高中数学第一章集合与函数概念末复习方案与全优评估新人教A版必修.pdf

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1、【创新方案】2013-2014 学年高中数学第一章 集合与函数概念末复习方案与全优评估新人教 A版必修 1 1集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意2集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集解题时，已知条件中出现A?B时，不要遗漏A?.3集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Ve

2、nn图与数轴是集合运算的重要工具注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A?B?ABA?ABB.4函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间 a，b 上是增函数或减函数，必须证明对 a，b 上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)成立；若要证明f(x)在区间 a，b 上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2I，则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1x2?f(x1)f(x2)(2)若函数f(x)在区间I上是单

3、调函数，则方程f(x)0在区间I上至多有一个实数根(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)g(x)亦与它们的单调性相同函数单调性的判断方法：定义法；图象法5函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提集合间关系的应用 例 1 已知集合Ax|x23x20，Bx|x2x2m 0 若ABB，求m的取值范围 解(1)由题意得A1,2 因为ABB，所以B?A.当B?时，方程x2x2m0 无实数解，因

4、此其判别式18m18；当B1 或B2 时，方程x2x2m0 有两个相同的实数解x1 或x2，因此其判别式18m0，解得m18，代入方程x2x2m0 解得x12，矛盾，显然m18不符合要求；当B1,2 时，方程x2x2m 0 有两个不相等的实数解x1 或x2，因此 121,2m 2.显然第一个等式不成立综上所述，m18.借题发挥 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误1已知集合My|yx21，x R，Nx|yx1，则M与N之间的关系()AM NBM NCMNDM与N关系不确定解析：M y|y1，Nx|

5、x 1，M N.答案：A 2已知Ax|x22xp0，x R，B x|x0，xR且AB?，求实数p的取值范围解：AB?，A有两种情况：A?；A?.当A?时，4 4p1.当A?时，则方程x22xp0 有实数根且根非正44p0 x1x2 20，x1x2p00p1.综上所述，p0.集合的运算 例 2 若集合Ax|x1，B x|2x2，则AB_.解析 由Bx|2x2，又Ax|x1，结合数轴知：所以ABx|1 x2 答案 x|1 x2 借题发挥 此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，

6、可借助数轴分析出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示 例 3 已知Ax|2axa3，Bx|x5，若AB?，求a的取值范围 解 由AB?，若A?，有 2aa3，a3.若A?，如图：2a 1a352aa3，解得12a2.综上所述，a的取值范围是 12，2 (3，)借题发挥 (1)依据数形结合的数学思想，利用数轴分析法是解决有关交集、并集问题，特别是一些字母范围问题的常用方法(2)若AB?，则集合A、B可能的情况为：A、B均为空集；A与B中只有一个是空集；A、B虽然非空但无公共元素3集合Ax|1x2，Bx|x1 Bx|x1Cx|1x2 Dx|1 x2解析：B x|x1，?RBx|x

7、1A(?RB)x|1 x2答案：D 4已知U0,2，x22，?UA2，x，则A_.解析：(?UA)?U，xU且x2.当x0 时，U0,2，2，?UA0,2，A 2 当xx2 2时得x 1 或x2(舍去)x 1 时，U0,2，1，?UA 2，1，A0 答案：2或0 函数概念问题 例 4 已知f(x)x1，x04x，x0，若f(a)2，则实数a_.解析 当a0时，f(a)a 12，a1.当a0 时，f(a)4a2，a12(舍去)答案 1 借题发挥 解决分段函数求值问题的关键是搞清分段标准，然后代入相应的解析式即可 例 5 求下列函数的定义域：(1)f(x)x112x；(2)已知yf(x)的定义域是

8、 0,4，求yf(x1)f(2x1)的定义域 解(1)使根式x 1有意义的实数x的集合是 x|x 1，使分式12x有意义的实数x的集合是 x|x2，所以这个函数的定义域是 1,2)(2，)(2)要使yf(x1)f(2x1)有意义，必须有0 x1402x14?1x312x52?12x52.故所求函数的定义域为12，52 借题发挥 已知解析式求函数的定义域，即求使解析式有意义的自变量的取值范围；而本例(2)为抽象函数的定义域问题，函数yf(x1)f(2x1)的定义域为yf(x 1)与yf(2x1)的定义域的交集5函数y211x的定义域为()A(，1)B(，0)(0,1 C(，0)(0,1)D1，)

9、解析：要使函数有意义，则1x011x0，即x1 且x0.答案：B 6设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，若f(1)2，求f(99)的值解：f(x)f(x2)13.且f(1)2.f(3)13f1132，f(5)13f32.f(7)13f5132.f(9)13f72，f(2n1)2 n为奇数132n为偶数.f(99)f(250 1)132.函数图象及应用 例 6 设函数f(x)x22x2，x t，t 1，t R，求函数f(x)的最小值 解 f(x)x22x2(x1)21，x t，t1，tR，对称轴为x1.当t11，即t1 时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间 t，t1 上为

10、增函数，所以最小值为f(t)t22t2.借题发挥 本题中区间是变化的，从运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰7设函数f(x)x22|x|1(3x3)，(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上是增函数还是减函数；(4)求函数的值域解：(1)证明：f(x)(x)22|x|1 x22|x|1f(x)，即f(x)f(x)又 3x3，关于原点对称，f(x)是偶函数(2)当x0时，f(x)x22x1(x1)22，当x0 时，f(x)x22x1(x1)22，

11、即f(x)x 122 0 x3x 122 3x0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图(3)函数f(x)的单调区间为 3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在区间 3，1)和0,1)上为减函数，在 1,0)，1,3上为增函数(4)当x0时，函数f(x)(x1)22 的最小值为2，最大值为f(3)2；当x0 时，函数f(x)(x1)2 2 的最小值为 2，最大值为f(3)2.故函数f(x)的值域为 2,2.函数的单调性、奇偶性与最值问题 例 7 已知函数f(x)xmx，且此函数图象过点(1,5)(1)求实数m的值；(2)判断f(x)奇偶性 解(1)f(x)过点(1,5)，1m5?m4.

12、(2)对于f(x)x4x，x0，f(x)的定义域为(，0)(0，)关于原点对称f(x)x4xf(x)f(x)为奇函数 借题发挥 在判断函数的奇偶性之前，首先要确定函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性，若函数的定义域关于原点对称，则再利用f(x)与f(x)的关系判断奇偶性 例 8 已知函数f(x)x22ax2，x 5,5(1)求实数a的范围，使yf(x)在区间 5,5 上是单调函数；(2)求f(x)的最小值 解(1)f(x)(xa)22a2，可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为xa，要使f(x)在 5,5 上单调，则a5 或a5，即a5 或a 5.(2)当a 5，即

13、a5 时，f(x)在 5,5 上是增函数，所以f(x)minf(5)2710a.当 5a5，即 5a5 时，f(x)minf(a)2a2，当a5，即a 5 时，f(x)在 5,5 上是减函数，所以f(x)minf(5)2710a，综上可得，f(x)min2710aa5，2a25a 5，2710aa 5.借题发挥 解决二次函数的最值问题主要采用图象法或根据单调性求解，若问题中含参数，往往需要分类讨论，该类问题概括起来主要有两类：一是二次函数的解析式确定(不含参数)，而定义域为不定区间；二是定义域确定，而解析式中含参数，无论哪一类应视抛物线的开口方向，就对称轴与给出的区间的位置进行讨论8函数f(x

14、)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且f(12)25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.解：(1)根据题意得f00，f1225即a0b1020，a2b11425解得a1，b0f(x)x1x2.(2)任取 1x1x21，则f(x1)f(x2)x11x21x21x22x1x21x1x21x211x22.1x1x21，x1x20,1 x220.又 1x1x20.f(x1)f(x2)0.即f(x1)f(x2)f(x)在(1,1)上是增函数(3)f(t1)f(t)f(t)f(x)在(1,1)上是增函数，1t11，1

15、t1，t1t.解得 0t12.9设函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)若f(3)1，且f(a)f(a 1)2，求实数a的取值范围解：因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以 2 2f(3)f(3)f(3)f(9)，又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a 1)f(9)，再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f(9(a1)因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有a09a10a9a1，解得 1a98.故所求实数a的取值范围为(1，98)(时间 90 分钟，满分120 分)一、选择题(本大题共10 个小题，每小题 5 分，满分 50 分在每

16、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|x210，则下列式子表示正确的有()1A 1A?A1，1?AA1 个B2 个C3 个D4 个解析：A x|x210 1，1 均正确答案：C 2设全集UR，Mx|x2，Nx|1x3，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|2x1 B x|2x2Cx|1x2 D x|x2 解析：阴影部分所表示集合是N(?UM)，又?UMx|2x2，N(?UM)x|10，0，x0，1，x0时是增函数，x0 也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数f(x)ax2bx2 与x轴没有交点，则b2 8a0；(3)yx22|x|3的递增区间为1，)其中正确命

17、题的个数是()A0 B1 C2 D3 解析：(1)反例：f(x)1x；(2)不一定a0，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有 1,0 和 1，)答案：A 8函数yf(x)是 R上的偶函数，且在(，0 上是增函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba 2 C2a2 Da 2 或a2解析：yf(x)是偶函数，且在(，0 上是增函数，yf(x)在 0，)上是减函数，由f(a)f(2)，得f(|a|)f(2)|a|2，得a 2 或a2.答案：D 9定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2(，0(x1x2)，都有x2x1fx2fx10，则()Af(5)f(4)f(6

18、)Bf(4)f(5)f(6)Cf(6)f(5)f(4)Df(6)f(4)0，对任意x1，x2(，0，若x1x2，总有f(x1)f(5)f(6)又函数f(x)是偶函数，f(6)f(6)，f(4)f(4)f(6)f(5)f(4)答案：C 10设数集Mx|mxm34，Nx|n13xn，且M、N都是集合 x|0 x1的子集，如果把ba叫做集合 x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512解析：由集合长度的定义知M的长度为34，N的长度为13，若要使MN的长度最小则应使M的左端点m与N的右端点n离得最远，又M、N都是集合 x|0 x1的子集，应使m0，n

19、1.此时Mx|0 x34，Nx|23x1，此时MNx|23x34，其长度为3423112.答案：C 二、填空题(本大题共4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上)11函数yx 1x的定义域是 _解析：要使函数yx1x有意义得x10，x0，x1.答案：x|x112已知函数满足f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，则下列各式恒成立的是_f(0)0 f(3)3f(1)f(12)12f(1)f(x)f(x)0 解析：令xy0，则f(0)0 成立；f(2)2f(1)，f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)恒成立；f(1212)2f(12)f(12)12f(1)成立当x

20、0时不成立答案：13若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析：f(x)bx2(2aab)x2a2由f(x)为偶函数可得2aab 0.若a0 则f(x)bx2其值域不可能为(，4，故b 2，此时f(x)2x22a22a2.又由值域为(，4 可得 2a24.f(x)2x24.答案：2x2 4 14函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x 2)1fx，若f(1)5，则f(f(5)_.解析：f(x2)1fx，f(x22)1fx2f(x)f(x4)f(x)，f(5)f(1)5.ff(5)f(5)f(1)f(3)f(1 2)1f115

21、.答案：15三、解答题(本大题共4 个小题，满分50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12 分)已知集合Ax|ax10，Bx|x23x20，且A?B，求实数a的值解：B1,2，且A为?或单元素集合，由A?B?A可能为?，1，2(1)A?a0；(2)A1?a1；(3)A2?a12.综上得a0 或 1 或12.16(本小题满分12 分)已知函数f(x)2xm，其中m为常数(1)求证：函数f(x)在 R上是减函数；(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值解：(1)证明：任取x1x2R，则f(x1)f(x2)2x1m(2x2m)2(x2x1)又x10.f(x1)f(

22、x2)0.f(x1)f(x2)f(x)为 R上的减函数(2)f(x)为奇函数f(x)2xmf(x)2xm，m0.17(本小题满分12 分)若f(x)是定义在(0，)上的增函数，且对一切x，y0，满足f(xy)f(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f(13)2.解：(1)在f(xy)f(x)f(y)中，令xy1，则有f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(6)1，f(x3)f(13)2 f(6)f(6)，f(3x9)f(6)f(6)，即f(x 32)0，x326解得 3x9.即不等式的解集为(3,9)18(本小题满分14 分)小张周末自己驾车旅游，早

23、上八点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单 位：h)的函数关系式为s(t)5t(t 13)由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场在景区玩到16 点，小张开车从停车场以 60 km/h 的速度沿原路返回(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；(2)在距离小张家60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间解：(1)依题意得，当0t3 时，s(t)5t(t13)，s(3)53(3 13)150.即小张家距离景点150 km，小张的车在景点逗留时间为16835(h)当 3t8时，s(t)150，小张从景点回家所花时间为150602.5(h)，故s(10.5)2150 300.当 8t10.5 时，s(t)150 60(t8)60t330.综上所述，这天小张的车所走的路程s(t)5tt 13，0t3，150，3t8，60t330，8t10.5.(2)当 0t3 时，令 5t(t13)60 得t213t120，解得t 1或t12(舍去)，当 8t10.5 时，令 60t 3302150 60240，解得t192.答：小张这天途经该加油站的时间分别为9 点和 17 时 30 分