八下专题四中点四边形问题.pdf

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1、1 专题(四)中点四边形问题顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.根据三角形中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形面积是原来四边形面积的一半.如果原来的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质.类型 1判断中点四边形的形状1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是(C)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2.如图,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.(1)判断四边形EFGH的形状,并说明你的理由;(2)连接BD和AC,当BD,AC满足何条件时,四边形EFGH是正方形.解:(1)四边形EFGH是平行四边形

2、.理由:连接AC.E,F分别是AB,BC的中点,EFAC,且EF=12AC.同理,HGAC,且HG=12AC,EFHG,且EF=HG,四边形EFGH是平行四边形.(2)当BD=AC,且BDAC时,四边形EFGH是正方形.理由:连接AC,BD.E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EF=GH=12AC,GH=FG=12BD,EHBD,GHAC.BD=AC,BDAC,EH=EF=FG=GH,EHGH,四边形EFGH是菱形,且EHG=90,菱形EFGH是正方形.2 类型 2探求中点四边形的性质3.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=

3、3,BD=2,则四边形EFGH的周长为(B)A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2的值为(C)A.9 B.18 C.36 D.48 5.如图,O是ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=5,OBC和OCB互余,求DG的长度.解:(1)边AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E,F,G,DGBC,EFBC,DG=12BC,EF=12BC,DGEF,DG=EF

4、,四边形DEFG是平行四边形.(2)OBC和OCB互余,OBC+OCB=90,BOC=90.M为EF的中点,OM=12EF,OM=5,DG=EF,DG=EF=2OM=10.3 类型 3计算中点四边形的面积6.两个直角三角板ABD和BDC按照如图的方式拼成一个四边形ABCD,A=45,DBC=30,AB=6,E,F,G,H分别是各边中点,则四边形EFGH的面积等于9+3 3.7.若菱形的两条对角线长分别为10 cm 和 24 cm,则顺次连接这个菱形四条边的中点所得的四边形的面积是60 cm2.8.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边的中点,O是四边形ABCD内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4,5,7,求四边形DHOG面积.解:连接OC,OB,OA,OD.E,F,G,H依次是各边中点,AOE和BOE等底等高,SOAE=SOBE,同理可证,S OBF=SOCF,SODG=S OCG,SODH=S OAH,S四边形 AEOH+S四边形 CGOF=S四边形 DHOG+S四边形 BFOE,S四边形 AEOH=4,S四边形 BFOE=5,S四边形 CGOF=7,4+7=5+S四边形 DHOG,S四边形DHOG=6.