第三章第八节解三角形的应用举例.pdf

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1、课时规范练A 组基础对点练1已知 A，B 两地间的距离为10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得AB120，则 A，C 两地间的距离为()A10 kmB10 3 km C10 5 kmD10 7 km 解析：如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120 700，AC10 7(km)答案：D 2.(2019 银川一中月考)如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105 后，就可以计算出 A，B 两点的距离为()A50 2 m B50 3 m C25 2 m D.25

2、 22m 解析：由正弦定理得ABsinACBACsin B，ABAC sinACBsin B50221250 2，故 A，B 两点的距离为 50 2 m.答案：A 3某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()A20(133)mB20(13)m C10(26)m D20(26)m 解析：如图，设 AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE为水平线由题意知AB20 m，DAE45，CAE60，故 DE20 m，CE20 3 m所以 CD20(13)m.故选 B.答案：B 4某船开始看见灯塔在南偏东30 方向，后来船沿

3、南偏东60 的方向航行 15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 kmB10 km C5 3 kmD5 2 km 解析：作出示意图(如图)，点 A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在ABC 中，有BAC60 30 30，B120，AC15，由正弦定理，得15sin 120 BCsin 30，即 BC1512325 3，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.答案：C 5 为绘制海底地貌图，测量海底两点 C，D 之间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B 两点进行测量，A，B，C，D 在同一个铅垂平面内，海底探测仪测得BAC 30，DAC45，

4、ABD45，DBC75，A，B 两点的距离为3 海里，则 C，D 之间的距离为()A.5 海里B2 海里C.622海里D(21)海里解析：ADB180 30 45 45 60，在ABD 中，由正弦定理，得BD3 sin 75sin 60 622，在ABC 中，ACB180 30 45 75 30，所以 BCBA3，在BCD 中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BC BDcosDBC36222236226245，所以 CD5.答案：A 6台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内

5、的持续时间为()A0.5 小时B1 小时C1.5 小时D2 小时解析：根据题意画出相应的图形，如图所示BEBF30 km，ABD 为等腰直角三角形且AB40 km，由勾股定理得 ADBD20 2 km，由 BDAD，可得 EDDF，在RtBED 中，由勾股定理得 EDBE2BD210 km，所以 EF2ED20 km，因此 B 市处于危险区内的时间为 20 201(h)答案：B 7如图，一艘船上午9：30 在 A 处测得灯塔 S在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达 B 处，此时又测得灯塔 S在它的北偏东 75 处，且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是

6、 _ n mile/h.解析：设航速为 v n mile/h，在ABS中，AB12v，BS8 2 n mile，BSA45，由正弦定理，得8 2sin 30 12vsin 45，所以v32.答案：32 8.(2019 西安模拟)游客从某旅游景区的景点A 处至景点 C 处有两条线路线路1 是从 A 沿直线步行到C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点B 处，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 C 处经测量，AB1 040 m，BC500 m，则 sinBAC 等于_解析：依题意，设

7、乙的速度为x m/s，则甲的速度为119x m/s，因为 AB1 040，BC500，所以ACx1 040500119x，解得：AC1 260，在ABC中由余弦定理可知cosBACAB2AC2BC22AB AC1 04021 2602500221 0401 26084911213，所以 sinBAC1cos2BAC112132513.答案：5139.如图，在 ABC 中，ABC90，AB3，BC1，P 为ABC内一点，BPC90.(1)若 PB12，求 P A；(2)若APB150，求 tanPBA.解析：(1)由已知得 PBC60，所以 PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA2314231

8、2cos 30 74.故 PA72.(2)设PBA，由已知得 PBsin .在PBA中，由正弦定理得，3sin 150 sin sin 30，化简得3cos 4sin .所以 tan 34，即 tanPBA34.10(2019 宜宾模拟)一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行(2 32)n mil到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东15 的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.(1)求 AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达 C，求 CAB 的大小解析：(1)由题意，在 ABC中，ABC180 75 15 120，AB2 32，BC4，根据余弦定理得AC2AB2BC

9、22ABBCcosABC(2 32)242(2 32)424，所以 AC2 6.(2)根据正弦定理得，sinBAC4322 622，所以 CAB45.B 组能力提升练11如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由 A 处出发，沿北偏东 60 方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45 方向有一艘船 C，若船 C 位于 A 的北偏东 30 方向上，则缉私艇所在的 B 处与船C 的距离是()A5(62)km B5(62)km C10(62)km D10(62)km 解析：由题意知 BAC60 30 30，CBA30 45 75，所以 ACB180 30 75 75，

10、故 ACAB，因为 AB401220，所以 ACAB20.在ABC 中，由余弦定理得：BC2AC2AB22AC ABcosCAB40040022020cos 30 400(23)，故 BC400 23 20031210(62)答案：C 12(2019 广州模拟)如图，在海岸线上相距2 6千米的 A，C 两地分别测得小岛B 在 A 的北偏西 方向，在 C 的北偏西2方向，且cos 63，则 B，C 之间的距离是()A30 3千米B30 千米C12 3千米D12 千米解析：依题意得，AC2 6，sinBACsin2cos 63，sin Bsin22cos 2 2cos2 113，在 ABC 中，由

11、正弦定理得，BCACsinBACsin B2 6631312，则 B 与 C 之间的距离是 12 千米答案：D 13(2019 长沙模拟)地面上有两座塔AB，CD，相距 120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2 倍，在两塔底连线的中点 O 处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A50 米，100 米B40 米，90 米C40 米，50 米D30 米，40 米解析：设高塔高 H，矮塔高 h，在矮塔下望高塔仰角为，在O 点望高塔仰角为.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为2，即 tan H120，tan2h120，根据倍角公式有H

12、1202h1201h1202，在塔底连线的中点O 测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔仰角为2，即 tan H60，tan2h60，根据诱导公式有H6060h，联立得 H90，h40.即两座塔的高度为40 米，90 米答案：B 14.(2019 衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶 D 的仰角为 30，塔底 C与 A的连线同河岸成 15 角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60 角，则电视塔 CD 的高度为_解析：在ACM 中，MCA60 15 45，AMC180 60 120，由正弦定理得AMsin

13、MCAACsinAMC，即1 20022AC32，解得 AC600 6.在 RtACD 中，因为 tanDACDCAC33，所以 DCACtanDAC600 633600 2(m)答案：600 2 m 15(2019 遂宁模拟)海轮“和谐号”从A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮“奋斗号”在 A 处北偏东 45 的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105 的方向以每小时 9 海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得 ABC 中，AC10，AB21x，B

14、C9x，ACB120，由 余 弦 定 理 得：(21x)2 100 (9x)22109xcos 120，整理，得 36x29x100，解得 x23或 x512(舍)所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时答案：2316如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S关于 的函数关系式(2)求 S的最大值及相应的 角解析：(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形 QEDP为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin ，ODcos .在 RtOEQ 中，OE33QE33PD，MNQPDEODOEcos 33sin ，SMN PD cos 33sin sin sin cos 33sin2，0，3.(2)S12sin 2 36(1cos 2 )12sin 2 36cos 2 3633sin 2 636，因为 0，3，所以 2 66，56，sin 2 612，1.当 6时，Smax36(m2)