【最新】2020届湘赣皖十五校高三下学期第一次联考模拟数学(文)试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页2020 届湘赣皖十五校高三下学期第一次联考模拟数学（文）试题一、单选题1若i是虚数单位，复数z 满足(1-)1i zi，则z（）A1 BiCiD12i【答案】B【解析】将原式变形为11izi，然后利用复数的除法计算出z即可.【详解】因为21i(1i)2ii1i(1i)(1+i)2z.故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.2若集合|12,|24xAxxBx，则ABI（）AB|12xxC|02xxD|04xx【答案】B【解析】先根据指数函数单调性求解出不等式24x的解集作为集合B，然后根据交集概念求解出A

2、BI.【详解】224,22,2xxxQ，|2Bxx，|12,|12AxxxAxBIQ.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到解指数不等式，难度较易.3若,a b是任意实数，且ab，则（）A1abBabClg()0abD1122ab【答案】D 第 2 页 共 20 页【解析】通过,a b的正负以及大小判断A，B，C 的正确性，利用指数函数12xy的单调性判断D.【详解】若0a，0b，则1ba，故 A 错误；若ab、为负数，则ab不成立，故B 错误；若01ab，则lg()0ab，故 C 错误；因为根据1()2xfx在R上单调递减，则1122ab，故 D 正确，故选：D.【点睛】本题考

3、查根据已知条件判断不等关系是否正确，其中涉及到利用指数函数单调性比较大小，难度较易.4在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且,BDCD ABBDCD，则直线AC与平面ABD所成角的正切值是（）A2B22C3D33【答案】B【解析】根据条件判断出直线AC与平面ABD所成角即为CAD，然后根据线段长度即可计算出线面角的正切值.【详解】因为AB平面BCD，所以ABCD，又因为,BDCDABBDBI，所以CD平面ABD，所以直线AC与平面ABD所成角即为CAD，又因为ABBDCD，所以2tan2CDCADAD，第 3 页 共 20 页故选：B.

4、【点睛】本题考查线面垂直关系的判断与证明以及求解线面角的正切值，难度一般.利用几何方法求解线面角的三角函数值时，首先可考虑根据线面垂直关系作出线面角，然后再求解相关值.5某公司由三个部门组成，总职工人数是2000 名，其中部门（一）有职工800 人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一.现用分层抽样的方法在全公司抽取60名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（）A15 B16 C21 D24【答案】C【解析】根据已知条件先确定出分层抽样的抽样比以及部门（三）的职工人数，然后将部门（三）的职工人数乘以抽样比即可得到结果.【详解】因为抽样比为：6032000100且部门（三）的职工人数

5、为：1200080020007004，所以部门（三）应抽取的职工人数为：370021100，故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的相关计算，难度较易.注意分层抽样的各层的抽样比相同.6下列函数中其定义域和值域分别与函数122yx的定义域和值域相同的是（）A3 yxBlnyxC2log2xyD2xy【答案】C【解析】先分析出122yx的定义域和值域，然后再逐项判断是否定义域和值域均相同.【详解】函数122yx的定义域为(0,)，值域为(0,)，A 中3yx 的定义域为R，故不符合；.B 中lnyx的值域为R，故不符合；C 可化为(0)yx x，C 的定义域和值域都为(0,)，故符合；D 中定义域为

6、R，故不符合.第 4 页 共 20 页故选：C.【点睛】本题考查函数定义域与值域的判断，难度较易.（1）求解对数函数的定义域时，注意对数式的真数大于零；（2）注意对数运算：log0aNaN a且1a，0N.7已知tan2=-，则 sin 2（）A45B35C34D1213【答案】A【解析】根据同角的三角函数基本关系中的商数关系、平方和关系求解出2cos，再根据条件将sin2表示为2cos的形式即可求出结果.【详解】sintan2,2cosQ，又2221sincos1,cos5，24sin22sincos4cos5.故选：A.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系的运用，难度较易.同角的三角函

7、数的两个基本关系：（1）商数关系：sintan,cos2kkZ；（2）平方和关系：22sincos1.8已知向量(1,1),(3,2),(2,3),OAOBOCABCu uu ruu u ruu u r的重心为G，则ABuuu r与AGuuu r的夹角的余弦值是（）A310B3 1010C1010D3 105【答案】B【解析】分别求解出ABuuu r和AGuuu r的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的夹角公式计算出ABuuu r与AGuu u r夹角的余弦值.【详解】第 5 页 共 20 页2,1,1,1ABOBOABCOCOBuuu ruuu ruuu ru uu ruu u ru uu r

8、，如图，221()1,1332AGAEABBCuuu ruuu ruuu ruuu rQ，3 10|cos,cos10AG ABAGABu uu r uuu ruuu ru uu r.故选：B.【点睛】本题考查坐标形式下向量夹角余弦值的计算，其中涉及到三角形重心的简单应用，难度较易.三角形的重心将所在中线分为2:1的两段.9 已知直线yxm与圆22230 xxy交于A B、两点，且|2 2AB，则m（）A1或 3 BC3D1 或3【答案】D【解析】根据圆心到直线的距离d、半弦长2AB、圆的半径构成直角三角形的三边，由此求解m的值.【详解】圆的方程可化为：2214xy，圆心是1,0，半径2r=，

9、设圆心(1,0)到直线yxm的距离为d，|1|2md，21242m，12,1mm或3.故选：D.【点睛】本题考查根据直线与圆相交的弦长求解参数，难度较易.注意直线与圆相交的弦长问题中，可根据垂径定理进行分析（圆心到直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形的三边）.第 6 页 共 20 页10设函数1,0,()2,0,xxf xx则满足(2)(3)fxfx的x的取值范围是（）A1xB1xC21xD01x【答案】C【解析】作出fx的图象，根据图象判断(2)(3)f xfx对应的不等式组，由此求解出x的取值范围.【详解】作出fx的图象如下图：当(2)(3)f xfx时，由函数()f x 的图象可知30

10、23xxx或3020 xx，解得：21x.故选：C.【点睛】本题考查根据分段函数的图象解不等式，主要考查了学生对函数图象的理解，难度一般.11在ABCV中，角,A B C所对的边分别是,45,4a b cAa，如果ABCV有两组解，那么b的取值范围是（）A(4,)B(0,4)C(42,8)D(4,42)【答案】D【解析】构造关于A的余弦定理由此得到关于c的方程组，根据三角形解的个数判断方程组解的个数，由此得到关于b的不等式组，从而可求b的取值范围.【详解】法一：设bx，则由余弦定理，22242cos45xcc x，222160cx cx，三角形有两组解，第 7 页 共 20 页方程222160

11、cx cx有2个不同的正数根，设为12,c c，2212212(2)4(16)0,20,160,xxccxccx44 2x，即44 2b；法二：ABCQV有两组解，sinbAab，所以242bb，所以44 2b.故选：D.【点睛】本题考查解三角形问题中根据三角形解的个数求解参数范围，难度一般.此类问题常见解答方法：（1）作图法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）构造一元二次方程，根据方程根的分布进行分析.12已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别是1(2,0)F、2(2,0)F，A B、是其右支上的两点，2213,|AFF BAFABu uu u ruuu u ruuu r

12、uuu r，则该双曲线的方程是（）A2213xyB2212xyC22122xyD2213yx【答案】D【解析】先根据长度关系以及双曲线的定义求解出1212,AFAFBFBF，然后利用2121,AFFBFF对应的余弦定理即可求解出22,ab的值，从而双曲线的方程可求.【详解】设2F Bm，则23,|4AFm ABm，1|4AFABm，由12|2AFAFa得12,4maBFa，设21AFF，由余弦定理可知：222222(8)4(6)48cos(4)4(2)16cosaaaaaa由，得21a，又2224abc，23b，双曲线方程为2213yx.故选：D.第 8 页 共 20 页【点睛】本题考查双曲线

13、方程的求解，其中涉及到互为邻补角对应的余弦定理以及双曲线的定义，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较难.如果两个角互为邻补角，则两角的余弦值和为零.二、填空题13函数()(2019)lnf xxx在1x处的切线方程为_.【答案】2020 20200 xy【解析】先求解出fx，然后计算出1,1ff，再根据点斜式方程求解出切线方程.【详解】1()ln(2019),(1)2020,10fxxxffxQ，()f x在1x处的切线方程为：(1)2020(1)yfx，即2020 20200 xy.故答案为：2020 20200 xy.【点睛】本题考查曲线上某点处切线方程的求解，考查学生的基本的理解与计算

14、，难度较易.14函数()cos(sin3cos),2 2f xxxxx的单调递增区间为_.【答案】5,12 12（填5,12 12或5,12 12或5,12 12都可以）【解析】先利用二倍角公式以及辅助角公式将fx整理，然后根据单调增区间的求解公式求解出x的取值范围，再根据所给范围进行取舍即可.【详解】第 9 页 共 20 页3 1 cos213()sin2sin(2)2232xf xxxQ222,232kxkkZ剟，5,1212kx kkZ剟，又,22x，0k时，51212x剟，()f x的单调递增区间为5,12 12.故答案为：5,12 12（填5,12 12或5,12 12或5,12 1

15、2都可以）.【点睛】本题考查求解正弦型函数在已知区间上的单调区间，难度一般.求解sinyA x的单调增区间，可采用整体替换的方式令2,222xkkkZ，求解出的x的取值范围即为对应的单调增区间.15设nS是数列na的前n项和，已知12a，且点1(,)nnSa在直线1yx上*()nN，则5S_.【答案】47【解析】先根据1na与nS的关系求解出na的通项公式，然后即可求解出5S的值.【详解】11nnaSQ，2n时，11nnaS，得12(2)nnaan，又2134551235413.6,12,24,47aSaaaSaaaaa.故答案为：47.【点睛】本题考查数列通项求解以及前n项和的计算，难度一般

16、.已知nS与na的等量关系，可考虑将n替换为1n得到另一个等式，两等式作差得到na与1na的关系，从而求解出通项公式.16如图，长方体1111ABCDA B C D中，1,3ABBC BEAB，点F为11A D中点，第 10 页 共 20 页O为直线1DB与平面EFC的交点，则1DOOB_.【答案】67【解析】作11D C的六等分点H，然后根据,M N O三点共线以及由平行对应的比列关系求解出1DOOB的值即可.【详解】作11D C的六等分点H且11116D HD C11D HBED FBCQ，可知/FHCE设11,FHB DN CEBDM连接MN，则MNO、三点共线（平面EFC平面11BB

17、D DMN）13,34BMDMDMBDQ，过F作11/FPA B交11B D于P点，11111623D ND HNPFPQ，13NPD N，1111111117,888D ND NB DD NNBB D11376487DMBNBDOO.故答案为：67.第 11 页 共 20 页【点睛】本题考查根据空间中的位置关系求解线段长度比，对学生在空间中点线面的位置关系的掌握上要求较高，难度较难.注意利用相交线被平行线所截的线段成比例去计算.三、解答题17 某校 100 位学生第一次月考考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,70),70,90),90,110)，110,130),

18、130,150.（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的中位数（中位数的结果精确到0.1）；（2）求这 100 名学生的平均成绩.【答案】（1）0.0025a；中位数为93.3（2）96 分【解析】（1）根据频率之和为1即可求解出a的值；由中位数对应频率值为0.5，由此列出方程求解出中位数的值；（2）将每组数据的组中值乘以对应频率并相加，由此计算出平均数.【详解】（1）(0.020.0150.01)201aaQ解得0.0025a.又设中位数为x，则有0.0025 200.02 20(90)0.0150.5x解得93.3x.（2）设这 100 名学生的平均成绩是x则

19、(600.0025800.021000.0151200.011400.0025)2096x第 12 页 共 20 页所以这 100 名学生的平均成绩是96 分.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数以及中位数、平均数，难度较易.（1）频率分布直方图中的参数计算，多数情况是根据频率和为1求解的；（2）频率分布直方图中的中位数计算是根据对应频率为0.5求解的；（3）频率分布直方图中的平均数是将每组数据的组中值乘以对应的频率并相加得到的.18已知正数数列na中，11a，向量1(3,1)nnaaar，11,3,()nnnnaa aababrrr.（1）求数列na的通项公式；（2）设3log1,nnn

20、baT为数列3 nb的前n项和，求满足112nT的n最小值.【答案】（1）13nna（2）6【解析】（1）根据向量垂直对应的数量积为0得到1,nnaa之间的关系，由此判断出na为等比数列，从而通项公式可求；（2）先根据等比数列求和求解出nT，然后根据nT的单调性以及取值情况，分析出n的取值范围，从而n的最小值可求.【详解】（1）abrrQ，0a br r即111()3)(30nnnnnnaaaaaa11(3)(1)0nnnnaaaa，0naQ，1130,3nnnnaaaa 数列na是首项为1，公比为3 的等比数列13nna.（2）23log12,33nbnnnbanQ21(13)1313133

21、3136nnnnTL.nT随着n的增大而增大，56121364112,121.311233TT所以n的最小值是6.第 13 页 共 20 页【点睛】本题考查向量的数量积与数列的综合，涉及到根据递推公式求解通项公式以及根据数列单调性求解参数，属于综合型问题，难度一般.19如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD是边长为2 的菱形，60BAD，侧面SBC为等边三角形，2SD.（1）求证：SDBC；（2）求点B到平面ASD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）取BC中点E，通过线面垂直的判定定理证明BC 平面SDE，由此证明线线垂直；（2）先根据已知条件判断出平面SAD、平面SDE

22、的位置关系，再结合线段长度以及“已知平行于平面的直线上的点到平面的距离相等”求解出B到平面ASD的距离.【详解】（1）证明：设BC边中点是E，连接,DE SESBCQ 是等边三角形，SEBC又由已知DBC是等边三角形，DEBCBC平面SDEBCSD.（2）（方法一）QSBC 是边长为2 的等边三角形，3SE，同理3DE，取SD的中点P，连接PE，3SEDE，PESD且222PESEPS，第 14 页 共 20 页又 E是BC中点，30BDE，90ADE，ADDE，又,/SDBC ADBC，ADSD，且DESDDI，AD平面SDE，又因为AD平面 SAD，所以平面SAD平面SDE，又/,ADBC

23、 AD平面 SAD，BC平面SAD，所以/BC平面SAD，B到平面SAD的距离等于E到平面SAD的距离，又PESDQ，平面SAD平面SDESD，所以PE平面 SAD，E到平面ASD的距离为2PE，B到平面ASD的距离为2；（方法二）SBC 是边长为2的等边三角形，3SE，同理3DE，又2SD12222SDES又由（1）知 BC 平面SDE，112 222333SDESBCDSABDVSBCV4223SABCDS BCDVV又易知四棱锥SBCD是正四面体S在底面BCD上的射影H为BCDV各边中线的交点，且为BCDV的重心H在AC上由勾股定理，22SASHAH，又22333CHOC（其中O为AC与

24、BD的交点），263SH，2223433,2 2,33AHSASDADSASDAD，第 15 页 共 20 页12 222SADS.设点B到平面ASD的距离为hSABDB SADVVQ122,233DShhSA.故点B到平面ASD的距离为2.【点睛】本题考查由线面垂直证明线线垂直以及计算点到平面的距离，难度一般.求解点到平面的距离，除了直接作出点在平面内的射影点，根据长度计算对应点到平面的距离，还可以采用间接求解的方法：等体积法.20在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:4,(2,0)O xyA，线段BC的中点是坐标原点O，设直线,AB AC的斜率分别为12,k k，且1214k k.（1）求

25、B点的轨迹方程；（2）设直线,AB AC分别交圆O于点EF、，直线EFBC、的斜率分别为EFBCkk、，已知直线EF与x轴交于点6,05D.问：是否存在常数，使得BCEFkk若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）221(0)4xyy（2）存在；25【解析】（1）设出B点坐标，根据斜率关系得到关于,x y的等式，由此得到轨迹方程；（2）联立直线AB与椭圆得到B点坐标，联立直线AB与圆得到E点坐标，分别利用斜率表示出,BCEFkk，由此确定出的值.【详解】（1）设(,)B x y，则(,)Cxy，又(2,0)A，212212244yyykkxxx.2214xy，又斜率存在，2x 点B

26、的轨迹方程是221(0)4xyy.（2）联立122(2),1,4ykxxy得2222111(41)164(41)0kxk xk第 16 页 共 20 页解得：211122112(41)4,21441()BBBkkxyk xkk12102041BBCBykkxk.联立122(2),4,ykxxy得2222111(1)44(1)0kxk xk.解得：21122112(1)4,11EEkkxykk121056415EFEEykkkx22,55BEFCFEBCkkkk，存在常数25，使得25BCEFkk.【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程以及探究型问题的求解，难度一般.（1）轨迹方程的两种求解方法：

27、直接法、定义法；（2）圆锥曲线中的斜率有关的问题，多数情况下选择用坐标的形式去转化计算.21已知函数()2 sinf xxx.（1）当0 x时，求()f x 的最小值；（2）若0,x时，()(1)cosf xa xxx,，求实数a的取值范围.【答案】（1）min()33f x（2）(,1【解析】（1）先分析fx在0,的单调性并确定出最小值，再根据,x时fx的取值特点，从而可分析出fx在0,上的最小值；（2）将不等式变形，利用构造函数思想分析新函数()2sincosF xxxxax的单调性，采用分类讨论法确定出0F x时a的取值范围.【详解】（1）()1 2cosf xxQ0,3x时()0,3f

28、xx时()0fx第 17 页 共 20 页0,x时，()f x 的极小值为333f当x时，()233f x 当0 x时，min()33f x.（2）问题可转化为2sincos0(0,)xxxaxx设()2sincosF xxxxax()cossinFxxxxa令()cossin,()cosg xxxxag xxx当0,2x时，()0,()g xg x单调递增，当,2x时，()0,()g xg x,单调递减.()Fx在0,上先增后减.又(0)1,()1,22Fa Fa Fa.当022Fa,即2a时，()0,0,Fxx,，()F x单调递减，又(0)0F，则()0F x,，不合题意；当02F即2a

29、时，.若(0)0,()0FF，则一定存在,2m使得()0F m.()F x在(0,)m上单调递增，在(,)m上单调递减.则(0)0,()0,FF得1a,，而(0)10,()10,FaFa11a.若(0)0,()0FF厖，则()F x在0,上单调递增且(0)0F，则()0F x 在0,上恒成立.第 18 页 共 20 页此时(0)10,()10,FaFa1a,.若(0)0F，则()0F存在0,2n使得()0,()FnF x在(0,)n上单调递减，又(0)0F(0,)xn时，()0F x，不合题意.综上所述，实数a的取值范围为(,1.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解函数

30、最值以及利用导数解决不等式恒成立问题，难度较难.和导数有关的不等式恒成立求解参数范围问题的求解方法：分类讨论法、参变分离法.22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为24,4xtyt（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3sin10.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C所截的弦长.【答案】（1）24,310yx xy（2）16【解析】（1）直接消去参数t得到C的直角坐标方程，根据cos,sinxy得到l的直角坐标方程；（2）根据直线参数方程中t的几何意义可知12|ABtt，由此根据关于t的一元二次方程对应的韦达定理形式，即

31、可计算出弦长AB.【详解】（1）24,4xtyt消去参数t可得2:4Cyx，因为cossinxy，所以:310lxy；（2）法一：直线l经过拋物线焦点(1,0)，又倾斜角是30，第 19 页 共 20 页 可设直线l的参数方程是31,212xtyt（t是参数），代入抛物线方程得28 3160tt.设直线l和抛物线交于A B、两点且它们对应的参数分别为12,t t，则121 28 3,16ttt t2212121 2|4(83)644 641()6ABttttt t；法二：抛物线C的焦点是(1,0)F且在直线l上，设l交抛物线于1122(,),(,)A x yB xy联立抛物线方程和直线方程24

32、310yxxy，消y得21410 xx，所以1214xx，所以12|14216ABxxp.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化以及根据直线的参数方程中t的几何意义求解弦长，难度一般.若直线与曲线交于,A B两点，利用直线参数方程中t的几何意义求解弦长时，注意一定有12ABtt（其中12,tt是将直线的参数方程代入到曲线方程中对应得到的关于t的一元二次方程的两个解）.23已知1()|fxxaxa.（1）当1a时，求不等式()6f x 的解集M；（2）若aM，求证：10()3f x.【答案】（1）|3Mx x,或3x.（2）证明见解析【解析】（1）采用零点分段法进行分类讨论，由

33、此求解出不等式的解集M；（2）由绝对值的三角不等式确定出fx的最小值（用a表示），再根据对勾函数的单调性说明min103fx即可.【详解】第 20 页 共 20 页（1）当1a时，()|1|-1|f xxx()6|1|1|6f xxx厖当1x,时，11 6,3,3xxxx厔?当11x时，11 6xx不成立，x当1x时，11 6,3,3xxxx厖?.综上得不等式的解集|3Mx x,或3x.（2）111()|f xxaxaaaaa,|3aMaQ，令|ta，则3t，而1ytt在3,)是单调增的 当3t时，min110333y 当aM时，10()3f x.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，难度一般.（1）常见的解绝对值不等式的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）绝对值的三角不等式：xaxbab，xaxbab.