华科线性代数复习重点.pdf

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1、.第一部分行列式重点：1 排列的逆序数（P.5 例 4；P.26 第 2、4 题）2 行列式按行（列）展开法则（P.21 例 13；P.28 第 9 题）3 行列式的性质及行列式的计算（P.27 第 8 题）【主要容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）TAA；（2）AA11；（3）AkkAn；（4）1*nAA；（5）BAAB；（6）BABABA0*0；（7）jijiAAaniijij，01；（8）jijiAAanjijij，01（其中BA,为n阶方阵，k为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角

2、形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5 阶行列式的值。4、会计算简单的n阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。.第二部分矩阵1 矩阵的运算性质2 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56 第 17、18 题；P.78 第 5 题）3 伴随阵的性质（P.41 例 9；P.56 第 23、24 题；P.109 第 25 题）、正交阵的性质（P.116）4 矩阵的秩的性质（P.69 至 71；P.100 例 13、14、

3、15）【主要容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、n阶矩阵A可逆0AA为非奇异(非退化)的矩阵。nAR)(A为满秩矩阵。0AX只有零解bAX有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的特征值全不为零。A可以经过初等变换化为单位矩阵。A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，

4、对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分线性方程组1 线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定2 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3 非齐次线性方程组的解的结构（通解）【主要容】.1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组A：n,21，向量组B：m,21，则（

5、1）向量b可被向量组A线性表示),(),(2121bRRnn（2）向量组B可被向量组A线性表示),(),(212121mnnRR（3）向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：),(),(),(21212121mnmnRRR（4）基本题型：判断向量b或向量组B是否可由向量组A线性表示？如果能，写出表达式。解法：以向量组A：n,21以及向量b或向量组B:m,21为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组s,21的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程02211sskkk只有零解向量组s,21线性无关；（2）向量方程02211s

6、skkk有非零解向量组s,21线性相关。方法二：求向量组的秩),(21sR（1）秩),(21sR小于个数 s向量组s,21线性相关（2）秩),(21sR等于个数 s 向量组s,21线性无关。（3）特别 的，如果向 量组的 向量 个数与 向量 的维数 相同，则 向量组 线性 无关以 向量组s,21为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组s,21为列向.量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求

7、】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1向量组的线性表示2向量组的线性相关性3向量组的秩【主要容】1、齐次线性方程组0Ax只有零解系数矩阵A的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组0Ax有非零解系数矩阵A的秩未知量个数n.3、非齐次线性方程组bAx无解增广矩阵),(bAB秩系数矩阵A的秩；4、非齐次线性方程组bAx有解增广矩阵)

8、,(bAB秩系数矩阵A的秩特别地，1）增广矩阵),(bAB的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组bAx有唯一解；2）增广矩阵),(bAB的秩系数矩阵A的秩未知量个数n非齐次线性方程组bAx有无穷多解。【要求】.1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分方阵的特征值及特征向量1施密特正交化过程2特征值、特征向量的性质及计算（P.120 例 8、9、10；P.135 第 7 至 13 题）3矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（

9、P.135 第 15、16、19、23 题）【主要容】1、向量的积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程0EA；（2）特征向量的求法：求方程组0XEA的基础解系。5、相似矩阵的定义（BAPP1）、性质(BA,相似)()(BRAR、BA、BA,有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得APP1为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵A.（2）求出A的所有特征值n,21（3）解方

10、程组0)(XAEi（ni,2,1）求对应于特征值n,21的特征向量.n,21（4）若特征向量组n,21不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组n,21，记),(21nP，对二次型做正交变换Pyx,即得二次型的标准形2222211nnyyyf8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正

11、交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。线 性 代 数 要 注 意 的 知 识 点1、行 列 式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM4.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2(

12、1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、(1)m nCAOAA BBOBC.、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值5.证明0A的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明 0 是其特征值；2、矩 阵A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r An（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TA A是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；6.对于n阶矩阵A：*AAA

13、AA E无条件恒成立；7.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA8.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；9.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB、111OAOBBOAO、11111ACAACBOBOB、11111AOAOCBBCAB.3、矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成

14、的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB；2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1；、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EEX，则A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1(,)(,)cA BE A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rA bE x，则A可逆，且1xA b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列

15、变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；、对调两行或两列，符号(,)E i j，且1(,)(,)E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号()E i k，且11()()E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号()E ij k,且1()()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)mnr Am n；、()()Tr Ar A；、若AB，则()()r Ar B；、若P、Q可逆，则()()()()r Ar PA

16、r AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),()(,)()()r A r Br A Br Ar B；（）、()()()r ABr Ar B；（）、()min(),()r ABr A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；.、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵

17、：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An；、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX；、*1AA A、1*nAA8.关于A矩阵秩的描述：、()r An，A中有n阶子式不为0，1n阶子式全部为0；（两句话）、()r An，A中有n阶子式全部为0；、()r An，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特

18、解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxa xba xaxaxbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）.4、向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m个n维列向量所组成的向量组A：12,m构成nm矩阵12(,

19、)mA；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解；(101P例 14)4.()()Tr A Ar A；(101P例 15)5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若12,s线性相关，则1

20、21,ss必线性相关；若12,s线性无关，则121,s必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B；向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；()(,)r Ar A B向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，

21、使12lAPPP；、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx同解、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；9.对于矩阵mnA与l nB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax与0Bx同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10.若m ss nm nABC，则：.、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解，考试中可以直接作为定

22、理使用，而无需证明；、0ABx只有零解0Bx只有零解；、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解；12.设向量组12:,nrrBb bb可由向量组12:,nssAa aa线性表示为：1212(,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵m nA，存在nmQ，mAQE()r Am、Q的列向量线性无关；、对矩阵m nA，存在nmP，nPAE()r An、P的行向量线性无

23、关；14.12,s线性相关存在一组不全为0 的数12,skkk，使得11220sskkk成立；（定义）1212(,)0ssxxx有非零解，即0Ax有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为：()r Snr；16.若*为Axb的一个解，12,nr为0Ax的一个基础解系，则*12,nr线性无关；5、相 似 矩 阵1.正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解单位正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：12(,)ra aa11ba；1222111,b ababb b121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；