2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816025857).pdf

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1、2021 届高三数学（理）“大题精练”17已知nS为数列na的前 n 项和，且满足4133nnSa1求数列na的通项；2令112nnblog a，证明：1 2233 41111111nnnnbbb bb bb bbb18互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机Smartphone技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级 100 名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得

2、的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4 的饼图、(注：图中(1,i i2，7)(单位：小时)代表分组为1,ii 的情况)1求饼图中a 的值；2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)3从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由19如图，已知在四棱锥SAFCD 中，平面SCD平面 AFCD，DAF ADC90，AD1，AF2DC4，2SCSD，B，E 分别为 AF，SA的中点（1

3、）求证：平面BDE平面 SCF（2）求二面角ASCB 的余弦值20过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24xy，点 P，Q 在直线 l：1y上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为AB，CD1当点 P在 l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由2当ABCD时，点 P，Q 在什么位置时，PQ取得最小值？21已知函数1afxalnxaRx，（1）讨论 f（x）的单调性；（2）证明：当1a0 时，f（x）存在唯一的零点x0，且 x0随着 a 的增大而增大22已知曲线E 的参数方程为2(3xcosysin为

4、参数)，以直角坐标系xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系1求曲线 E 的直角坐标方程；2设点 A 是曲线 E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD，其中 AB，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围231解不等式2x1x23；2设 a，b，c0且不全相等，若abc1，证明：222abcbcacab62021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17已知nS为数列na的前 n 项和，且满足4133nnSa1求数列na的通项；2令112nnblog a，证明：1 2233 41111111nnnnbbb bb bb

5、bbb解：41133nnSa，可得1114133aSa，解得11a，2n时，1141413333nnnnnaSSaa，即有114nnaa，故数列na是以11a为首项，以14为公比的等比数列，则11()4nna；2证明：2111221()22nnnblog alogn，11111122141nnb bnnnn，12231111111111142231nnbbb bb bnn1114141nnn，112 2141nnnnbbnn，则1223341111111nnnnb bb bb bb bb b18互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机Smartphone技术不断成熟，价格却不断下降，成为了

6、生活中必不可少的工具.中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一.逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机.手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级 100 名同学使用手机的情况进行调查.针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4 的饼图、(注：图中(1,i i2，7)(单位：小时)代表分组为1,ii 的情况)1求饼图中a 的值；2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)3从该校随机选取一名同学，

7、能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由解：1由饼图得：16%9%27%12%14%3%29%a2假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100 名学生每天平均使用手机的平均时间在第4 组3样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计19如图，已知在四棱锥SAFCD 中，平面SCD平面

8、 AFCD，DAF ADC90，AD1，AF2DC4，2SCSD，B，E 分别为 AF，SA的中点（1）求证：平面BDE平面 SCF（2）求二面角ASCB 的余弦值（1）证明：DAF ADC90，DCAF，又 B 为 AF 的中点，四边形BFCD 是平行四边形，CFBD，BD?平面 BDE，CF?平面 BDE，CF平面 BDE，B，E 分别是 AF，SA的中点，SFBE，BE?平面 BDE，SF?平面 BDE，SF平面 BDE，又 CFSFF，平面BDE平面 SCF（2）取 CD 的中点 O，连结 SO，SCD 是等腰三角形，O 是 CD 中点，SO CD，又平面 SCD平面 AFCD，平面

9、SCD 平面 AFCD CD，SO平面 AFCD，取 AB 的中点 H，连结 OH，由题设知四边形ABCD 是矩形，OHCD，SOOH，以 O 为原点，OH 为 x 轴，OC 为 y 轴，OS 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（1，1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），CA（1，2，0），CS（0，1，1），CB（1，0，0），设平面 ASC 的法向量m（x，y，z），则200m CAxym CSyz，取 y 1，得m（2，1，1），设平面 BSC 的法向量n（x，y，z），则00n CBxn CSyz，取 y1，得n（0，1，1），cos23362m nmnm

10、n，由图知二面角ASCB 的平面角为锐角，二面角 ASC B的余弦值为3320过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24xy，点 P，Q 在直线 l：1y上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为AB，CD1当点 P在 l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由2当ABCD时，点 P，Q 在什么位置时，PQ取得最小值？解：1设11,A x y，22,B xy，0,1P x，则2114xy，2224xy，抛物线的方程可变形为214yx，则2xy，直线 PA 的斜率为01|2PAxxxky，直线 PA 的方程

11、1112xyyxx，化简112x xyy，同理可得直线PB 的方程为222x xyy，由0,1P x可得011x2102221xyx xy，直线 AB 的方程为021x xy，则01xy是方程的解，直线 AB 经过定点0,12设,1PP x，,1QQ x，由1可知2PABxk，2QCDxk，ABCD，14PQABCDx xkk，即4PQx x，Px，Qx异号，不妨设0Px，则0Qx，且4QPxx，44PQPQPPPQxxxxxx，当且仅当2Px，2Qx时取等号，即当2,1P，2,1Q时，PQ取得最小值421已知函数1afxalnxaRx，（1）讨论 f（x）的单调性；（2）证明：当1a0 时，

12、f（x）存在唯一的零点x0，且 x0随着 a 的增大而增大解：（1）f（x）的定义域为（0，+）；2211axaaaf xxxx；当 a 0时，210fxx，则 f（x）在（0，+）上单调递减；当 a 0时，21aa xafxx，而10aa；则 f（x）在10aa，上单调递减，在1aa，上单调递增；当 1 a 0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减；当 a 1 时，f（x）在10aa，上单调递增，在1aa，上单调递减；综上，当 a 1 时，f（x）在10aa，上单调递增，在1aa，上单调递减；当 1 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，f（x

13、）在10aa，上单调递减，在1aa，上单调递增；（2）由（1）得当 1a0 时，f（x）在（0，+）上单调递减；f（x）至多有一个零点；又 1a0；11a，f（1）a+10，11faalnaa；令 g（x）x1 lnx，则111xg xxx；g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；g（x）g（1）0，即 x1lnx0，当且仅当x1 时取等号；110faalnaa；f（x）存在唯一得零点011xa，；由 f（x0）0，得0010aalnxx，即00011a lnxxx；x0（1，+），0010lnxx；00011xalnxx，即 a 是 x0的函数；设11xh xlnxx，x（1

14、，+），则22101()lnxh xxlnxx；h（x）为（1，+）上的增函数；a随0 x增大而增大，反之亦成立.x0随着 a 的增大而增大22已知曲线E 的参数方程为2(3xcosysin为参数)，以直角坐标系xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系1求曲线 E 的直角坐标方程；2设点 A 是曲线 E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD，其中 AB，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围解：1曲线 E 的参数方程为2(3xcosysin为参数)，转换为直角坐标方程为：22143xy2设点 A 的坐标为2,3cossi

15、n，3,3Bsin，2,2Dcos，所以；3232ABcoscos，2323ADsinsin，2102 7lABADsin，所以矩形的周长的取值范围为102 7,1027.231解不等式2x1x23；2设 a，b，c0且不全相等，若abc1，证明：222abcbcacab6解：1原不等式等价于x22x1x23或1222123xxx或122123xxx，解得：x2或2x0或2x3，故原不等式的解集是2,0,3；2证明：22bc2bc，c0，abc1，22a bc2abc2，同理22b ca2abc2，22c ab2abc2，又 a，b，c0且不全相等，故上述三式至少有1 个不取“”，故222abcbcacab222222a ba cb cb ac ac b222222a bcb cac ab6