数学人教A版选修2-2章末测试：第一章导数及其应用BWord版含解析.pdf

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1、第一章测评B(高考体验卷)(时间：90 分钟满分：100 分)第卷(选择题共 50 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014 课标全国 高考)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则 a()A0 B1 C2 D3 2(2014 陕西高考)定积分10(2xex)dx 的值为()Ae2 Be1 Ce De1 3(2013 浙江高考)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()4(2014 山东高考)直线 y4x 与曲线 yx3在第

2、一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 2 B4 2 C2 D4 5(2013 课标全国 高考)已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()A?x0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图象是中心对称图形C若 x0是 f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若 x0是 f(x)的极值点，则f(x0)0 6(2013 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln

3、 2 7(2013 大 纲 全 国高 考)若函数f(x)x2 ax1x在12，是增函数，则a 的取值范围是()A1,0 B1，)C0,3 D3，)8(2013 福建高考)设函数 f(x)的定义域为R，x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A?xR，f(x)f(x0)Bx0是 f(x)的极小值点Cx0是 f(x)的极小值点D x0是 f(x)的极小值点9(2013 湖北高考)已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A(，0)B 0，12C(0,1)D(0，)10(2013 浙江高考)已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(

4、x1)k(k1,2)，则()A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值第卷(非选择题共 50 分)二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上)11(2013 湖南高考)若0Tx2dx9，则常数T 的值为_12(2013 广东高考)若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则 a_.13(2013 江西高考)设函数 f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则 f(1)_.14(2014 江苏

5、高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点P 处的 切 线 与 直 线7x 2y 3 0 平 行，则a b 的 值 是_15(2012 上海高考)已知函数yf(x)的图象是折线段ABC，其中 A(0,0)，B12，5，C(1,0)函数 yxf(x)(0 x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_三、解答题(本大题共4 小题，共 25 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题 6 分)(2014 安徽高考)设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0,1 时，

6、求 f(x)取得最大值和最小值时的x的值17(本小题6 分)(2014 课标全国高考)设函数f(x)aexln xbex1x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求 a，b；(2)证明：f(x)1.18(本小题 6 分)(2013 浙江高考)已知 aR，函数 f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若 a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求 f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值19(本小题 7 分)(2013 福建高考)已知函数 f(x)xaln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处

7、的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值参考答案一、1解析：yaxln(x1)，y a1x1.y|x0a12，得 a3.答案：D 2解析：因为(x2ex)2xex，所以10(2xex)dx(x2ex)|10(1e1)(0e0)e.答案：C 3解析：由导函数图象知，函数f(x)在1,1上为增函数当 x(1,0)时 f(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当 x(0,1)时 f(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B答案：B 4解析：由y4x，yx3，解得 x 2 或 x0 或 x2，所以直线y4x 与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形面积应为S02(4xx3)dx2

8、4201(2)|4xx 222142404.答案：D5解析：x0是 f(x)的极小值点，则yf(x)的图象大致如下图所示，则在(，x0)上不单调，故C 不正确答案：C 6解析：由于 v(t)73t251t，且汽车停止时速度为0，因此由 v(t)0 可解得 t4，即汽车从刹车到停止共用4 s.该汽车在此期间所行驶的距离s4073t251tdt 7t3t2225ln(t1)40|425ln 5(m)答案：C 7解析：由条件知 f(x)2xa1x20 在12，上恒成立，即 a1x22x 在12，上恒成立函数 y1x22x 在12，上为减函数，ymax11222123.a3.故选 D答案：D 8解析：

9、选项 A，由极大值的定义知错误；对于选项 B，函数 f(x)与 f(x)的图象关于y 轴对称，x0应是 f(x)的极大值点，故不正确；对于C 选项，函数 f(x)与 f(x)图象关于x 轴对称，x0应是 f(x)的极小值点，故不正确；而对于选项D，函数 f(x)与 f(x)的图象关于原点成中心对称，故正确答案：D 9解析：f(x)ln xaxx1xa ln x2ax1，函数f(x)有两个极值点，即 ln x2ax10 有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g(x)ln x1x与函数y2a 在(0，)上有两个不同交点因为 g(x)ln xx2，所以 g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，

10、所以g(x)maxg(1)1，如图若 g(x)与 y2a 有两个不同交点，须02a1.即 0a12，故选 B答案：B 10解析：当 k1 时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)xex1，f(1)e10，f(x)在 x1 处不能取到极值；当 k2 时，f(x)(ex1)(x1)2，f(x)(x1)(xexex2)，令 H(x)xexex2，则 H(x)xex2ex0，x(0，)说明 H(x)在(0，)上为增函数，且 H(1)2e20，H(0)10，因此当 x0 x1(x0为 H(x)的零点)时，f(x)0，f(x)在(x0,1)上为减函数当 x1 时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数x

11、1 是 f(x)的极小值点，故选C答案：C 二、11解析：13x3 x2，0Tx2dx13x30|T13T309，T3.答案：3 12解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x 轴得切线的斜率为0，由 y 2ax1x及导数的几何意义得y|x12a10，解得 a12.答案：12三、13解析：令 ext，则 xln t，f(t)ln tt，f(t)1t1，f(1)2.答案：2 14解析：由曲线 yax2bx过点 P(2，5)，得 4ab2 5.又 y 2axbx2，所以当 x2 时，4ab472，由 得a 1，b 2，所以 ab 3.答案：3 15解析：由题意 f(x)10 x，0 x12，10

12、x10，12x1，则 xf(x)10 x2，0 x12，10 x210 x，12x1.xf(x)与 x 轴围成图形的面积为12010 x2dx112(10 x210 x)dx103x3120|5x2103x3112|10318 5103541031854.答案：54三、16分析：(1)利用导数判断函数单调性的方法，先求导，再令其等于0，求出导函数的零点，即为相应的极值点，结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负，从而得到原函数的单调区间(2)讨论极值点x2在不在区间 0,1 内是问题的关键，要通过分类讨论，得出函数f(x)在0,1上的变化趋势，从而得出f(x)在0,1 上的最值情况若

13、函数 f(x)在0,1上有单调性，那么 f(x)的最值就在区间的端点处取得若f(x)在0,1 上单调递增，那么f(x)在 x0处取得最小值，在x1 处取得最大值若f(x)在0,1上单调递减，那么f(x)在 x0 处取得最大值，在x1 处取得最小值若函数f(x)在0,1 上不单调，就要看能不能把区间0,1再细分成几部分，通过讨论函数f(x)在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小，以确定哪一个才是最值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x1143a3，x2143a3，x1x2.所以 f(x)3(xx

14、1)(xx2)当 xx1或 xx2时，f(x)0；当 x1xx2时，f(x)0.故 f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为 a0，所以 x10，x20.当 a4 时，x21.由(1)知，f(x)在0,1 上单调递增所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值当 0a4 时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在 x2,1上单调递减所以 f(x)在 xx2143a3处取得最大值又 f(0)1，f(1)a，所以当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 处和 x1 处同时取得最小值；当 1a4

15、 时，f(x)在 x0 处取得最小值17分析：(1)由已知可得f(1)e(11)22，切线斜率 kef(1)，由此可求出a，b.(2)由(1)可求 f(x)，结合不等式的特点将之转化为g(x)h(x)的形式，通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xaxexbx2ex1bxex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故 a1，b2.(2)由(1)知，f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e.设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x.所以当 x 0，1e时，g(x)0；当 x1

16、e，时，g(x)0.故 g(x)在 0，1e单调递减，在1e，单调递增，从而g(x)在(0，)的最小值为g1e1e.设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0.故 h(x)在(0,1)单调递增，在(1，)单调递减，从而 h(x)在(0，)的最大值为h(1)1e.综上，当 x0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.18解：(1)当 a1 时，f(x)6x212x6，所以 f(2)6.又因为 f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间 0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x

17、1)(xa)令 f(x)0，得到 x11，x2a.当 a1 时，x 0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递极大值单调递极小值单调递4a3增3a1减a2(3a)增比较 f(0)0 和 f(a)a2(3a)的大小可得g(a)0，13.当 a 1 时，x 0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值 3a1单调递增28a324a2得 g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)3a1，a1，0，13.19解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ax.(1)当 a2 时，f(x)x2ln x，f(x)12x(x0)，因而 f(1)1，f(1)1，所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即 xy20.(2)由 f(x)1axxax，x0 知：当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa.又当 x(0，a)时，f(x)0；当 x(a，)时，f(x)0，从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值aaln a，无极大值