【最新】2019届江苏省泰州中学高三下学期5月第四次模拟考试数学试题(解析版).pdf

《【最新】2019届江苏省泰州中学高三下学期5月第四次模拟考试数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【最新】2019届江苏省泰州中学高三下学期5月第四次模拟考试数学试题(解析版).pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 23 页2019 届江苏省泰州中学高三下学期5 月第四次模拟考试数学试题一、填空题1已知0,2,4A，2,3,4B，则ABI_.【答案】2,4【解析】根据集合的交运算，即可容易求得结果.【详解】因为0,2,4A，2,3,4B，故可得2,4AB.故答案为：2,4.【点睛】本题考查集合的交运算，属简单题.2若复数z 满足21zii（i为虚数单位，z表示复数z 的共轭复数），则z_.【答案】1i【解析】根据复数运算，求得z，求其共轭即可求得结果.【详解】因为21zii，故可得221ziii.故1zi.故答案为：1i.【点睛】本题考查复数的运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3依据

2、下列算法的伪代码：第 2 页 共 23 页运行后输出的结果是_.【答案】15【解析】模拟执行程序，即可容易求得输出结果.【详解】模拟执行程序如下：2,1,0 xis，满足4i，1,2si；满足4i，3,3si；满足4i，7,4si；满足4i，15,5si；不满足4i，输出结果15s.故答案为：15.【点睛】本题考查由伪代码求输出结果，属基础题.4函数23xfxx的定义域是 _.【答案】2,33,U【解析】根据根式被开方数是非负数，以及分母不为零，即可求得.【详解】要使得函数有意义，则20,30 xx，解得2,33,x.故答案为：2,33,.第 3 页 共 23 页【点睛】本题考查具体函数定义域

3、的求解，属基础题.5双曲线222109xybb的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则b_.【答案】4【解析】根据题意可知2acb，结合222abc，即可求得结果.【详解】根据题意可知：2acb，又因为3a，且229bc，故可得5,4cb.故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及双曲线的渐近线，属基础题.6若将甲、乙两个球随机放入编号为1，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，号盒子中各有一个球的概率是【答案】.【解析】试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为，的三个盒子中，共有种方法，其中在，号盒子中各有一个球有种方法，因此所求概率是【考点】古典概型概率7若x，y满

4、足不等式组1101xyxxy，则32xy的最大值为 _.【答案】3【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：第 4 页 共 23 页目标函数32zxy，即322zyx与直线32yx平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点1,0A时，取得最大值.故3maxz.故答案为：3.【点睛】本题考查简单线性规划问题的处理，属基础题.8已知a，b，c是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为_.若ac，bc，则/ab；若，则/；若a，b，则/ab；若a，a，则/.【答案】【解析】根据空间中直线与直线，直线与平面，平面

5、与平面之间的位置关系，即可容易判断.【详解】若ac，bc，则,a c位置关系可平行，相交或成异面直线，故错误；若，则,的位置关系不确定，故错误；若a，b，由垂直于同一个平面的两直线平行，则/ab成立，故 正确；若a，a，由垂直于同一条直线的两平面平行，则/成立，故 正确.故答案为：.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系，属基础题.9已知函数sin 202fxx的图象过点30,5，则8f的值为第 5 页 共 23 页_.【答案】7210【解析】根据点的坐标满足函数解析式，即可求得,sincos，再利用正弦的和角公式即可求得函数值.【详解】由题可知：35sin，因

6、为02，故可得45cos.故27 2sin84210fsincos.故答案为：7 210.【点睛】本题考查正弦的和角公式，以及同角三角函数关系，属综合基础题.10等比数列na中，11a，前n项和为nS，满足765430SSS，则4S_【答案】40【解析】【详解】由题设可知75634SSS，即56756444SaaSa，也即7633aaq，所以4431403 1S，故答案40【点睛】解答本题的关键是熟练掌握等比数列的通项公式及前项和等基础知识和基本公式的综合运用 求解时先依据题设条件建立方程求出等比数列的公比及首项，再运用等比数列的前项和公式求出4431403 1S使得问题获解11当 abc时，

7、acababbc的最小值是 _.【答案】3【解析】分离常数，利用均值不等式即可容易求得结果.【详解】因为0,0abbc，第 6 页 共 23 页故可得112123acabbcabbcababbcabbcabbc，当且仅当bcababbc，即2acb时取得最小值.故答案为：3.【点睛】本题考查利用均值不等式求最小值，属基础题.12在平面四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，4AC，3BD，60AOB，若2AD BCuu u r uuu r，则AB DCu uu r uu ur_.【答案】4【解析】根据向量的数量积运算即可容易求得结果.【详解】由题可知：6AC BDACBDcosAOBuu

8、 u v uuu vuu u vuuu v.因为AC BDABBCBCCDu uu v uu u vu uu vuuu vuu u vuu u v2AB BCAB CDBCBC CDuuu v uuu vu uu v uu u vuu u vu uu v uu u vAB BCAB CDBCBCCDuuu v uuu vu uu v uuu vuuu vuuu vuuu vAB BCAB CDBC BDuuu v u uu vu uu v uu u vuu u v u uu vBCABBDAB CDuuu vuuu vuu u vuuu v uu u vBC ADAB CDuuu v u uu

9、 vuuu v uu u vBC ADAB DCuuu v u uu vuu u v uuu v6AC BDBC ADAB DCuuu v uuu vuu u v u uu vuuu v u uu v，又因为2AD BCu uu v uu u v，故可得4AB DCu uu v uuu v.故答案为：4.【点睛】本题考查向量的数量积运算，属基础题.13在直角坐标平面xOy 上，O：，O1：.过 x 轴的左半轴上一点 M 作 O 的切线，与 O 切于点 A，与 O1分别交于点B、C.若 AB=BC，则第 7 页 共 23 页点 M 的坐标为 _.【答案】【解析】【详解】如图，过点O1作于点 H，

10、则 H 为 BC 的中点.设，得.故，.由题设及知.从而，点（-4，0）.14已知函数222,2,xa x xag xxa x xa，若存在2,3a，使得函数yg xat有三个零点，则实数t的取值范围是 _.【答案】25212t【解析】讨论g x的单调性，根据g x的大致图像，结合题目要求，得到不等式，求解即可.【详解】222,2,xa x xag xxa x xa，若xa，对称轴222axaa时，g x在,a上递增，当xa，对称轴222axaa时，g x在,a上递增，第 8 页 共 23 页所以当22a时，g x在R上递增，则函数yg xat不可能有三个零点，故只需考虑23a的情况.画出yg

11、 x的大致图象可知：要使得函数yg xat有三个零点，只能22agg a，即222,4ataa，即存在23a，使得222,4ata即可.令22244244aaah aaa，只要使maxth a即可，而max25312h ah.故25212t.故答案为：25212t.【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，属综合性困难题.二、解答题15一副直角三角板（如图 1）拼接，将BCD折起，得到三棱锥ABCD（如图 2）.第 9 页 共 23 页（1）若,E F分别为,AB BC的中点，求证：/EF平面ACD；（2）若平面ABC平面BCD，求证：平面ABD平面ACD.【答案】（1）证明见解析；（2）证

12、明见解析.【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得/EFAC，由线面平行的判定定理可证明/EF平面ACD；（2）若平面ABC平面BCD，可得CD平面,ABC CDAB，,ABACABQ平面ACD，由面面垂直的判定定理可证明平面ABD平面ACD.试题解析：（1）因为,E F分别为,AB BC的中点，所以/EFAC，又EF平面ACD，AC平面ACD，所以/EF平面ACD.（2）因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，CD平面BCD，CDBC，所以CD平面ABC，因为AB平面ABC，所以CDAB.又因为,ABAC ACCDC，AC平面ACD，CD平面ACD.所以AB平面ACD

13、.又AB平面ABD，所以平面ABD平面ACD.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法证明的.16如图，在圆内接ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足第 10 页 共 23 页coscos2 cosaCcAbB.（1）求BD

14、的大小；（2）若点D是劣弧AC上一点，3AB，2BC，1AD，求四边形ABCD的面积.【答案】（1）3；（2）2 3.【解析】（1）利用正弦定理，将边化角，即可容易求得B；（2）利用余弦解三角形，结合面积公式以及ABCDABCACDSSS，即可求得结果.【详解】（1）设外接圆的半径为R，则2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC，代入得2 sin cos2 sin cos22 sin cosRACRCARBB，即sin cossin cos2sin cosACCABB，所以sin2sin cosBBB.因为0,B，所以sin0B，所以1cos2B.因为0B，所以3B.（2）在ABC

15、V中，2222cosACABBCAB BCABC19423 272，所以7AC.因为A，B，C，D四点共圆，所以23ADC.在ACDV中，2222cosACADCDAD CDADC，代入得217122CDCD，所以260CDCD，解得2CD或3CD（舍）.所以ABCDABCACDSSS111313sinsin321 22 3222222AB BCABCAD CDADC第 11 页 共 23 页.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积求解，属综合基础题.17如图，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路1l，2l成60角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观

16、光木栈道AB，点A，B分别在1l和2l上，修建的木栈道AB与道路1l，2l围成的三角地块OAB.（1）求修建的木栈道AB与道路1l，2l围成的三角地块OAB面积的最小值；（2）若景区中心C与木栈道A段连线的CAB.将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域；求出木栈道AB的长度最小值.【答案】（1）9 3平方千米；（2）330tan3tan3AB；6km.【解析】（1）利用11sin22r abcabBOA，结合余弦定理，利用基本不等式，求得ab的最小值，即可求得结果；（2）根据角度关系，结合三角函数的应用，即可容易表示；由中所求，结合均值不等式，即可容易求得最小值.【详解】（1）设三角地带

17、OAB面积为S，OBa，OAb，ABC，三角形内切圆面积12Sr abc，又因为13sin24SabBOAab，所以13332424r abcababcab，得12abcab，在OABV中，由余弦定理得第 12 页 共 23 页222222222cos2cos60cababBOAcababc22ababab，由 和得36ab，39 34Sab，修建的木栈道AB与道路1l，2l围成的三角地带OAB面积的最小值为9 3平方千米.（2）设直线AB和圆C相切点M，03CAB，则3CBM，tanCMAM，3tanAM，tan3CMBM，tan3CMBM，330tan3tan3ABAMBM；3334 33

18、tantan3tantan3AB14tan3tan36tan3tan，当且仅当6时等号成立，故木栈道AB的长度最小值为6km.【点睛】本题考查利用正余弦定理解决实际问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.18已知椭圆C：222210 xyabab的右顶点为A，离心率为63，点1,1B在椭圆上，点D与点B关于原点对称.第 13 页 共 23 页（1）求椭圆C的标准方程；（2）求经过点A，B且和y轴相切的圆的方程；（3）若P，Q是椭圆上异于A，D的两个点，且/PQAD，点B在直线PQ的上方，试判断PBQ的平分线是否经过x轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）22

19、3144xy；（2）2211xy或225425xy；（3）是，1,0.【解析】（1）根据点B的坐标满足椭圆方程，结合离心率即可求得椭圆方程；（2）由（1）中所求即可知A点坐标，设出直线方程，根据题意，列方程求解即可；（3）设出直线PB、QB的斜率分别为1k、2k，以及两条直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，求得,P Q两点的坐标，结合PQ/AD，找到12,k k之间的关系，即可容易求得.【详解】（1）由2222263111caabcba，解得22443ab，所以椭圆的标准方程为C：223144xy.（2）设经过点A，B且和y轴相切的圆的圆心为,E m n，半径为r，圆的方程为222xmyn

20、r，由题意可知rm，因为2,0A，1,1B在圆上，第 14 页 共 23 页所以222222211mnmmnm，解得101mnr或545mnr，故所求的圆的方程为2211xy或225425xy.（3）设点P、Q分别为,PQP xx、,QQQ xy，直线PB、QB的斜率分别为1k、2k，联立直线PB与椭圆方程122113144ykxxy，化简得222111113613 140kxkkxk，1x是方程的一个解，21122113 146211313Pkkxkk，则12122113Pkyk，同理可得22222223 146211313Qkkxkk，则22222113Qkyk，直线PQ的斜率121212

21、126266618PQPQPQyykkk kkxxkkk k，又/PQAD且13ADk，12121212626166183PQkkk kkkkk k，化简得120kk，直线PB、QB关于直线1x对称，即1x为PBQ的角平分线所在的直线，PBQ的角平分线经过x轴上的定点1,0.【点睛】本题考查椭圆方程，圆方程的求解，以及椭圆中定点问题的处理，属综合中档题.19已知函数lnfxaxbxc(其中,a b c是常数，且,a b cR)，曲线yfx在1x处的切线方程为1122bbyx.（1）求,a c的值；（2）若存在20,xe e(其中e是自然对数的底)，使得00fxx成立，求b的取值范围；（3）设g

22、 xfxmx，若对任意4,b，均存在tR，使得方程g xt有三个不同的实数解，求实数m的取值范围.第 15 页 共 23 页【答案】（1）1,0ac.（2）2bee.（3）0,1【解析】（1）求出yfx在1x处的导数，利用斜率和函数值建立等式关系，则可求出,a c的值.（2）由条件可知，原题等价于000ln0 xxbx在2e,ex上有解，设ln xh xxbx，即max0h x，求导求函数的最值，从而求出b的取值范围.（3）通过求导分析g x的单调性和最值，分类讨论求出m的取值范围.【详解】（1）2abfxxx，由题知1fbcb，且 1122bbfa，解得1,0ac；（2）由（1）知lnfxx

23、b x，因为存在20,xe e，使得00fxx，即000ln0 xxbx，设ln xh xxbx，则需max0h x，2ln2xxhxx x，设2lnH xxx，则110Hxx在2,e e上恒成立，即Hx单调递增，又因为10H ee，所以0H x 在2,e e上恒成立，即h x单调递增，所以2max2h xh eebe，令max20h xebe，解得2bee；（3）lng xxb xmx，2222222mxbxmxbxgxxx，当0m时，对任意4,b，易知方程2220mxb x均仅有唯一解0 xx，且当00,xx时，0gx，g x单调递增，当0,xx时，0gx，g x单调递减，故方程g xt最

24、多有两个不同的实数解，所以0m不符合题意；当0m时，若2160bm，则0gx恒成立，g x单调递增，第 16 页 共 23 页方程g xt最多只有一个实数解，不符题意，所以对任意4,b，应有2160bm，即0,1m，此时，易知方程2220mxbx在0,上有两个不同的实数根12,xx，因为22 102mbg，不妨取12xx，则有11x，列表如下：x10,x1x12,x x2x2,xgx00g xZ极大值极小值Z由表可知，g x的极大值为1111lng xxb xmx，因为11220mxb x，所以111111lnln20g xxb xmxxmx，又因为221bm，且22222202bmbmgmb

25、，所以222bxm，因为22122ln0bbgxmm g，所以必然存在121max,g,g2xtgxx，使得方程g xt在区间2111222,2xbxx xxm上均有一个实数解，符合题意；综上所述，实数m的取值范围为0,1.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，考查存在性问题的转化，考查分类讨论求函数的最值，考查学生问题的转化能力和计算能力，属于难题.20已知na为等差数列，nb为等比数列，公比为1q q.令*|,NkkAk abk.（1）若1,2A.当nan，求数列nb的通项公式；第 17 页 共 23 页设10a，0q，试比较na与3nbn的大小？并证明你的结论.（2）问集合A中最多有多少

26、个元素？并证明你的结论.【答案】（1）12nnb；1,2,nnabn，证明见解析；（2）3 个，证明见解析.【解析】（1）利用数列基本量，结合已知条件，即可容易求得结果；用作差法，结合代数运算，即可证明和判断；（2）将问题转化为0nqtns有多少个解的问题，构造函数，利用导数判断函数单调性，从而问题得解.【详解】（1）由1,2A，得11ab，22ab.设数列na公差为d，数列nb公比为q，由2211abada q，故11da q.因为nan，111ab，222ab，所以数列nb的公比212bqb，所以，12nnb.答：1,2,nnabn.证明如下：因为10a，0q，1q，所以111111111

27、111nnnnbaa qanaqaqaqn21111111nnaqqqaqnL2311?11nnaqqqnL2311111nnaqqqqL234452111110nnnnaqqqqqqLLL.所以1,2,nnabn.（2）不妨设0nnaabb，nnbpq，由nnnnabababnpqnqpp.令asp，btp，0t，原问题转化为关于n的方程第 18 页 共 23 页0nqtns，最多有多少个解.下面我们证明：当0q时，方程 最多有 2 个解；0q时，方程 最多有 3 个解.当0q时，考虑函数xfxqtxs，则lnxfxqqt，如果ln0tq，则fx为单调函数，故方程最多只有一个解；如果ln0t

28、q，且不妨设由0fx得fx有唯一零点0loglnqtxq，于是当0 xx时，fx恒大于 0 或恒小于 0，当0 xx时，fx恒小于 0 或恒大于0，这样fx在区间00,x与0,x上是单调函数，故方程 最多有 2 个解.当0q时，如果0t.如果n为奇数，则方程变为0nqtns，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程.如果n为偶数，则方程变为0nqtns，由0q的情形，上式最多有2 个解，即满足 的偶数最多有2 个.这样，最多有3 个正数满足方程.对于0t，同理可以证明，方程最多有 3 个解.综上所述，集合A中的元素个数最多有3 个.再由当68nan，2nnb，则11ab，22ab，4

29、4ab，1,2,4A.由此，可知集合A中的元素个数最多有3 个.【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，利用导数研究方程根的个数，属综合中档题.21 已知点,P a b，先对它作矩阵13223122M对应的变换，再作2002N对第 19 页 共 23 页应的变换，得到的点的坐标为8,43，求实数a，b的值.【答案】5a，3b【解析】分别求得NM，1NM，即可容易求得结果.【详解】依题意，1320132202313122NM，由逆矩阵公式得，113443144NM，所以1385444 333144，即有5a，3b.【点睛】本题考查点关于矩阵变换后坐标的求解，属基础题.22在平面直角坐标系xOy中，

30、椭圆C的参数方程为3 cossinxy，其中为参数.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos23.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值.【答案】最大值为622，最小值为622.【解析】将直线的极坐标方程转化为直角方程，利用参数以及点到直线的距离公式，求三角函数的最值，即可求得结果.【详解】由cos23，得13cossin222，即l的直角坐标方程为340 xy.因为椭圆C的参数方程为3xcosysin，第 20 页 共 23 页所以椭圆C上的点到直线l距离6cos446cos3cos3sin444222d，所以d的最大值为622，最小值为622.【点睛】本题考

31、查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及用参数求解距离的最值问题，属综合基础题.23定义,min,a aba bb ab，设222min,bhaab，其中a，b均为正实数，证明：1h.【答案】证明见解析【解析】根据对h的定义，求得2222abhab，再利用均值不等式，即可证明.【详解】因为a，b均为正实数，所以2222abhab，因为222abab，所以2221abab，即21h.【点睛】本题考查用均值不等式证明不等式，属综合中档题；本题的难点在于2222abhab的获得.24已知正六棱锥SABCDEF的底面边长为2，高为 1现从该棱锥的7 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，设随机变量X表示所得

32、三角形的面积.(1)求概率(3)P X的值；(2)求X的分布列，并求其数学期望()E X【答案】(1)635P.第 21 页 共 23 页(2)分布列见解析，36 36 618()35E X.【解析】分析：（1）从 7 个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C种取法，其中面积3X的三角形有6个，由古典概型概率公式可得结果；(2)X的可能取值3,2,6,2 3,33，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望E X详解：（1）从 7 个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3735C种取法，其中3X的三角形如ABF，这类三角形共有6个因此3

33、766=335PXC.（2）由题意，X的可能取值为3,2,6,2 3,33其中3X的三角形如ABF，这类三角形共有6个；其中2X的三角形有两类，如PAD（3个），PAB（6个），共有9个；其中6X的三角形如PBD，这类三角形共有6个；其中2 3X的三角形如CDF，这类三角形共有12个；其中3 3X的三角形如BDF，这类三角形共有2个；因此69=3,=23535PXPX6122=6,=23,=33353535PXPXPX所以随机变量的概率分布列为：X3262 33 3P X6359356351235235所求数学期望69612236 36 6183262 33 3353535353535E X.

34、第 22 页 共 23 页点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数n，其次所求概率事件中含有多少个基本事件m，然后根据公式mPn求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.25已知在数列na中，11a，21a，32a，44a，且对于任意*Nn有431nnnnaaaa.（1）求证：任意*Nn，21221nnnaaa；（2）求证：任意*Nn，22

35、2nna a为整数.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）严格遵循数学归纳法的证明步骤，即可容易求证；（2）根据1a至8a的结果，猜想22221nnna aa，用数学归纳法证明即可.【详解】（1）因为321aaa，因此1n时，命题成立；假设nk时，命题成立，即21221kkkaaa，则23222212221kkkkkkaaaaaa，即1nk时，命题也成立，因此任意*Nn，21221nnnaaa.（2）易知11a，21a，32a，44a，56a，69a，715a，825a，242a a，466a a，6815a a，猜想22221nnna aa，*Nn，证明：当1n时，命题成立；假设nk时，命题成立，即22221kkka aa，则22242223212222221212kkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaa2222221222222221222122kkkkkkkkkaaaa aaaaa222123kkkaaa，第 23 页 共 23 页即1nk时，命题也成立，所以22221nnna aa，*Nn，又*21Nna，因此任意*Nn，222nna a为正整数.【点睛】本题考查用数学归纳法证明数列问题，属综合经典题型.