《点到直线的距离》教学设计(优质课).pdf

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1、点到直线的距离（一）教学目标1知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我用 POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾

2、两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.概念形成1点到直线距离公式点 P(x0，y0)到直线 l：Ax+By+C=0 的距离为0022|AxByCdAB推导过程方案一：设点 P到直线 l 的垂线段为PQ，垂足为 Q，由 PQ l 可知，直线 PQ的斜率为BA(A0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由 l 与 PQ的方程求出点 Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点 P到直线 l 的距离为 d.此方法虽思路自然

3、，但运算较繁，下面我们探讨另一种（1）教师提出问题已知 P(x0，y0)，直线 l：Ax+By+C=0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点 P到直线 l 的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线 l 的距离转化为点 P到l 的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.寻找最佳方案，附方案二.方案二：设 A0，B0，这时 l 与x 轴、y 轴都相交，过点 P作 x 轴的平行线，交 l 于点 R(x1，y0)；作 y轴的平行线，交 l 于点 S(x0，y2)，由1100200A xByCAxByC得0012,ByCAxCxyAB通过这种转化，

4、培养学生“化归”的思想方法.方法.所以0001|AxByCPRxxA0002|AxByCPSyyB22|RSPRPS22|ABAB00|AxByC由三角形面积公式可知 d|RS|=|PR|PS|.所以0022|AxByCdAB可证明，当 A=0 时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例 1 求点 P=(1，2)到直线 3x=2 的距离.解：22|3(1)2|5330d例 2 已知点 A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，求三角形 ABC的面积.学生分析求解，老师板书例 2 解：设 AB边上的高为 h，则221|2|(31)(1 3)2 2

5、ABCSAB hABVAB边上的高 h 就是点 C到 AB的距离.AB边所在直线方程为311 331yx即x+y 4=0.点 C到 x+y 4=0的距离为h2|104|5112h，通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.因此，152 2522S ABC概念深化2两平行线间的距离d已知 l1：Ax+By+C1=0 l2：Ax+By+C2=0 1222|CCdAB证明：设 P0(x0，y0)是直线Ax+By+C2=0 上任一点，则点 P0到直线 Ax+By+C1=0 的距离为00122|AxByCdAB.又 Ax0+By0+C2=0

6、 即 Ax0+By0=C2，1222|CCdAB教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例 3 求两平行线l1：2x+3 y 8=0 l2：2x+3 y 10=0 的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为 l1l2，所以 P到 l2的距离等于 l1与 l2的距离，于是22|243010|2131323d在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.解法二：直接由公式22|8(10)|2 131323d课堂练习：已知一直线被两平行线 3x+4 y 7=0与3x+4

7、y+8=0所截线段长为 3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.归纳总结小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结交流完善培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.课后作业布置作业见习案 3.3 的第三课时独立完成巩固深化备选例题例 1 求过点 M(2，1)且与 A(1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.解法一：当直线斜率不存在时，直线为x=2，它到 A、B两点距离不相等.所以可设直线方程为：y 1=k(x+2)即 kx y+2 k+1=0.由22|221|321|11kkkkkk，解得 k=0 或12k.故所

8、求的直线方程为y 1=0或 x+2 y=0.解法二：由平面几何知识：l AB或 l 过 AB的中点.若 l AB且12ABk，则 l 的方程为 x+2 y=0.若 l 过 AB的中点 N(1，1)则直线的方程为y=1.所以所求直线方程为y 1=0或 x+2 y=0.例 2 （1）求直线 2x+11 y+16=0关于点 P(0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线 3x+4 y 1=0与 6x+8 y+3=0关于直线 l 对称，求 l 的方程.【解析】（1）当所求直线与直线2x+11 y+16=0平行时，可设直线方程为2x+11 y+C=0 由P点到两直线的距离相等，即2222|11|11162

9、11211C，所以 C=38.所求直线的方程为2x+11 y 38=0.（2）依题可知直线l 的方程为：6x+8 y+C=0.则它到直线 6x+8 y 2=0的距离122|2|68Cd，到直线 6x+8 y+3=0的距离为222|3|68Cd所以 d1=d2即2222|2|3|6868CC，所以12C.即 l 的方程为：16802xy.例 3 等腰直角三角形 ABC的直角顶点 C和顶点 B都在直线 2x+3 y 6=0上，顶点A的坐标是(1，2).求边 AB、AC所在直线方程.【解析】已知 BC的斜率为23，因为 BC AC所以直线 AC的斜率为32，从而方程32(1)2yx即 3x 2 y

10、7=0 又点 A(1，2)到直线 BC：2x+3 y 6=0的距离为10|13AC，且10|13ACBC.由于点 B在直线 2x+3 y 6=0上，可设2(,2)3B aa，且点 B到直线 AC的距离为222|32(2)7|103133(2)aa13|11|103a所以1311103a或1311103a，所以6313a或313所以6316(,)1313B或324(,)13 13B所以直线 AB的方程为162132(1)63113yx或242132(1)3113yx即 x 5 y 11=0或 5x+y 3=0 所以 AC的直线方程为：3x 2 y 7=0 AB的直线方程为：x 5 y 11=0或 5x+y 3=0.