C两点是二次函数21yxbxc=+图象上的对称点，故点A、C的纵坐标相同，即：1bcc+=，解得：1b=-；（3）如下图所示，过等边三角形的点A作AHBC，则点(0,)2bcH+，点(1,1)Abc+，则1AH=，则3tan1tan303HBAHHAB=?窗=，则323bcHBb+=-=，而12bcbc+=+，解得：333b+=-，故点33(0,)3B+-考向 4二次函数与特殊四边形的存在性问题例：（2019?越秀区校级一模）如图1，抛物线21:2Cyaxbx=+-与直线11:22lyx=-交于x轴上的一点A，和另一点(3,)Bn（1）求

8、抛物线1C的解析式；（2）点P是抛物线1C上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PMAB于点M，/PNy轴交AB于点N，求MN的最大值；（3）如图 2，将抛物线1C绕顶点旋转180后，再作适当平移得到抛物线2C，已知抛物线2C的顶点E在第一象限的抛物线1C上，且抛持线2C与抛物线1C交于点D，过点D作/DFx轴交抛物线2C于点F，过点E作/EGx轴交抛物线1C于点G，是否存在这样的抛物线2C，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）直线11:22lyx=-交x轴于点A11022x-=，解得：1x=-(1,0)A-Q点(3,)Bn在

9、直线l上113222n=-=-(3,2)B-Q抛物线21:2Cyaxbx=+-经过点A、B209322abab-=?+-=-?解得：1232ab?=?=-?抛物线1C的解析式为213222yxx=-（2）如图 1，延长PN交x轴于点H90AHND=设(P m，2132)(13)22mmm-抛物线2C顶点式为22113()2222yxeee=-+-当22211313()2222222xeeexx-+-=-解得：1xe=，232x=两抛物线另一交点3(2D，25)8-为抛物线1C顶点/EGxQ轴，/DFx轴322()232EGDFDQee=-=-，2213251392228228EQeeee=-+

10、=-+四边形DFEG是平行四边形若DFEGY为菱形，则DGDF=Q由抛物线对称性可得：DGDEEF=，DEEFDF=，DEFD是等边三角形tan3EQEDQDQ=D=，213933()2282eee-+=-解得：132e=（舍去），23232e=+E点的横坐标为3(23)2+时，四边形DFEG为菱形练习：1.（2019?禅城区模拟二）如图1，已知抛物线2yxbxc=-+与x轴交于(1,0)A-，(3,0)B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）如图 1，连接BC，PB，PC，设PBCD的面积为S求S关于t的函数表达式，并求出

11、当t为何值时，PBCD的面积S有最大值；（3）如图 2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D 在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）将(1,0)A-、(3,0)B代入2yxbxc=-+，得，10930bcbc-+=?-+=?，解得，23bc=?=?，抛物线的表达式为223yxx=-+；（2）如图 1，过点P作/PFy轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为(0)ymxn m=+1，将(3,0)B、(0,3)C代入ymxn=+，得，303mnn+=?=?，解得，13mn=-?=?，直线BC的解析式为3yx=-+，Q

12、点P的坐标为2(,23)ttt-+，点F的坐标为(,3)tt-+，2223(3)3PFttttt=-+-+=-+，221393327()222228SPF OBttt=-+=-+g，302-Q，当32t=时，S取最大值，最大值为278；（3）如图 2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，Q抛物线2yxbxc=-+与x轴交于(1,0)A-，(3,0)B两点，抛物线的对称轴为直线1x=，1DCxx-=Q，1PMxx-=，2Px=，(2,3)P，在223yxx=-+中，当0 x=时，3y=，(0,3)C，3CDyy-=，3MPyy-=，6My=，点M的坐标为(1,6)；当2Px 1时，不存在，理由如下

13、，若四边形CDPM是平行四边形，则CEPE=，Q点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，点P的横坐标1202t=-=，又2Px 1Q，不存在，综上所述，点M的坐标为(1,6)2.（2018?三水区二模）如图，对称轴为1x=的抛物线经过(1,0)A-，(2,3)B-两点（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标【解析】（1）对称轴为1x=的抛物线经过(1,0)A-，则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为：(3,0)，则抛物线的表达

14、式为：(1)(3)ya xx=+-，将点B的坐标代入上式并解得：1a=，故抛物线的表达式为：223yxx=-；（2）设点2(,23)P m mm-，将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：1yx=-，当Q是OP中点时，则点1(2Qm，223)2mm-，将点Q的坐标代入直线AB的表达式并解得：152m=，故点15(2P+，55)2-或15(2-，55)2-+；（3）当BC为正方形的对角线时，如图1 所示，直线AB的表达式为：1yx=-，则点(0,1)C-，点(0,3)D-，2BDCD=，故点1(2,1)E-；当BC是正方形的一条边时，（）当点D在BC下方时，如图2 所示，抛

15、物线顶点P的坐标为：(1,4)-，点(2,3)B-，故PDBC，有图示两种情况，左图，点C、E的横坐标相同，在函数对称轴上，故点2(1,4)E-；此时，点D、E的位置可以互换，故点3(0,3)E-；右图，点B、E的横坐标相同，同理点4(2,5)E-；（）当点D在CB上方时，此时，点B、D坐标相同，这是不可能的，故不存在；综上，点E的坐标为：(2,1)-或(1,4)-或(0,3)-或(2,5)-3.（2017?天河区校级模拟）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为 4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是251201223yxx=-+【解析】Q沿着两

16、条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，A点的坐标为：(4,2)-，B点的坐标为：(2,6)-，C点的坐标为：(2,4)，将A，B，C代入2yaxbxc=+，1642426424abcabcabc-+=?-+=?+=?，解得：51212203abc?=-?=-?=?，二次函数解析式为：251201223yxx=-+故答案为：251201223yxx=-+4.（2019?南海区二模）如图，抛物线2yxbxc=+交x轴于点(1,0)A和点B，交y轴于点(0,3)C（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P，使PCPO=，求点P的坐标；（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直

17、线交y轴于点M，交抛物线于点N当四边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标【解析】（1）把点(1,0)A、(0,3)C代入二次函数表达式得：013bcc=+?=?，解得：43bc=-?=?，则抛物线的表达式为：243yxx=-+；（2）如下图，过P作PHOC，垂足为H，POPC=Q，PHOC，则：32CHOH=，23432xx-+=，解得：1022x=，故点10(2)2P+或10(2)2-；（3）如下图，连接NA并延长交OC于GQ四边形ACMN为等腰梯形，且/ACMN，ANMCMND=D，ANMGACD=D，GCACMND=D，GACGCAD=D，GAGC=设GAx=，则GCx=，3OGx=-在RtOGAD中，222OAOGAG+=2221(3)xx+-=，解得53x=，433OGx=-=，4(0,)3G直线AG的解析式为4433yx=-+令2444333xxx-+=-+，解得11x=（舍去），253x=5(3N，8)9-，225810(1)()399CMAN=-+-=，1037399OMOCCM=+=+=，37(0,)9M，存在37(0,)9M、5(3N，8)9-使四边形ACMN为等腰梯形