广东省六校联盟2020届高三上学期第一次联考试题数学(理)【含解析】.pdf

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1、广东省六校联盟2020 届高三上学期第一次联考试题数学（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设24fxxx xR，则0fx的一个必要而不充分的条件是（）A.0 xB.04xx或C.11xD.23x【答案】C【解析】由0fx可得0 x或4x，所以，0 x是0fx的充分不必要条件；0 x或4x是0fx的充要条件；由11x得0 x或2x，所以11x是0fx的一个必要而不充分的条件，由23x得，1x或5x，所以23x是0fx充分不必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是

2、什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,pq qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.2.设复数 z 满足1+z1z=i，则|z|=（）A.1 B.2C.3D.2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)iiiziiii，所以1z，故选 A.考点：复数的运算与复数的模.3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A.42130rrrrB.24130rrrrC.24310rrrrD.42310rrrr【答案】C

3、【解析】【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故1300rr，；2400rr，；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故13rr，24rr，因此，24310rrrr.故选 C【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.4.已知函数2()2cosf xxx，若()fx是()f x 的导

4、函数，则函数()fx的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题 分析：函数2()2cosfxxx，则其导函数为.因为，即导函数为奇函数，即在实数范围内恒有，所以在实数范围内恒为增函数，观察图像，只有选项A满足条件，故正确选项为A.考点：导函数以及函数的图象.【方法点睛】本题主要考察函数的性质与图像的关系，首先要求得函数的解析式，再求函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，函数值的（正负），以及一些特殊的点，通过这些条件结合选项，进行排除，对于较复杂的函数，经常利用导函数的性质来判断函数的单调性，本题中整式利用导函数求得函数在原点附近的单调性.5.已知函数32()4f xxax在2x处取

5、得极值，若 1,1m，则()f m 的最小值为（）A.4B.2C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】令导函数当2x时为 0，列出方程求出a值，利用导数求出()f m 的极值，判断极小值且为最小值【详解】解：2()32fxxax，函数32()4fxxax在2x处取得极值，1240a，解得3a，2()36fxxx，当 1,1m时，32()34f mmm，2()36f mmm，令()0fm得0,2mm（舍去），由于10,()0,()mfmf m递减，01,()0,()mf mf m递增所以0m时，()f m 取极小值，也为最小值，且为-4故答案为：-4故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求单调区间

6、和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间,a b上的最大值与最小值是通过比较函数在(,)a b内所有极值与端点函数(),()f af b比较而得到的，是中档题6.正方体 ABCD A1B1C1D1中 E为棱 BB1的中点（如图），用过点 A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：如图补全过的平面，将上半部分切去，所以左视图如C选项，故选C.考点：三视图7.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为1,1，则E的方程为（）A.2214536xyB.2

7、213627xyC.2212718xyD.221189xy【答案】D【解析】设1122,A x yB xy，直 线AB的 斜 率101132k，22112222222211xyabxyab，两 式 相 减 得12121212220 xxxxyyyyab，即121222221212111120022yyyyabxxxxab，即222ab，22229,cabc，解得：2218,9ab，方程是221189xy，故选 D.8.函数()cos2sinf xxax在区间(,)62上是减函数，则a的取值范围是（）A.(2,4)B.,2C.,4D.4,【答案】B【解析】试题分析：2()cos2sin12sin

8、sinf xxaxxax，令sintx，由(,)62x得1(,1)2t，依题意有2()21g ttat在1(,1)2t是减函数，142a，即2a，故选 B考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.9.某校高三年级有男生220 人，学籍编号为1，2，220；女生 380 人，学籍编号为221，222，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600 名学生中抽取10 人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10 名学生中随机抽取3 人进行座谈，则这3 人中既有男生又有女生的概率是（）A.15B.310C.710D.45【答案】D【解析】【

9、分析】解：由题意，得到抽到的10 人中，有男生4 人，女生 6 人，再从这10 位学生中随机抽取3 人座谈，可求出基本事件总数，然后求出3 人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进而可求出3 人中既有男生又有女生的概率【详解】解：由题意，得到抽到的10 人中，有男生4 人，女生6 人，再从这 10 位学生中随机抽取3 人座谈，基本事件总数310120nC，3 人中既有男生又有女生包含的基本事件个数3331046120 4 20 96CCC，3 人中既有男生又有女生的概率9641205mpn故选：D【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用10

10、.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120 名同学每人随机写下一个x、y都小于 1 的正实数对,x y；再统计x、y两数能与1 构成钝角三角形三边的数对,x y的个数m；最后再根据统计数m估计的值，假如统计结果是35m，那么可以估计的值约为（）A.227B.4715C.5116D.196【答案】D【解析】【分析】依题意，x、y与 1 能构成钝角三角形，即221xy，即点,x y落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可【详解】解：依题意，x、y与 1 能构成钝角三角形，即2211xyxy

11、，即点,x y落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，所以112042m，当35m时，有11203542，得196故选：D【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题11.已知数列na满足1=1a，*1=2()nnnaanN，则2019S等于（）A.201921B.1010323C.101123D.1010322【答案】C【解析】【分析】由1=2nnnaa得：11=2nnnaa，两式相除，可得数列na奇数项和偶数项均为等比数列，分奇数项和偶数项讨论，分别求出通项公式，进而可求2019S.【详解】解：*1=2()nnnaanN，故1*1=2(2,)nnnaann

12、N,两式相除得：111222nnnnaa，故数列na的奇数项和偶数项均为公比为2 的等比数列，2019132019242018)Saaaaaa10101009121111aqaqqq100910102 12121212101010102122101123故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推式求解数列的性质，重点考查了等比数列前n公式的运用，考查了分组求和，是中档题.12.已知函数2()(2)sin(1)1xfxxxxx在 1,3上的最大值为M，最小值为m，则Mm（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】把已知函数变形，可得21()(1)1sin(1)11f xxxx，令2

13、1()(1)sin(1)sin(1)1g xxxxx，结合(2)()0gxg x，可得()g x关于(1,0)中心对称，则()f x 在 1,3上关于(1,1)中心对称，从而求得Mm的值【详解】解：221()(2)sin(1)(1)1sin(1)111xf xxxxxxxx令21()(1)sin(1)sin(1)1g xxxxx，而21(2)(1)sin(1)sin(1)1gxxxxx，(2)()0gxg x，则()g x关于(1,0)中心对称，则()f x 在 1,3上关于(1,1)中心对称2Mm故选：B【点睛】本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属

14、中档题二、填空题：13.1|-1xe dx值为 _【答案】22e.【解析】【分析】由|xye是偶函数可得11|-102xxe dxedx，再用微积分基本定理求定积分即可.【详解】解：因为|xye是偶函数，11|1100-1022|2()2(1)xxxe dxe dxeeee，故答案为：22e【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题.14.已知na、nb都是等差数列，若110+=9ab，38+=15ab，则56+=ab_【答案】21.【解析】【分析】由等差数列的性质可知15610382aabbab，代入即可求解【详解】解：na、nb都是等差数列，若110+=9

15、ab，38+=15ab，又1561038230aabbab，561103030 9 21aba b，故答案为：21.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题15.抛物线22(0)ypx p的焦点为F，其准线与双曲线221yx相交于,A B两点，若ABF为等边三角形，则p .【答案】2 3【解析】试 题 分 析:抛 物 线 的 准 线 方 程 为2px,设,A B两 点 的 纵 坐 标 为,AByy,由 双 曲 线 方 程 可 知22214ABpyy,焦点到准线的距离为p.由等边三角形的特征可知32ABp,即23 14pp,可得23p.故答案应填2 3.考点：1.抛物线的标准

16、方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于p的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题.(对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于p的方程.16.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年）一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623 年以后，法国数学家布莱士?帕斯卡的著作（

17、1655 年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”Chinese triangle，如图A.17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B.在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111rrrnnnCCC，其 中n是行数，rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 _【答案】111112121111rrrnnnnnnCCCCCC【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都

18、能提出倍数111nC，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111rrrnnnCCC，有111112121111rrrnnnnnnCCCCCC故答案为111112121111rrrnnnnnnCCCCCC点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(cos B，c

19、os C)，n(2ac，b)，且mn(1)求角B的大小；(2)若b3，求ac的范围【答案】（1）23（2）(3，2【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）由b及 cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可【详解】(1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且mn(2ac)cos Bbcos C0，cos B(2sin Asin C)sin Bcos C0，2cos Bs

20、in Acos Bsin Csin Bcos C0即 2cos Bsin A sin(BC)sin AA(0，)，sin A0，cos B120B，B23(2)由余弦定理得b2a2c22accos23a2c2ac(ac)2ac(ac)2-22ac34(ac)2，当且仅当ac时取等号(ac)24，故ac2又acb3，ac(3，2 即ac的取值范围是(3，2【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中

21、奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000 元；若未中奖，则所获奖金为0 元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400 元.（1）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（2）某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？【答案】（1）详见解析；（2）选甲方案.【解析】试题分析：(1)由题意可知X的取值可以是0,500,1000，结合题意求解相应的概率即可求得分布列；(2

22、)利用(1)中的结论结合题意求解相应的数学期望，选择期望值更大的数值即可确定选择的方案.试题解析：（1）141170552525P X，412500525P X，4148100052525P X.所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X（元）的分布列为：X0500 1000 P72525825（2）由（1）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值285001000520525E X，若选择方案乙进行抽奖中奖次数23,5B，则26355E，抽奖所获奖金X的均值400400480E XEE E，故选择方案甲较划算.点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊

23、的概率分布两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1 检验分布列的正误19.如下图，在四棱锥PABCD中，PD面ABCD，/ABDC，ABAD，6DC，8AD，10BC，45PAD，E为PA的中点（1）求证：/DE面PBC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CFDB？若存在，试求出二面角FPCD的余弦值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在点F，满足CFDB,二面角FPCD余弦值为817【解析】【详解】试题分析：（1）要证/DE平面PBC，只要在平面PBC内找到一条直线与DE平行即可，取PB的中点M,构造平行四边形CDAN即可证明；

24、（2）以,DA DC DP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系Dxyz，写出点,A B C D的坐标，假设AB上存在一点F使CFBD，利用空间向量知识可得到在AB上存在点F满足条件，平面DPC的一个法向量为(1,0,0)DA，再求出平面FPC的法向量，即可求二面角FPCD的余弦值试题解析：（1）取PB的中点M，连EM和CM，过C点作CNAB，垂足为NCNAB，DAAB，/CNDA，又/ABCD四边形CDAN为平行四边形，8,6CNADDCAN，在直角三角形BNC中，22221086BNBCCN12AB，而,E M分别为,PA PB的中点，/EMAB且6EM，又/DCAB/EMCD且EMCD，

25、四边形CDEM为平行四边形，/DECMCM平面PBC，DE平面PBC，/DE平面PBC（2）由题意可得，,DA DC DP两两互相垂直，如图，以,DA DC DP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则，假设AB上存在一点F使CFBD，设F坐标为，则，由(1,0,0)DA，得，又平面DPC的一个法向量为(1,0,0)DA设平面FPC的法向量为(8,12,9)n又，由，得，即不妨设，有则又由法向量方向知，该二面角为锐二面角，故二面角FPCD的余弦值为考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用20.已知动圆P经过点1,0N，并且与圆22:116.Mxy相切.（1）求点 P的

26、轨迹 C的方程；（2）设,0G m为轨迹 C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹 C于 A,B 两点，当k 为何值时？22|GAGB是与 m无关的定值，并求出该值定值.【答案】（1）22143xy（2）7.【解析】【分析】（1）由题意可得点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（2m2），直线l：yk（xm），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标与纵坐标的和与积，再由|GA|2+|GB|2是与m无关的定值求得k，进一步得到该定值【详解】解：（1）由题

27、设得：|PM|+|PN|4，点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，2a4，2c2，223bac，椭圆方程为22143xy；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（2m2），直线l：yk（xm），由22143yk xmxy，得（3+4k2）x28k2mx+4k2m2120，22212122284124343mkk mxxxxkk，12121226243mkyyk xmk xmk xxkmk22222221212121223443kmyykxmxmk x xk m xxk mk22222222211221212121212|()()()222()2GAGBxmyxmyxxx xm

28、xxmyyy y22222264324 3143mkkkk|GA|2+|GB|2的值与m无关，4k230，解得32k此时|GA|2+|GB|2 7【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题21.设函数2()ln(1)f xaxxb x，曲线()yf x过点2(,1)e ee，且在点(1,0)处的切线方程为0y.（1）求,a b的值；（2）证明：当1x时，2()(1)f xx；（3）若当1x时，2()(1)fxm x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1,1ab；（2）详见解析；（3）32m.【解析】【分析】（1）

29、根据导数几何意义得10f，再结合21f eee联立方程组，解得,a b的值；（2）即证明差函数22lng xxxxx的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为10g，（3）令函数22ln11h xxxxm x，因为10h，所以min0h x.先求差函数导数，再求导函数的导数得2ln32hxxm，所以分33,22mm进行讨论：当32m时，01010hxh xhh xh满足题意；当32m时，能找到一个减区间，使得10h xh不满足题意.【详解】（1）由题意可知，2ln1fxaxxb x定义域为0,xxo即2ln,

30、(0)fxax xaxb x，10fab，222111feaeb ea eeee1,1ab（2）2ln1fxxxx，设22lng xxxxx，1x，2 ln1gxxxx由2ln10gxx，gx在1,上单调递增，10gxg，g x在1,上单调递增，10g xg21fxx（3）设22ln11h xxxxm x,1x，2 ln211hxx xxm x，由（2）中知22ln111xxxxx x，ln1x xx，3121321hxxm xmx，当320m即32m时，0hx，所以h x在1,单调递增，10h xh，成立当320m即32m时，2 ln121hxx xmx()2ln32hxxm，令0hx，得2

31、3201mxe，当01,xx时，h x单调递减，则1h xh，所以h x在01,x上单调递减，所以10h xh，不成立综上，32m【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 44：坐标系与参数方程 22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t 为参数,且0t）,其中0,在以 O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:

32、2sin,:2 3cos.CC（）求2C与3C交点的直角坐标；（）若1C与2C相交于点 A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.【答案】（）3 30,0,22；（）4.【解析】（）曲线2C的直角坐标方程为2220 xyy，曲线3C的直角坐标方程为222 30 xyx联立222220,2 30,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy所以2C与1C交点的直角坐标为(0,0)和3 3(,)22（）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为所以2sin2 3 cosAB4()3sin，当56时，AB取得最大值，最大值为4考点：1、极坐标方程和直角坐标

33、方程的转化；2、三角函数的最大值 选修 45：不等式选讲 23.已知函数()2|1|2|fxxx的最小值为m.（1）求m的值；（2）若a、b、c均正实数，且满足abcm，求证：2223bcaabc.【答案】（1）3；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的取值，去掉函数()f x 的绝对值，求出()f x 的最小值m；（2）根据3abcm，利用基本不等式求出222()bcaabcabc的最小值，即可证明结论成立【详解】（1）当1x时，()2(1)(2)3(3,)f xxxx；当12x时，()2(1)(2)43,6)f xxxx；当2x时，()2(1)(2)36,)f xxxx综上，fx的最小值3m.（2）证明：因为a、b、c均为正实数，且满足3abc，所以222222()bcabcaabcabcabcabc2222()2()bcaabcabcabc，当且仅当1abc时，取“”，所以222bcaabcabc，即2223bcaabc.【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目，难度较大