《利用平面向量的解题技巧》.pdf

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1、利用平面向量的解题技巧平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。一、用向量证明平面几何定理例 1.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图 1，AB 是O 的直径，点 P 是O 上任一点（不与 A、B 重合），求证：APB90。图 1 证明：联结 OP，设向量bOPaOA，则aOB且baOPOAPA，baOPOBPB0|a|b|abPBPA2222PBPA，即 APB90。二、用向量求三角函数值例 2.求值：76cos74cos72cos解：如图2，将边长为1 的正七边形ABCDEFO 放进直角坐标

2、系中，则)01(OA，)712sin712(cosFO)710sin710(cosEF)78sin78(cosDE)76sin76(cosCD)74sin74(cosBC)72sin72(cosAB，图 2 又0FOEFDECDBCABOA0712cos710cos78cos76cos74cos72cos1又72cos712cos74cos710cos76cos78cos，2176cos74cos72cos0)76cos74cos72(cos21三、用向量证明不等式例 3.证明不等式)bb)(aa()baba(2221222122211证明：设向量)bb(b)aa(a2121，则2221222

3、1bb|b|aa|a|，设 a与 b 的夹角为，222122212211bbaababa|b|a|bacos又1|cos|则)bb)(aa()baba(2221222122211当且仅当 a、b 共线时取等号。四、用向量解物理题例4.如 图3 所 示，正 六 边 形PABCDE的 边 长 为b，有 五 个 力PDPCPBPA、PE作用于同一点 P，求五个力的合力。图 3 解：所求五个力的合力为PEPDPCPBPA，如图 3 所示，以 PA、PE为 边 作 平 行 四 边 形PAOE，则PEPAPO，由 正 六 边 形 的 性 质 可 知b|PA|PO|，且 O 点在 PC 上，以 PB、PD 为边作平行四边形PBFD，则PDPBPF，由正六边形的性质可知b3|PF|，且 F 点在 PC 的延长线上。由正六边形的性质还可求得b2|PC|故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b6b3b2b，方向与PC的方向相同。