【最新】2020届浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 21 页2020 届浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4 月教学质量检测数学试题一、单选题1已知集合0,4A，R|1Bxx，则RABIe（）A1,0B1,0C0,1D1,4【答案】A【解析】先计算出集合RAe与B，再利用集合交集的概念即可得解.【详解】由题意R,04,AUe，R|1R|11Bxxxx，则R1,0ABIe.故选：A.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2椭圆2212xy的离心率是（）A12B13C23D22【答案】D【解析】由椭圆的一般式求得22a、21b、21c，利用22cea即可得解.【详解】由题意该椭圆22a，21b，由椭圆性质可得2221cab，

2、所以离心率221222cea.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆一般式的应用和离心率求解，属于基础题.3已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）第 2 页 共 21 页A323B 4 C163D8【答案】C【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以12423V163.故选：C.【点睛】本题考查由三视图还原几何体之间的直观图和棱锥的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力4明朝的程大位在算法统宗中（1592 年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说

3、：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3 所得的余数乘以70，除以 5 所得的余数乘以21，除以 7 所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105 为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.孙子算经上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）A21 B 22 C23 D24【答案】C 第 3 页 共 21 页【解析】由题意先计算出70 23212 15233，再计算233 105 223即可得解.【详解】由题意可得702321 2 15233，则2

4、33 105 223.故答案为：C.【点睛】本题考查了算法的应用，属于基础题.5函数()()lnxxf xeex的图象大致为()ABCD【答案】D【解析】根据题意，求出函数的定义域|0 x x，分析可得()f x 为偶函数，进而分析可得当1x时，()0fx，当01x时，()0f x，当0 x时，()f x，分析选项，从而选出正确的结果.【详解】根据题意，函数的定义域|0 x x，因为()()lnxxf xeex，所以()f x 为偶函数，图象关于y轴对称，排除B 项，当1x时，()0f x，当01x时，()0f x，排除,A C选项，当0 x时，()f x，所以 D 项是正确的，故选 D.【点

5、睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在选择的过程中，注意从函数的定义域，图象第 4 页 共 21 页的对称性，函数值的符号，函数图象的变化趋势，属于简单题目.6若实数x，y 满足约束条件2302300 xyxyxy，则23xy的取值范围是（）A1,15B1,15C1,16D1,16【答案】A【解析】由题意画出可行域，设23zxy，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图所示，令23zxy，转化可得233zyx，数形结合可得，当直线233zyx分别过点A、点B时，z 取最小值和最大值，由2300 xyxy可得点1,1A，由230230 xyxy可得点3,3B，所以min231z，ma

6、x233315z.所以23xy的取值范围是1,15.故选：A.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.7若0,0ab，则“4ab”是“1abab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由基本不等式可得：若4ab，则1abab成立；举出反例可得若1abab，则4ab不一定成立，由充分条件和必要条件的概念即可得解.第 5 页 共 21 页【详解】Q0a，0b，若4ab，则=122ababababab，当且仅当2ab时取等号，所以1abab；当1a，5b时，516abab，但54ab；“4ab”是“1abab”充分不必要

7、条件.故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.8已知任意12a，若存在实数b 使不等式2xaxb对任意的0 2x，恒成立，则（）Ab 的最小值为4 Bb 的最小值为6Cb 的最小值为8 Db 的最小值为10【答案】B【解析】转化条件得2bxaxb，设2fxxax，0 2x，根据10a，、0,2a分类，分别求出函数fx的最值即可得解.【详解】由题意22xaxbbxaxb，设2fxxax，0 2x，其图象为开口向上，对称轴为2ax的抛物线的一部分，当10a，即1022a，时，min00fxf，max2426fxfa；当0,2a即0,12a时，2min12

8、4aafxf，max2424fxfa；若要2xaxb对于任意12a，0 2x，均成立，则61bb即6b，所以 b 的最小值为6.故选：B.【点睛】第 6 页 共 21 页本题考查了绝对值不等式和利用函数单调性求函数的最值，考查了恒成立问题的解决和分类讨论思想，属于中档题.9如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确的是（）APA PCPB PDuu u r uuu ru uu r uuu r是定值.BPA PBPB PCPC PDPD PAu u u r u uu ru uu r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u r是定值.CPAPBPC

9、PDuu u ru uu ruuu ruuu r是定值.D2222PAPBPCPDuu u ruuu ruuu ru uu r是定值.【答案】C【解析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a，圆的半径为r，表示出各点坐标，利用坐标运算即可判断A、B、D，举出反例即可判断C，即可得解.【详解】如图建立直角坐标系，设正方形边长为为2a，圆的半径为r，设点,P x y，则,A aa，,Ba a，,Caa，,D aa，222xyr，则,PAax ayuu u r，,PBax ayuuu r，,PCaxayu uu r，,PDaxayuuu r，对于 A，PA PCPB PDuu u r uuu ruu

10、u r uuu r222222424xyara，故 A 正确；对于 B，PA PBPB PCPC PDPD PAPBPAPCPDPAPCuu u r uu u ruu u r uu u ruuu r uuu ruuu r uu u ruu u ruu u ruuu ruu u ruu u ruu u r22244PBPDPAPCxyruu u ruuu ruu u ruuu r，故 B 正确；对于 C，不妨令1a，2r=，当点0,2P，222222112211PAPBPCPDuu u ru uu ru uu ruuu r2 22 10；第 7 页 共 21 页当点2,2P，222222 224

11、2 6PAPBPCPDuu u ruu u ruuu ruuu r；故C错误.对于 D，222222222222PaxaxaAPBPCaPDyyuu u ru uu ru uu ruu u r222228484axyar，故 D 正确.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的应用，考查了圆的方程的应用和运算能力，属于中档题.10对任意的实数0 x，不等式22lnln0 xaexa恒成立，则实数a的最小值为（）A2eB12 eC2eD12e【答案】D【解析】排除0a的情况，存在唯一解0 x，使则函数在00,x上单调递减，在0,x上单调递增，故0minfxfx，020140 xaex，代换得到012

12、x，代入计算得到答案.【详解】设22lnlnxfxaexa，则214xfxaex.当0a时，0fx，故fx单调递减，当x时，fx，不成立；当0a时，取2140 xfxaex，根据图像知，方程有唯一解设为0 x，则函数在00,x上单调递减，在0,x上单调递增，故020min02lnln0 xaxxefxfa，且020140 xaex，第 8 页 共 21 页代换得到：00012ln22ln 202xxx，易知函数12ln22ln 22g xxxx在0,上单调递减，且102g，故012x.0201142xaxee，故当012x时，有最小值为12e.故选：D.【点睛】本题考查了隐零点问题，不等式恒成

13、立求参数，设出极值点是解题的关键.二、填空题11若复数21iz（i 为虚数单位），则z_.【答案】2【解析】由复数的运算法则得1zi，由复数模的概念即可得解.【详解】由题意2 1i211i1i1izi，所以22112z.故答案为：2.【点睛】本题考查了复数的运算和复数模的概念，属于基础题.12在平面直角坐标系xOy中，已知点M 是双曲线22221(0,0)xyabab上的异于顶第 9 页 共 21 页点的任意一点，过点M作双曲线的切线l，若13OMlkk，则双曲线离心率e等于_.【答案】2 33【解析】利用导数证明在双曲线上点00,xy处的切线方程为00221xyxyab，转化条件得2213m

14、nbnam，再利用221bea即可得解.【详解】当0y时，由22221xyab可得2221xyba，求导得2222222222221112211bbbyxaxxaaxxbbyaa，所以在双曲线上点00,xy处的切线方程为200020byyxxa yx，化简得00221xyxyab，同理可得当0y时依然成立；设点,M m n，则22lnb mka，OMnkm，由13OMlkk得2213mnbnam，所以2213ba，所以双曲线离心率2212 31133bae.故答案为：2 33.【点睛】第 10 页 共 21 页本题考查了利用导数求切线，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.13已知函数2(

15、)f xxaxa，R()Axf xx，R()()Bxf f xf x，,AAB，则实数a的取值范围是_.【答案】032 2a或32 26a【解析】设1x，212xxx是方程()f xx的两个实根，则可得1()()()ff xf xf xx或2x，进而可得()()ff xf x1212()()(1)(1)xxxxxxxx，由AB可得对任意12xxx，均有()()0ff xf x，即可得1210 xx，由韦达定理和根的判别式列出不等式组即可得解.【详解】由 A，可设1x，212xxx是方程()f xx即210 xaxa的两个实根，则12R()RAxf xxxxxx，1()()()ff xf xf

16、xx或2x，则12fxxxxxx，12()()()()ff xf xf xxf xx=21()()f xxxxf xxxx222111xxxxxxxxxxxx1212()()(1)(1)xxxxxxxx.由AB可得对任意12xxx，均有()()0ff xf x，即1212()()(1)(1)0 xxxxxxxx对任意12xxx均成立，由10 xx，20 xx，110 xx可得210 xx对任意12xxx均成立，所以1210 xx，所以221212121401410aaxxxxx x即22140141aaaa，解得032 2a或32 26a.故答案为：032 2a或32 26a.【点睛】第 11

17、 页 共 21 页本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.三、双空题14在数列na中，nS为它的前n项和，已知21a，36a，且数列nan是等比数列，则na_，nS=_.【答案】13nn23122nnn【解析】设nnban，由等比数列的性质先求得13nnb，进而求得13nnan；再利用分组求和法即可求得nS.【详解】设nnban，数列nb的公比为q，则由题意2223ba，3339ba，323bqb，211bbq=，1113nnnbb q，13nnnabnn，21211 1 323331 333123nnnnSn21 131311 3222nnn

18、nnn.故答案为：13nn，23122nnn.【点睛】本题考查了构造新数列求数列通项和利用分组求和法求数列前n 项和，考查了计算能力，属于中档题.15二项式61()2xx的展开式的各项系数之和为_，4x的系数为 _【答案】164316【解析】令1x即可求得该二项式的展开式的各项系数之和；写出该二项式展开式的通项公式261612rrrrTCx，令264r即可求得4x的系数.第 12 页 共 21 页【详解】令1x，6611121(6)24xx，故该二项式的展开式的各项系数之和为164；二项式61()2xx的展开式的通项公式为6261661122rrrrrrrxTCCxx，令264r即=5r，55

19、613216C，故4x的系数为316.故答案为：164，316.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.16已知直线:1,lmxy若直线l与直线10 xmy平行，则 m 的值为 _，动直线l被圆22280 xyy截得的弦长最短为_.【答案】12 5【解析】由直线平行的性质可得1111mm，解方程即可得1m；由题意知直线l恒过点0,1P，圆的圆心0,1C，半径3r，由圆的性质即可得所求弦长最小值为22 rCP；即可得解.【详解】Q直线:1l mxy与直线10 xmy平行，1111mm，解得1m；由题意可知直线:1l mxy恒过点0,1P，圆22280 xyy的圆心0,1C

20、，半径3r，2CP，易知当CPl时，直线被圆截得的弦长最短，此时弦长为2222 952 5rCP.故答案为：1，2 5.【点睛】第 13 页 共 21 页本题考查了两直线平行的性质，考查了直线过定点和直线与圆的位置关系，属于中档题.17已知随机变量X的分布列如下表：X02aP12b14其中00ab，.且2E X，则 b=_，21DX=_.【答案】1424【解析】由概率和为1 即可的14b，由题意结合期望公式可得6a，根据方差公式求得D X后利用2212DXD X即可得解.【详解】由题意111241102224bE Xba，解得14b，6a；所以2221110222626244D X，所以221

21、224DXD X.故答案为：14，24.【点睛】本题考查了分布列的应用，考查了利用分布列进行期望和方差的相关计算，属于基础题.四、解答题18在ABCV中，内角A，B，C 所对的边分别为,a b c已知tan()34A.（1）求2sin2cosAA的值；（2）若ABCV的面积1S，2c，求a的值.【答案】（1）85（2）1a【解析】（1）由两角差的正切公式可得1tan2A，转化条件222 tan1sin 2costan1AAAA即可得解；第 14 页 共 21 页（2）由同角三角函数的关系结合题意可得5sin5A，2 5cos5A，由三角形面积公式1sin2SbcA可得5b，再由余弦定理即可得解

22、.【详解】（1）由题意tan()tan144tantan()4421tan()tan44AAAA，所以222222sincoscos2tan18sin 2cossincostan15AAAAAAAAA.（2）由（1）1tan2A可得：sin1tancos2AAA即cos2sinAA，又22sincos1AA，0,A，所以5sin5A，2 5cos5A；又1sin12SbcA，2c可得5b；2222cos5481abcbcA；所以1a.【点睛】本题考查了利用同角三角函数的关系和三角恒等变换进行化简求值，考查了余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.19如图，已知四棱锥ABCDE，正三角形AB

23、C与正三角形ABE所在平面互相垂直，/BC平面ADE，且2BC，1DE.（1）求证：/BCDE；（2）若2AFFDu uu ruuu r，求CF与平面ABE所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）217【解析】（1）由线面平行的性质即可得证；第 15 页 共 21 页（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而可得平面ABE的一个法向量是OCuuu r和直线CF的方向向量CFuuu r，利用sincos,OC CFu uu r uu u r即可得解.【详解】（1）证明：因为/BC平面ADE，BCBCED，且平面BCEDI平面ADEDE，所以/BCDE（2）取AB中点O，连接EO，CO，由题意

24、可得OC、OB、OE两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，各点的坐标分别为1,0,0A，1,0,0B，0,3,0C，0,0,3E，.所以1,3,0BCu uu r，113,0222EDBCu uu ruuu r，所以13,322D，13,322ADuu u r.所以213 2 3,3333AFADuuu ruuu r，所以23 2 3,333F.所以22 3 2 3,333uuu rCF，因为平面ABE的一个法向量是03,0OCu uu r，设CF与平面ABE所成的角为，则221sincos,72 733OC CFOC CFOCCFu uu r uu u ruu u r uu u ru uu

25、ruu u r，所以CF与平面ABE所成角的正弦值为217.【点睛】第 16 页 共 21 页本题考查了利用线面平行的性质证明线线平行，考查了利用空间向量求线面角，属于中档题.20已知数列na的前n项和224nnnaaS，且*0(N)nan.（1）写出123,a aa的值，并求出数列na的通项公式；（2）设nnbS，nT为数列nb的前n项和；求证：22222nnnnnT.【答案】（1）12a，24a，3a6，2nan.（2）见解析【解析】（1）分别令1n、2n、3n即可得1a、2a、3a的值；当2n时，利用1nnnaSS可得1120nnnnaaaa，则数列na是首项为2，公差为 2的等差数列，

26、即可得解；（2）由等差数列前n 项和公式结合题意可得(1)nbn n，根据nbn即可得22nnnT，根据(1)2nnnb即可得222nnnT，即可得证.【详解】（1）因为0na，当1n时，2111124aaaS，所以12a，当2n时，22222124aaSaa，所以24a，当3n时，333232124aaSaaa，所以36a，当2n时，221112244nnnnnnnaaaaaSS，化简得1120nnnnaaaa，因为0na，所以120nnaa；所以数列na是首项为 2，公差为2 的等差数列，2212nann.第 17 页 共 21 页（2）证明：由（1）可得2212nnSnn n，(1)nb

27、n n；所以nbn，所以122122nnbnTnbbn；又(1)1(1)22nnnbn nn；所以122111(1)212222222nnbbbn nnnnTn；综上可得22222nnnnnT.【点睛】本题考查了数列通项和前n 项和的求解，考查了放缩法证明不等式，属于中档题.21如图，设抛物线方程为22xpy(p0)，M 为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB 与y轴的交点坐标；（2）若 E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边 MA，MB 分别交于点C，D，记EABMCDSS，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理

28、由.【答案】（1）(0,2)p（2）是定值，定值为2【解析】（1）设211,2xA xp，222,2xB xp，求导后可得直线AM的方程与直线BM方程，联立方程组可得122Mpx xy，写出直线AB的方程为2121122xyxxpxxp，令0 x即可得解；第 18 页 共 21 页（2）设点33,E xy，联立方程组可得132Cxxx，232Dxxx，进而可得ACCEMDCMEDDB，设ACCEMDCMEDtDB，记MCESS，表示出各三角形面积后，即可得解.【详解】（1）设211,2xA xp，222,2xB xp，抛物线方程220 xpy p可变为22xyp，所以xyp，所以1AMxkp，

29、2BMxkp，直线AM的方程为21112yxxpxxp，直线BM方程为22222yxxpxxp，则2111222222xxyxxppxxyxxpp解得212Mxxx，122Mpx xy，又22212121222ABxxxppkxpxx，所以直线AB的方程为2121122xyxxpxxp，化简得121202xxpyxxx，令0 x，122pxyx，又1222Myppx x，所以2yp，所以直线AB 与y轴的交点坐标为0,2 p.（2）记122Mxxx，设点3232,xxEp，可得直线CD的方程为33232yxxpxxp，由2111233322xxyxxppxxyxxpp可得132Cxxx，同理2

30、32Dxxx，第 19 页 共 21 页所以111311132233222CMCxxxxxxxACxxxxCMxxxx33313313332222CDxxxxxxxxxxxCExEDxx，所以ACCECMED，同理3213xxMDDBxx，所以ACCEMDCMEDDB，设ACCEMDCMEDtDB，记MCESS，则ACEStS，MDESSt，2BDESSt，21111MABMCDtMA MBSttSMC MDtt，1MCDtSSt，于是22321111MABMCDtttSSStttttS，所以EABMABMCDACEBDESSSSS3221121tttSStSStSttt，所以2EABMCDS

31、S.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.22已知2xfxxa e，1xg xa e（1）当1a时，判断函数fx的单调性；（2）当1a时，记fx的两个极值点为1212,x xxx，若不等式2121x fxfxg x恒成立，求实数的值.【答案】（1）单调递减区间为,12，12+，单调递增区间为12,12（2）1第 20 页 共 21 页【解析】（1）求出导函数后，找到0fx、0fx的解集即可得解；（2）由题意结合韦达定理可知12122+=2=20iixxx xaxxa，原条件可化为12112201xxxe，根据1,0a、=0a、0,a分类讨论，即可得解.【详解】（

32、1）当1a时，21xfxxe，所以221xfxxxe，令221=0 xfxxxe，得221=0 xx，所以112x，212x，x,121212,121212+，fx0+0 fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以fx单调递减区间为,12，12+，单调递增区间为12,12.（2）因为22xfxxxa e，1a，所以220 xxa有两个不等实根，由题意1x，2x为方程22=0 xxxa e即22=0 xxa的两相异根，则12122+=2=20iixxx xaxxa，所以11210+11xxfxg xa ea e，1111221212112=2=22xxxxx fxxxa exxex x eae

33、所以2121x fxfxg x可以转化为1121xxaeae，第 21 页 共 21 页所以上式可化为112112120 xxxxee，则1121122101xxxxee即12112201xxxe，当1,0a时，由1201x x、12+=2xx、12xx可得10,1x，所以21120 xx，所以1201xe恒成立，因为此时12211xee,1所以1；当=0a时10 x，21120 xx，显然12112201xxxe恒成立，即R；当0,a时，由120 x x可得1,0 x，21120 xx，所以1201xe恒成立，因为此时1211xe,2，所以1；综上可知：1.【点睛】本题考查了导数的综合运用，考查了推理能力和分类讨论思想，属于难题.