高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章推理与证明2.3数学归纳法习题课Word版含解析.pdf

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1、习题课数学归纳法明目标、知重点1 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题2掌握证明nk1 成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等1归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明2数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从nk到nk1 必须用上归纳假设题型一用数学归纳法证明不等式思考用数学归

2、纳法证明不等式的关键是什么？答用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由nk到nk1 时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明nk1 时的结论例 1 已知数列 bn的通项公式为bn2n，求证：对任意的nN*，不等式b11b1b21b2bn1bnn1都成立证明由bn2n，得bn1bn2n12n，所以b11b1b21b2bn1bn3254762n12n.下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式b11b1b21b2bn1bn3254762n12nn1成立(1)当n1 时，左边32，右边2，因为32 2，所以不等式成立(2)假设当nk(k1 且kN*)时

3、不等式成立，即b11b1b21b2bk1bk3254762k12kk1成立则 当nk 1 时，左 边 b11b1b21b2bk1bkbk 11bk13254762k12k2k32k2k12k32k22k324k14k212k94k14k212k84k14k23k24k14k1k24k1k2k1 1.所以当nk1 时，不等式也成立由(1)、(2)可 得 不 等 式b11b1b21b2bn1bn3254762n12nn1对任意的nN*都成立反思与感悟用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用跟踪训练1 用数学归纳法证明1221321

4、421n211n(n2，nN*)证明当n2 时，左式12214，右式 11212，因为1412，所以不等式成立假设nk(k2，kN*)时，不等式成立，即1221321421k211k，则当nk1 时，1221321421k21k1211k1k121k12kk k121k2k1k k122)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)12k(k1)，那么，当nk1 时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)12k(k1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k1 条直线共有f(k)k个交点，即f(k1)f(k)k12k(k1)k12k(k12)12k(k1)12(k

5、1)(k1)1，当nk1 时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明跟踪训练 3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2 部分证明(1)n1 时，分为 2 块，f(1)2，命题成立；(2)假设nk(kN*)时，被分成f(k)k2k2 部分；那么当nk1 时，依题意，第k1 个圆与前k个圆产生 2k个交点，第k1 个圆被截为 2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域f(k1)f(k)2kk2k22k(k

6、1)2(k1)2，即nk1 时命题成立，由(1)(2)知命题成立呈重点、现规律 1数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等2证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3从nk到nk1 要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1用数学归纳法证明等式123(n3)n3n42(nN*)，验证n1 时，左边应取的项是()A1 B12 C123 D1234 答案D 解析等式左边的数是从1 加到n3.当n1 时，n34，故此时左边的数为从1 加到 4.2用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0的自然数n都成

7、立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6 答案C 解析当n取 1、2、3、4 时 2nn21 不成立，当n5 时，253252126，第一个能使 2nn21 的n值为 5，故选 C.3已知f(n)112131n(nN*)，证明不等式f(2n)n2时，f(2k 1)比f(2k)多的项数是()A2k 1项B2k1项C2k项D以上都不对答案C 解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)11212k，而f(2k 1)11212k12k112k212k2k.因此f(2k 1)比f(2k)多了 2k项4 用数学归纳法证明不等式1n11n212n1124(nN*)

8、的过程中，由nk递推到nk1 时，下列说法正确的是()A增加了一项12k1B增加了两项12k1和12k1C增加了 B中的两项，但又减少了一项1k1D增加了 A中的一项，但又减少了一项1k1答案C 解析当nk时，不等式左边为1k11k212k，当nk1 时，不等式左边为1k21k312k12k112k2，故选 C.5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证nk1 时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案A 解析假设当nk时，原式能被 9 整除，即k3(k1)3(k2)3能被 9 整除当nk1 时，(k1)3

9、(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可6已知数列 an 的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*)依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为 _ 答案Sn2nn1解析S11，S243，S33264，S485，猜想Sn2nn1.7已知正数数列 an(nN*)中，前n项和为Sn，且 2Snan1an，用数学归纳法证明：annn1.证明(1)当n1 时，a1S112(a11a1)，a211(an0)，a11，又101，n1 时，结论成立(2)假设nk(kN*)时，结论成立，即akkk1.当nk1 时，ak1Sk1Sk12(ak11ak

10、 1)12(ak1ak)12(ak11ak 1)12(kk11kk1)12(ak11ak 1)k.a2k12kak110，解得ak1k1k(an0)，nk1 时，结论成立由(1)(2)可知，对nN*都有annn1.二、能力提升8对于不等式n2nn1(nN*)，某学生的证明过程如下：当n1 时，12111，不等式成立假设nk(nN*)时，不等式成立，即k2kk1，则nk1时，k12k1 k23k2121n2.假设nk时，不等 式 成 立 则 当nk 1时，应 推 证 的 目 标 不 等 式 是_ 答案1221321k21k121k22121k3解析观察 不等式 中的 分母 变化知，122132

11、1k21k121k22121k3.10证明：62n 11 能被 7 整除(nN*)证明(1)当n1 时，62 117 能被 7 整除(2)假设当nk(kN*)时，62k11 能被 7 整除那么当nk1 时，62(k 1)1162k121 36(62k11)35.62k 11 能被 7 整除，35 也能被 7 整除，当nk1 时，62(k 1)11 能被 7 整除由(1)，(2)知命题成立11求证：1n11n213n56(n2，nN*)证明(1)当n2 时，左边1314151656，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时命题成立，即1k11k213k56.则当nk1 时，1k1 11k1

12、213k13k113k213k11k11k213k(13k113k213k31k1)56(13k113k213k31k1)56(313k31k1)56，所以当nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*均成立12 已知数列 an中，a123，其前n项和Sn满足anSn1Sn2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解当n2时，anSnSn 1Sn1Sn2.Sn1Sn12(n2)则有：S1a123，S21S1234，S31S2245，S41S3256，由此猜想：Snn1n2(nN*)用数学归纳法证明：(1)当n1 时，S123a1，

13、猜想成立(2)假设nk(kN*)猜想成立，即Skk1k2成立，那么nk1 时，Sk11Sk21k1k22k2k3k1 1k1 2.即nk1 时猜想成立由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立三、探究与拓展13已知递增等差数列 an满足：a11，且a1，a2，a4成等比数列(1)求数列 an的通项公式an；(2)若不等式(1 12a1)(1 12a2)(112an)m2an1对任意nN*，试猜想出实数m的最小值，并证明解(1)设数列 an公差为d(d0)，由题意可知a1a4a22，即 1(13d)(1 d)2，解得d1 或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等价于1234562n12nm2n1，当n1 时，m32；当n2 时，m358；而32358，所以猜想，m的最小值为32.下面证不等式1234562n12n322n1对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明：证明(1)当n1 时，1232312，命题成立(2)假设当nk时，不等式，1234562k12k322k1成立，当nk1 时，1234562k12k2k12k2322k12k12k2，只要证322k12k12k2 322k3，只要证2k12k212k3，只要证2k12k32k2，只要证 4k28k34k28k4，只要证 34，显然成立所以，对任意nN*，不等式1234562n12n322n1恒成立