【最新】2020届山西省实验中学高三下学期3月开学摸底数学(理)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 22 页2020 届山西省实验中学高三下学期3 月开学摸底数学（理）试题一、单选题1已知复数z23(13)ii，则|z|()A14B12C1 D2【答案】B【解析】【详解】解：因为z=23(3)334(13)22 32(3)iiiiiiii，因此|z|122已知命题:pxR，212xx；命题:q不等式2210 xx恒成立，那么命题（）Ap且q是真命题Bp或q是假命题Cq是真命题Dp是假命题【答案】B【解析】判断出命题p、q的真假，然后利用复合命题的真假可判断各选项的正误.【详解】对于命题p，221210 xxxQ，即212xx，命题p为假命题；对于命题q，当0 x时，22110

2、 xx，命题q为假命题.所以，p且q是假命题，p或q是假命题，p是真命题.故选：B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键在于判断各简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题.3已知3,2，4sin5，则tan4（）A17B17C7D 7【答案】A【解析】利用同角三角函数的基本关系求出tan的值，然后利用两角差的正切公式可第 2 页 共 22 页求出tan4的值.【详解】3,2Q，231sincos5，sin4tancos3.因此，41tantan134tan4471tantan1143.故选：A.【点睛】本题利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.4如图为由三棱柱切割而得到

3、的几何体的三视图，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的体积为（）A3B2 33C4 33D2 3【答案】C【解析】【详解】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，其直观图如图所示.且该三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，其高为2，因此，该几何体的体积为221114 322sin602sin6022323Voo.第 3 页 共 22 页故选：C.【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题目5某校约有1000 人参加模块考试,其数学考试成绩服从正态分布N(90,a2)(a0),统计结果显示数学考试成绩在70 分到 110分之间的人数约为总

4、人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110 分的学生人数约为（）A600 B400C300 D200【答案】D【解析】70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据正态分布知，90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110 分以上的约为总数的0.5 0.3=0.2.【详解】根据正态分布知，其均值为90 分，又 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的0.6，根据对称性知90 分到 110 分之间的约为总数的0.3，所以可知110 分以上的约为总数的0.5 0.3=0.2，故有大约1000 0.2200人，选 D.【点睛】本题主要考查了正态分布，利用正态分布的对称性解题，属于中

5、档题.6某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为Ak4?Bk5?Ck6?Dk7?第 4 页 共 22 页【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224kS，第二次运行213,8311kS，第三次运行314,22426kS，第四次运行4154,52557kS，输出57S，所以判断框内为4?k，故选 C.【考点】程序框图.7将 6 名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则共有y种不同的方案，其中xy的值为（）A 1269B 1206C1719D 756【

6、答案】A【解析】试题分析：将6 名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有63729x种不同的方案，若每项比赛至少要安排一人时，则首先将6 人分成 3 组，3 组的人数为2,2,2或1,2,3或1,1,4，这样无序分组的方法有222114123642654653323290C C CC C CC C CAA种，然后将3 个小组与3 个比赛对应，又有33A种，则共有3390540yA种不同的方案，所以7295401269xy，故选择A，注意无序分组中均匀分组与非均匀分组的计数区别，否则会犯错.【考点】有限制条件的排列、组合计数

7、问题.80函数()sinsin22xxf x在43,上单调递增，则的范围是A20,3B30,2C0,2D2,【答案】B【解析】先化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质分析得到的不等式组，解之即得解.【详解】由题得111()=sincossinx222f xwxwxw，第 5 页 共 22 页所以函数的最小正周期为2Tw,因为函数()sinsin22xxf x在43,上单调递增，所以24w324w4，又 w0，所以302w.故选 B【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9球O的球面上有四点S、A、B、C，其中O、A、B、C四点共面，A

8、BC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则棱锥SABC体积的最大值为（）A3B13C32D33【答案】D【解析】由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，三棱锥SABC的体积最大，计算出SH的长以及ABC的面积，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】如下图所示：由于面SAB面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，ABCQ是边长为2的等边三角形，所以，球O的半径为22 32sin 603ro，第 6 页 共

9、22 页在Rt SHO中，113223OHOCOS，30HSOo，221SHSOOH，所以，三棱锥SABC的体积为21132sin 601323Vo.故选：D.【点睛】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出点S的位置是关键 考查空间想象能力、计算能力，属于中等题.10已知四棱锥SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（）A123B321C132D231【答案】D【解析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设

10、O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO、SN、OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此123,SENSEOSMO从而123tan,tan,tan,SNSNSOSOENOMEOOM因为SNSOEOOM，所以132tantantan,即132，选 D.第 7 页 共 22 页【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.11设fx是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有4fxfx，且当2,0 x时，112xfx，若在区间2,6内关于x的方程log201afxxa恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A1,2B2

11、,C31,4D34,2【答案】D【解析】由已知中可以得到函数yfx是一个周期函数，且周期为4，将方程log20afxx恰有3个不同的实数解，转化为函数yfx与函数log2ayx在区间-2,6 上的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围【详解】对任意xR，都有4fxfx，则函数yfx是一个周期函数，且周期为4，当2,0 x时，112xfx，且函数yfx是R上的偶函数，若在区间2,6内关于x的方程log201afxxa恰有3个不同的实数根，则函数yfx与函数log2ayx在区间2,6上的图象恰有3个不同的交点，如下图所示：第 8 页 共 22 页又223ff，所以log 43lo

12、g 83aa，解得342a.因此，实数a的取值范围是34,2.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题12已知双曲线C:的离心率为2,为期左右顶点,点 P 为双曲线C在第一象限的任意一点,点 O 为坐标原点,若的斜率为,则的取值范围为()ABCD【答案】A【解析】试题分析：，设，则，又双曲线渐近线为，所以，故，选 A【考点】离心率渐近线斜率二、填空题13若0sinaxdx，则二项式61()axx展开式中含x的

13、项的系数是_【答案】240 第 9 页 共 22 页【解析】00sin(cos)|2xxaxdxx,6611()(2)axxxx展开式通项为：663661(2)()(1)2rrrrrrrTCxC xx令 3-r=1 得 r=2.所以展：开式中含x的项的系数是2426(1)2240C141,?21yx yyxxym满足，如果目标函数zxy的最小值为-1，则实数 m=【答案】5【解析】【详解】试题分析：画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m 的方程组，消参后即可得到m 的取值,解：画出x，y 满足的可行域如下图：可得直线y=2x

14、-1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数z=x-y 取得最小值，由可得，代入 x-y=-1 得第 10 页 共 22 页 m=5 故答案为5【考点】线性规划15在 ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，若其面积2sinSbA，角A的平分线AD交BC于D，233AD，3a，则b_.【答案】1【解析】由题意得21sinsin2SbcAbA，所以2cb，即2cb由三角形角分线的性质可知，2 33BD，33CD在ABC中，由余弦定理得2243cos2 23bbBb，在ABD中，由余弦定理得244433cos2 32 23bBb，22244443332 232 32 23bbbbb，解得

15、1b答案：1 点睛：根据三角形的面积公式in12sSabC和12Sah可得三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段，和加这个角的两边对应成比例，利用这一性质可进行三角形边的有关计算16已知圆心角为120的扇形 AOB 半径为1，C 为?AB中点点D，E 分别在半径OA，OB 上 若 CD2CE2 DE252，则 OD OE 的取值范围是【答案】15214,45第 11 页 共 22 页【解析】连接OC因为C为?AB的中点，所以60AOCBOCo由余弦定理可得：22222cos601CDODOCOD OCODODo22222cos601CEOEOCOE OCOEOEo两式相加

16、可得，22222CDCEODOEODOE而22252CDCEDE，所以222522DEODOEODOE，即22212ODOEDEODOE再由余弦定理可得，222222cos120DEODOEOD OEODOEOD OEo所以221222ODOEOD OEODOE，即2223311()()2222ODOEODOEODOE因为2222()()2ODOEODOEODOE当且仅当ODOE时取等号所以2251()()2()()42ODOEODOEODOEODOE解得1521445ODOE三、解答题17已知na为单调递增数列，nS为其前n项和，22nnSan()求na的通项公式；()若211,2nnnnn

17、nabTaann为数列nb的前n项和，证明：12nT.【答案】(1)nan(2)见解析【解析】试题分析：（1）由22nnSan得2112nnSan，所以2211221nnnnSSaa,整理得11nnaa,所以na是以1为首项，1为公差的等差数列，可得nan；（2）第 12 页 共 22 页结合（1）可得21111211221221nnnnnnnnanbaannnnnnnnnn，利用裂项相消法求得nb的前n项和，利用放缩法可得结论.试题解析：（）当1n时，2111221Saa,所以2110a，即11a,又na为单调递增数列，所以1na.由22nnSan得2112nnSan，所以2211221nn

18、nnSSaa,整理得221121nnnaaa,所以2211nnaa.所以11nnaa，即11nnaa,所以na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以nan.()21111211221221nnnnnnnnanbaannnnnnnnnn所以1223111111121222223221nnnTnnLnnnnnn1111121212nnnn.【方法点晴】本题主要考查数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)1111n nkknnk；（2）1nkn1

19、nknk；（3）111121 2122121nnnn；（4）11122n nn11112n nnn；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18如图，已知三棱柱111ABCA B C中，侧棱与底面垂直，且12AAABAC，ABAC，M、N分别是1CC、BC的中点，点P在线段11A B上，且11APPBuuu ruuu r.第 13 页 共 22 页（1）求证：不论取何值，总有AMPN；（2）当1时，求平面PMN 与平面ABC所成二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1414.【解析】（1）以点A为坐标原点，以AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、

20、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，求出向量AMu uuu r和PNuuu r的坐标，通过0AM PNu uuu r u uu r可证明出AMPN；（2）分别求出平面ABC的一个法向量和平面PMN 的法向量，由此利用向量法能求出平面 PMN 与平面ABC所成锐二面角的余弦值【详解】以点A为坐标原点，以AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz，则10,0,2A，12,0,2B，0,2,1M，1,1,0N.（1）11111A PPBA BA Puu uru uu ruuuu ruuu rQ，11122,0,0,0,0111A PA Bu uu ru uuu

21、 r，11220,0,2,0,0,0,211APAAA Pu uu ru uu ru uu rQ，第 14 页 共 22 页21,1,0,0,2,1,2111PNANAPuuu ruuu ruuu r.0,2,1AMu uu u rQ，0220AM PNuuuu r uuu r，因此，无论取何值，AMPN；（2）当1时，1,0,2P，0,1,2PNuu u r，1,2,1PMuu uu r，而平面ABC的法向量0,0,1nr，设平面 PMN 的法向量为,1x ymu r，则21020m PMxym PNyu uu u vvu uu vv，解得32xy，则3,2,1mu r，设为平面 PMN 与

22、平面ABC所成的锐二面角，则14cos14m nmnu r ru rr.因此，平面PMN 与平面ABC所成二面角的余弦值是1414.【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在20,40内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.第 15 页 共 22 页表：设备改造后样本的频数分布表质量

23、指标值15,2020,2525,3030,3535,4040,45频数4369628324（1）完成下面的22列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据频率分布直方图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在25,30内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在20,25或30,35内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二

24、等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为x（单位：元），求x的分布列和数学期望.附：第 16 页 共 22 页20()P Kk0.1500.1000.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bcKab cd ac bd【答案】(1)列联表见解析；有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)设备改造后性能更优(3)分布列见解析；()400E X.【解析】分析：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样

25、本的频数分布表完成22列联表，求出2212.210n adbcKabcdacbd，与临界值比较即可得结果；（2）根据频率分布直方图和频数分布表，可得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而可得结果；（3）随机变量X的取值为：240,300,360,420,480，利用古典概型概率公式，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X的数学期望.详解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成下面的22列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400

26、将22列联表中的数据代入公式计算得：222400172828 19212.21020020036436n adbcKabcdacbd12.2106.635，第 17 页 共 22 页 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优（3）由表1 知：一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，即从所有产品中随

27、机抽到一件二等品的概率为13；三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16.由已知得：随机变量X的取值为：240,300,360,420,48012111111240,3006636369P XP XC112211115111111360,420,480263318323224P XCP XCP X 随机变量X的分布列为：X240300360420480P136195181314115112403003604204804003691834E X.点睛：本题主要考查直方图的应用、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本

28、数据制成22列联表；（2）根据公式22n adbcKabadacbd计算2K的值；(3)查表比较2K与临界值的大小关系，作统计判断.20已知椭圆C：22221(0)xyabab的焦点1F的坐标为(,0)c，2F的坐标为(,0)c，且经过点3(1,)2P，2PFx轴.（1）求椭圆C的方程；第 18 页 共 22 页（2）设过1F的直线l与椭圆C交于,A B两不同点，在椭圆C上是否存在一点M，使四边形2AMBF为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）3 5(1)10yx.【解析】试题分析：（1）由2F的坐标为,0c，且经过点31,2P，2PF

29、x轴，得231,2bca，解得,a b的值即可得椭圆C的方程；（2）假设存在符合条件的点M（x0，y0），当斜率不存在，推出矛盾不成立，设直线l 的方程为1yk x，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互平分的性质可得点M 的坐标，代入椭圆方程解得k即可试题解析：（1），解得.所以椭圆的方程.（2）假设存在点，当斜率不存在，不成立；当斜率存在，设为，设直线与联立得.，则的中点坐标为AB 与的中点重合，得，代入椭圆的方程得.解得.存在符合条件的直线的方程为：.21已知函数212xfxexax 有两个极值点1x，2x（e为自然对数的底数）.（）求实数a的取值范围；第 19 页

30、 共 22 页（）求证：122fxfx.【答案】（1）1a（2）见解析【解析】分析：()函数212xfxexax有两个极值点，只需0fx有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当1a时，没有极值点；当1a时，当1a时，有两个极值点；()由()知，12xx，为0g x的两个实数根，120 xx，g x在0，上单调递减，问题转化为，要证122fxfx，只需证222fxfx，即证222220 xxeex，利用导数可得2200 xxk xeexk，从而可得结论.详解：()212xfxexax，xfxexa.设xg xexa，则1xgxe.令10 xgxe，解得0 x.当0 x

31、，时，0gx；当0 x，时，0gx.min01g xga.当1a时，0g xfx，函数fx单调递增，没有极值点；当1a时，010ga，且当x时，g x；当x时，g x.当1a时，xg xfxexa有两个零点12xx，.不妨设12xx，则120 xx.当函数fx有两个极值点时，a的取值范围为1，.()由()知，12xx，为0g x的两个实数根，120 xx，g x在0，上单调递减.下面先证120 xx，只需证210gxg x.2220 xg xexa，得22xaex，2222222xxxgxexaeex.设2xxh xeex，0 x，第 20 页 共 22 页则120 xxhxee，h x在0，

32、上单调递减，00h xh，220h xgx，120 xx.函数fx在10 x，上也单调递减，12fxfx.要证122fxfx，只需证222fxfx，即证222220 xxeex.设函数220 xxk xeexx，则2xxkxeex.设2xxxkxeex，则20 xxxee，x在0，上单调递增，00 x，即0kx.k x在0，上单调递增，00k xk.当0 x，时，220 xxeex，则222220 xxeex，222fxfx，122fxfx.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数

33、问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos2sinxy（为参数），直线2C的方程为3yx以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C和曲线2C的极坐标方程；（2）若直线2C与曲线1C交于A,B两点，求11OAOB.【答案】（1）1C的

34、极坐标方程为24470cossin，直线2C极坐标方程为()3R；（2）2 327.【解析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得解；第 21 页 共 22 页（2）将3代入24470cossin中得2(232)70，结合韦达定理即可得解.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为2cos2sinxy（为参数），得曲线1C的普通方程为22(2)(2)1xy，则1C的极坐标方程为24470cossin，由于直线2C过原点，且倾斜角为3，故其极坐标方程为()3R.（2）由244703cossin得2(232)70，设A,B对应的极径分别为12，则122 32，127，1212112 327OAOBOAOB

35、OA OB.【点睛】本题考查三种方程的互化，考查极坐标方程的应用，属于常考题.23已知关于x的不等式14xxm的解集不是空集.（1）求实数m的取值范围；（2）求函数243fmmm取得最小值时的m的值.【答案】（1）3,；（2）5.【解析】（1）由题意可知，存在xR使得14xxm，利用绝对值三角不等式求得14xx的最小值，即可求得实数m的取值范围；（2）由30m可得23343223mmfmm，再由三元基本不等式计算即可得到所求最小值及m的值【详解】（1）Q关于x的不等式14xxm的解集不是空集，min14mxx.根据绝对值三角形不等式，有14143xxxx，当且仅当14x第 22 页 共 22 页时取等号，故实数m的取值范围为3,；（2）由（1）得30m，则22334322433fmmmmmm32334336223mmm，当且仅当23423mm，即53m时取等号，所以函数243fmmm取得最小值时m的值为5.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质及不等式有解的条件，考查函数的最值的求法，注意运用三元均值不等式，考查运算能力，属于中档题