华东师大版八年级上册第四章一次函数——求一次函数的解析式及常见题型总结.pdf

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1、第1页求一次函数的解析式及常见题型总结求一次函数的表达式求一次函数0kbkxy的解析式,就是求出bk,的值,然后代入解析式即可.常用待定系数法求一次函数的解析式.待定系数法用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤:（1）设一次函数的解析式为bkxy,其中bk,是待定的系数;（2）将已知点的坐标代入函数解析式,建立关于bk,的方程（组）;（3）解方程（组）,求出待定系数bk,的值;（4）将求出的bk,的值代回所设的函数解析式,即得到所求的函数解析式.待定系数法的原理即下面的结论:点 Pnm,与直线bkxy的关系:（1）如果点Pnm,在直线bkxy上,那么nm,的值必满足函数解析式bkxy,即nb

2、km;（2）如果nm,是满足函数解析式bkxy的一对对应值,那么以nm,为坐标的点Pnm,必在直线bkxy上.注意:（1）对于一次函数bkxy,待定系数有两个,分别是bk,如果其中一个系数的值知道或确定,那么只需要将其图象上一个点的坐标代入函数解析式即可求出另一个系数的值;如果bk,的值都不知道,则需要其图象上两个点的坐标代入求解.（2）在解关于bk,的二元一次方程组时,使用加减消元法进行.（3）在求分段函数的解析式时,要在每段解析式的后面注明相应的自变量的取第2页值范围.（4）求函数的解析式是河南中考的重点,涉及到求一次函数、反比例函数和二次函数的解析式,难度不高.例 1.若一次函数的图象经

3、过1,1和3,1两点,求这个一次函数的表达式,并说出它的增减性.分析:因为点在直线上,所以点的坐标满足函数关系式,利用待定系数法,可求出它的关系式,再由 k 的符号得出它的增减性.k 的符号决定一次函数图象的升降和函数的增减性.解:设这个一次函数的表达式为bkxy该函数的图象经过1,1和3,1两点31bkbk解之得:12bk该一次函数的表达式为12xy.02ky随x的增大而增大.例 2.已知一次函数bkxy的图象经过点1,1和点5,1,求当5x时的函数值.分析:要想求出当5x时的函数值,就必须求出该一次函数的表达式,然后代入求值.由于该一次函数的表达式已经给出,所以在求解的第一步就不用在设表达

4、式了.解:一次函数bkxy的图象经过点1,1和点5,151bkbk解之得:23bk第3页该一次函数的表达式为23xy.当5x时,17253y.例 3.已知直线5kxy经过点1,2,求该直线的表达式.分析:在该直线的表达式中,只有 k 一个待定系数,所以只需要其图象上一个点的坐标即可,当然,建立的是关于 k 的一元一次方程.解:直线5kxy经过点1,2152k解之得:3k该直线的表达式为53xy.回答:对于该一次函数,因为 k _0,所以该函数的图象是 _,（填“上升”或“下降”）y随x的增大而 _,图象不经过第 _象限.习题 1.已知一次函数的图象经过点A1,2,B3,1,C3,m,求这个一次

5、函数的表达式,并求出m的值.习题 2.已知直线bkxy经过点2,1和6,5,求这条直线的函数表达式;当该直线上有一点 P 的纵坐标是 2 时,求 P 点的横坐标.第4页专题求一次函数的表达式的类型及方法类型一、定义型例 4.已知函数332mxmy是一次函数,求这个函数的关系式.分析:根据一次函数关系式的自变量的系数0k,自变量的次数为1,可得关于m的表达式和方程,即可求得m的值,继而可得到函数关系式.解:由题意可知:1203mm解之得:3m.这个函数的关系式为36xy.习题 3.已知412kxkyk是一次函数,求这个函数的关系式.类型二、两点型知道一次函数的图象经过的两个点的坐标,用待定系数法

6、求其函数关系式.例 5.已知一次函数的图象经过点1,1和点2,0,求该一次函数的关系式.解:设该一次函数的关系式为bkxy该函数的图象经过点1,1和点2,021bbk解之得:21bk该函数的关系式为2xy.第5页xy图（1）32Oxy图（2）OBA32习题 4.已知一次函数的图象经过3,2A,3,1B两点.（1）求这个一次函数的关系式;（2）试判断点1,1P是否在这个一次函数的图象上.类型三、图象型已知一次函数bkxy的图象上两个点的坐标,用待定系数法求函数关系式.通常给出的是图象与两条坐标轴的交点坐标.例 6.已知一次函数的图象如图（1）所示,求这个函数的表达式.解:设这个一次函数的表达式为

7、bkxy由图象可知,该函数的图象经过0,2,3,0两点302bbk解之得:323bk这个函数的表达式为323xy.习题 5.已知,如图（2）所示,直线 AB 与x轴交于点 A,与y轴交于点 B.（1）写出 A,B 两点的坐标;（2）求直线 AB 的函数关系式.第6页类型四、平行型若两个一次函数的图象互相平行,则它们的 k 值相等,b 值不相等.据此可用来确定系数 k 的值.例 7.已知一次函数bkxy的图象平行于直线1xy,且经过点4,0,求这个一次函数的关系式.分析:根据两条直线的平行关系确定k 的值,然后再根据一个点的坐标代入求出b的值.解:由题意可知:1kbxy该函数的图象经过点4,04

8、b这个一次函数的关系式为4xy.习题 6.一次函数bkxy的图象与y轴交于点2,0,且与直线213xy平行,求它的函数表达式.类型五、相交型同一平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.确定相交的两条直线的函数关系式,要明确交点的意义,即两个一次函数图象的交点的横坐标和纵坐标,是由这两条直线的关系式组成的方程组的解.例 8.已知一次函数的图象经过点3,3,并且与直线24xy相交与y轴上一点,求这个一次函数的关系式.分析:本题中的一个条件是直线24xy与y轴的交点,只要求出这个交点的坐标,再把交点坐标和3,3分别代入所设函数关系式中,便可求解.第7页解:设这个一次函数的关系式为bkxy直线24

9、xy与y轴的交点是2,0这个一次函数的图象与y轴的交点是2,0把3,3和2,0分别代入bkxy得:233bbk解之得:231bk.这个一次函数的关系式为231xy.习题 7.已知三条直线12,32xyxy和2kxy相交于一点,求该交点的坐标和第三条直线的表达式.分析:该交点的横坐标、纵坐标是方程组1232xyxy的解.类型六、面积型给出的条件中有直线的坐标三角形的面积,求直线的解析式,注意分类讨论.例 9.直线bkxy经过点0,23,且与坐标轴所围成的直角三角形的面积为415,求直线的解析式.分析:题中的三角形就是坐标三角形,它是直角三角形,两条直角边的长度隐含在一次函数的图象与两条坐标轴的交

10、点坐标中:与x轴的交点的横坐标的绝对值是其中一条直角边的长,与y轴的交点的纵坐标的绝对值是另一条直角边的长.解:直线bkxy与y轴的交点坐标为b,0由题意可知:4152321b第8页xy图（3）OBA5b,5b5kxy或5kxy直线bkxy经过点0,230523k,或0523k解之得:310k或310k该直线的解析式为5310 xy或5310 xy.例 10.如图（3）所示,在平面直角坐标系xOy中,一次函数42xy的图象分别与x轴、y轴交于点 A、B,点 P 在x轴上,若6ABPS,求直线 PB 对应的函数关系式.分析:根据题意可得点 P 可以在y轴左边,也可以在y轴右边,应分两种情况讨论.

11、先求点 A 和点 B 的坐标,然后根据6ABPS确定点 P 的位置,进而运用待定系数法可求出直线 PB 对应的函数关系式.解:令0 x,4y;令0y,则042x,解之得:2x.点 A 的坐标为0,2,点 B 的坐标为4,06ABPS6421AP,得3AP点 P 的坐标为0,1或0,5设直线 PB对应的函数关系式为bkxy40bbk或405bbk解之得:44bk或454bk直线 PB对应的函数关系式为44xy或454xy.第9页习题 8.已知一次函数bkxy的图象与x轴交于点0,6A,与y轴交于点 B.若AOB的面积为 12,求一次函数的关系式.类型七、范围型例 11.已知一次函数bkxy中,自

12、变量x的取值范围是1x4,相应函数值的范围是3y2,求此函数的表达式.分析:本题分两种情况讨论:（1）y随x的增大而增大;（2）y随x的增大而减小.解:分两种情况:（1）当0k时,y随x的增大而增大,所以当1x时,3y;当4x时,2y.243bkbk解之得:21bk此函数的表达式为2xy;（2）当0k时,y随x的增大而减小,所以当1x时,2y;当4x时,3y.342bkbk,解之得:11bk此函数的表达式为1xy.综上所述,此函数的表达式为2xy或1xy.习题 9.一次函数bkxy的自变量的取值范围是3x6,相应函数值的取值范围是5y2,求这个函数的关系式.第10 页类型八、表格型例 12.某

13、产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表:x（元）15 20 25 y（件）25 20 15 若日销售量y是销售价x的一次函数,求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式.解:设此一次函数的关系式为bkxy,则:20202515bkbk解之得:401bk此一次函数的关系式为40 xy.习题 10.下表中,y是x的一次函数,求该函数的关系式,并补全下表.x210 1 2 y2 6 其它例 13.已知y与2x成正比例,当4x时,12y,求y与x之间的函数关系式,并判断y是x的什么函数.解:由题意可设2xky4x时,12y1224k,解之得:2k第11 页y与x之间的函数关系式为4222xxy由关系式可知,y是x的一次函数.习题 11.已知2y与x成正比例,且当2x时,4y,求y与x之间的函数关系式,并求当3y时,x的值.习题12.已 知1y与1x成正 比 例,2y与1x成 正比例,21yyy.当2x时,9y;当3x时,14y.求y关于x的函数关系式.分析:由题意可设111xky,122xky.