2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816024628).pdf

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1、2021 届高三数学（理）“大题精练”17在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,2sinxy（0,2),为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,xxyy得到曲线1C，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角）（）求曲线C的直角坐标方程和曲线1C的极坐标方程；（）若射线:0OA与曲线1C交于点A，射线:02OB与曲线1C交于点B，求2211OAOB的值18已知函数23fxsinx cosx3cos x2()求函数f x的单调递增区间；()若03fx5，0 x0,2，求0cos2x的值19已知数列na的前 n 项和为nS，满足22nnSna。(1)证

2、明：数列2na 是等比数列。并求数列na的通项公式na。(2)若数列nb满足2log2nnba，设nT是数列2nnba的前 n项和。求证：32nT。20如图，平面四边形ABCD中，4CD,2ABAD,60BAD,30BCD，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，平面PBD平面BCD，E为PD中点.（）求证：PDCE；（）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.21甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销5天。两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利5元，超出10件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利20元，且每卖出一件产

3、品再返利3元。经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：（）现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天，求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率.（）若将频率视作概率，回答以下问题：记甲品牌的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.22已知()sin()f xax aR,()xg xe.(1)若01a,判断函数()(1)lnG xfxx在0,1上的单调性；(2)设2()()2(1),()F xg xmxxkkR,对0,0 xm,有()0F x恒成立,求k的最小值20

4、21 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,2sinxy（0,2),为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,xxyy得到曲线1C，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角）（）求曲线C的直角坐标方程和曲线1C的极坐标方程；（）若射线:0OA与曲线1C交于点A，射线:02OB与曲线1C交于点B，求2211OAOB的值【解】（）由曲线C的参数方程为22xcosysin(0,2,aa为参数)，得224xy，所以曲线C的直角方程为224xy；曲线C经过伸缩变换得到1C的参数方程为42xcosysin，得2241

5、6xy，所以曲线C的极坐标方程为2222416cossin.（）将0代入2222416cossin得2221cossin164，即2221cossin164OA，同理22222cossin1sincos22164164OB，所以221111516416OAOB.18已知函数23fxsinx cosx3cos x2()求函数f x的单调递增区间；()若03fx5，0 x0,2，求0cos2x的值【解】：(1)fx2sin23x函数fx的单调递增区间为：7,1212kkkZ（2）0023sin 235fxx,00,2x，024cos 235x，0022413343 3cos2cos23352521

6、0 xx19已知数列na的前 n 项和为nS，满足22nnSna。(1)证明：数列2na 是等比数列。并求数列na的通项公式na。(2)若数列nb满足2log2nnba，设nT是数列2nnba的前 n项和。求证：32nT。【解】：(1)由22nnSna得22nnSan，当*nN时，22nnSan，当1n时，1122Sa，则12a，则当2n，*nN时，11221nnSan。，得1222nnnaaa，即122nnaa，所以1222nnaa，所以1222nnaa，所以2na是以12a为首项，以2 为公比的等比数列。所以124nnan，所以122nna。(2)由2 122log2log 21nnban

7、，得2nnba1122nnnbna，则231231222nnnT，3121212222nnnnnT12，得234122111121111114212222224212nnnnnnnT122111133422242nnnnn.所以1333222nnnT20如图，平面四边形ABCD中，4CD,2ABAD,60BAD,30BCD，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，平面PBD平面BCD，E为PD中点.（）求证：PDCE；（）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.【解】（）由题意ABD为等边三角形，则2BD，在三角形BCD中，4CD,30BCD，由余弦定理可求得2 3BC，222CDBDBC

8、，即BCBD又平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD，BC平面BCDBC平面PBDBCPD等边三角形PBD中，E为PD中点，则BEPD，且BCBEBPD平面BCE，PDCE（）以B为坐标原点，,BC BD分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，则0,0,0B，2 3,0,0C，0,2,0D，0,1,3P，330,22E2 3,2,0CD，0,1,3PD设,mx y z是平面PCD的法向量，则0m CD，0m PD2 32030 xyyz取1,3,1m3 332 522cos,553m BEm BEmBE所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为2 55.21甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场

9、批准两个品牌先进场试销5天。两品牌提供的返利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利5元，超出10件的部分每件返利7元；乙品牌每天固定返利20元，且每卖出一件产品再返利3元。经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下：（）现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天，求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率.（）若将频率视作概率，回答以下问题：记甲品牌的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由.【解】（）设A为从乙品牌试销售的5天中抽取3

10、天，这3天的销售量中至少有一天低于10件的事件，则1221232335C CC C9C10P A.另法：设A为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量中至少有一天低于10件的事件，则A为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量都不低于10件的事件，则3335C19111C1010P AP A.（）设甲品牌的日销售量为随机变量，则甲品牌的日返利额X（单位：元）与的关系为：5,01050710,11X.当6时，30X；当7时，35X；当10时，50X；当12时，64X；故X的分布列为X30355064P2515151521113035506441.85555E X（元）设乙品牌的日销售

11、量为随机变量，乙品牌的日返利额Y（单位：元）与的关系为：203Y，且的分布列为691213P15152515则112169121310.45555E（件）则3203203 10.42051.2E YEE（元）因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额，所以如果仅从日返利额的角度考虑，商场应选择乙品牌长期销售.另法：乙品牌的日返利额Y（单位：元）的取值集合为38,47,56,59，分布列为Y38475659P15152515则11213847565951.25555E Y（元）22已知()sin()f xax aR,()xg xe.(1)若01a,判断函数()(1)lnG xfxx在0,1

12、上的单调性；(2)设2()()2(1),()F xg xmxxkkR,对0,0 xm,有()0F x恒成立,求k的最小值【解】（1）1G xasinxlnx.11Gxacosxx11acosxx又0,1x，因此11x，而cos 11ax，所以0Gx，故G x在0,1单调递增.（2）由题意知，221xF xemxxk22xFxemx，设22xt xemx，则2xtxem，由于0m，故0tx，0,x时，t x单调递增，又01t，2220t lnmln，因此t x在0,2ln存在唯一零点0 x，使00t x，即00220 xemx，且当00,xx，0t x，0Fx，F x单调递减；0,xx，0t x，0Fx，F x单调递增；故02000210 xminF xF xemxxk，故0002000002211222xxxxekexxexx，设122xxZ xex,0,ln 2x112xxZxe，又设11022xxxxk xekxe故k x在0,2ln上单调递增，因此1002k xk，即0Zx，Z x在0,2ln单调递增，1,2ln2Z x，又12242lnln，所以2k，故所求k的最小值为2.