印2013北京市海淀区高三第一学期期末数学文科试题纯word版含答案.pdf

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1、开始10nS，Sp是输入 p结束输出n，S nSS3+=否1nn海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2013.1 1 2 3 4 5 6 7 8 一、选择题：本大题共8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数21i化简的结果为A.1iB.1iC.1 iD.1 i2.向量(1,1),(2,)tab,若ab,则实数t的值为A.2B.1C.1D.23.在等边ABC的边BC上任取一点P，则23ABPABCSS的概率是A.13B.12C.23D.564.点P是抛物线24yx上一点，P到该抛物线焦点的距离为4，则点P的横坐标为A2 B.3 C.

2、4 D.5 5.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的p为24，则输出的,n S的值分别为A.4,30nSB.4,45nSC.5,30nSD.5,45nS6.已知点(1,0),(cos,sin)AB,且|3AB,则直线AB的方程为A.33yx或33yxB.3333yx或3333yxC.1yx或1yxD.22yx或22yx7.已知函数sin,sincos,()cos,sincos,xxxf xxxx则下面结论中正确的是A.()f x是奇函数B.()f x的值域是 1,1C.()f x是偶函数D.()f x的值域是2,128.如图，在棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D中，点,E

3、F分别是棱1,BC CC的中点，P是侧面11BCC B内一点，若1/AP平面,AEF则线段1A P长度的取值范围是A51,2B.3 25,42C.5,22D.2,3二、填空题:本大题共6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.tan225的值为 _.10.双曲线22133xy的渐近线方程为_；离心率为 _.11.数列na是公差不为0 的等差数列，且268aaa，则55_.Sa12.不 等 式 组0,3,1xxyyx表 示 的 平 面 区 域 为，直 线1ykx与区域有公共点，则实数k的取值范围为_.13.三棱锥DABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为 _.14.任給实数,

4、a b定义,0,0.abababaabb设函数()lnfxxx，则1(2)()2ff=_；若na是公比大于0的等比数列，且51a，123781()()()()(=,f af af af af aa）则1_.a三、解答题:本大题共6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13 分）已知函数21()3sincoscos2f xxxx，ABC三个内角,A B C的对边分别为,a b c且()1f A.（I）求角A的大小；（）若7a，5b，求c的值.DABC22主视图2 34左视图B1C1D1A1FEBCDA16.（本小题满分13 分）某汽车租赁公司为了调查A，

5、B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50 辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A 型车出租天数3 4 5 6 7 车辆数3 30 5 7 5 B 型车出租天数3 4 5 6 7 车辆数10 10 15 10 5（I）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（）现从出租天数为3 天的汽车（仅限A，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是 A 型车的概率；（）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17.（本小题满分1

6、4 分）如图，在直三棱柱111ABCA B C中，90BAC，1ABACAA，且E是BC中点.（I）求证：1/AB平面1AEC；（）求证：1BC平面1AEC.EC1B1A1CBA18.（本小题满分13 分）已知函数211()22f xx与函数()lng xax在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F xf xmg x(0)m.（I）求a的值；（）求()F x在区间1,e上的最小值.19.（本小题满分14 分）已知椭圆M：的一个焦点为，左右顶点分别为，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点.（）求椭圆方程；（）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（）记ABD与ABC的面积分别为1

7、S和2S，求12|SS的最大值.20.（本小题满分13 分）已知函数()f x的定义域为(0,)，若()f xyx在(0,)上为增函数，则称()f x为“一阶比增函数”.()若2()f xaxax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；()若()f x是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x，1212()()()f xf xf xx；（）若()f x是“一阶比增函数”，且()fx有零点，求证：()2013f x有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准20131 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8 小题,每小题 5分,共 40 分

8、）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A A C B C B D B 二、填空题（本大题共6 小题,每小题 5 分,有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，共30 分）91 10;2yx 11 3123,)13 4 2 14 0；e三、解答题(本大题共6 小题,共 80 分)15（本小题满分13 分）解：（I）因为21()3sincoscos2f xxxx31sin2cos222xxsin(2)6x6分又()sin(2)16f AA，(0,)A，7 分所以 72(,)666A，2,623AA 9 分（）由余弦定理2222cosabcbcA得到2492525 cos3cc，所以25240c

9、c 11 分解得3c（舍）或8c 13 分所以8c16.（本小题满分13 分）解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大 3 分（）这辆汽车是A类型车的概率约为3A333A,B10313出租天数为 天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A类型车的概率为3137 分（）50 辆 A类型车出租的天数的平均数为3 34305 1567754.6250Ax9 分50 辆 B类型车出租的天数的平均数为3 104 105 15610754.850Bx11 分答案一：一辆 A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择

10、B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车 13 分答案二：一辆 A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 13 分17.（本小题满分14 分）解：(I)连接A C1交AC1于点O，连接EO因为1ACC A1为正方形，所以O为A C1中点又E为CB中点，所以EO为1A BC的中位线，所以1/EOA B3 分又EO平面1AEC，1A B平面1AEC所以1/A B平面1AEC 6 分()因为ABAC，又E为CB中点，所以AEBC8 分又因为在直三棱柱111ABCA B C中，1BB底面ABC，又AE底面

11、ABC,所以1AEBB,又因为1BBBCB，所以AE平面11BCC B，又1B C平面11BCC B，所以AE1B C10 分在矩形11BCC B中,1112tantan2CB CEC C,所以111CBCEC C，所以11190CBCEC B，即11B CEC 12 分又1AEECE，所以1B C平面11BCC B14 分18.（本小题满分13 分）解：（I）因为(1)(1)0,fg所以(1,0)在函数(),()f xg x的图象上又(),()afxx gxx，所以(1)1,(1)fga所以1a3分（）因为211()ln22F xxmx，其定义域为|0 x x2()mxmFxxxx 5 分当

12、0m时，2()0mxmFxxxx，所以()F x在(0,)上单调递增，所以()F x在1,e上最小值为(1)0F7 分当0m时，令2()0mxmFxxxx，得到120,0 xmxm(舍)当1m时，即01m时，()0Fx对(1,e)恒成立，所以()F x在1,e上单调递增,其最小值为(1)0F9 分当em时，即2em时,()0Fx对(1,e)成立，所以()F x在1,e上单调递减，其最小值为211(e)e22Fm11 分当1em,即21em时,()0Fx对(1,)m成立,()0Fx对(,e)m成立所以()F x在(1,)m单调递减,在(,e)m上单调递增其最小值为1111()lnln22222m

13、Fmmmmmm 13 分综上，当1m时，()F x在1,e上的最小值为(1)0F当21em时，()F x在1,e上的最小值为11()ln222mFmmm当2em时,()F x在1,e上的最小值为211(e)e22Fm.19.（本小题满分14 分）解：（I）因为(1,0)F为椭圆的焦点,所以1,c又23,b所以24,a所以椭圆方程为22143xy3 分（）因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1yx,和椭圆方程联立得到221431xyyx,消掉y,得到27880 xx5 分所以121288288,77xxx x所以21224|1|7CDkxx7 分（）当直线l无斜率时,直线方

14、程为1x,此时33(1,),(1,)22DC,ABDABC面积相等，12|0SS 8 分当直线l斜率存在（显然0k）时,设直线方程为(1)(0)yk xk,设1122(,),(,)C xyD xy和椭圆方程联立得到22143(1)xyyk x,消掉y得2222(34)84120kxk xk显然0，方程有根，且221212228412,3434kkxxx xkk10 分此时122121|2|2|SSyyyy212|(1)(1)|k xk x21212|2|()2|34kk xxkk12 分因为0k,上式1212123332 124|24|kkkk，（32k时等号成立）所以12|SS的最大值为3

15、14 分20.（本小题满分13 分）解：（I）由题2()f xaxaxyaxaxx在(0,)是增函数，由一次函数性质知当0a时，yaxa在(0,)上是增函数，所以0a3 分（）因为()f x是“一阶比增函数”，即()f xx在(0,)上是增函数，又12,(0,)x x，有112xxx，212xxx所以112112()()f xfxxxxx，212212()()f xf xxxxx 5 分所以112112()()x f xxf xxx，212212()()x f xxf xxx所以11221212121212()()()()()x fxxx f xxf xf xf xxxxxx所以1212()()()f xf xfxx 8 分（）设0()0f x，其中00 x.因为()f x是“一阶比增函数”，所以当0 xx时，00()()0fxfxxx法一：取(0,)t，满足()0f t，记()f tm由（）知(2)2ftm，同理(4)2(2)4ftftm，(8)2(4)8ftftm所以一定存在*nN，使得(2)22013nnftm，所以()2013f x一定有解13 分法二：取(0,)t，满足()0f t，记()f tkt因为当xt时，()()f xf tkxt，所以()f xkx对xt成立只要2013xk，则有()2013fxkx，所以()2013f x一定有解13 分