高中物理竞赛基础：洛仑兹变换.pdf

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1、2、3 洛仑兹变换231、洛仑兹变换如图 18-1-1 所示的两个惯性系：S 系和 S系。设同一事件的两组时空坐标分别为（X,Y,Z,t）和(),tZYX。按洛仑兹变换有)()(2XcuttZZYYutXYX（13）或)()(2xcuttZZYYtuXX式（13）称为洛仑兹坐标变换公式，式中=1/221cu。请注意t是 X 和 t 的函数，t 是X和t的函数，即时间不再与空间无关。232、洛仑兹速度变换公式)1(/)1(/)(1/)(222cuvudtzdvcuvudtydvcuvuvdtxdvxzxyyyxxx或)1(/)1(/()(1/)(222cuvvdtdzvcuvvdtdyvcuvu

2、vdtdxvxxxyyyxxx（14）式（14）中=1/2)(1cu2、4、相对论时空理论241、运动时钟延缓亦称爱因斯坦延缓。我们考虑晶体振动这样一个物理过程。设晶体在S系中静止，在静止系中测得晶体的振动周期为0，若S系匀速v 相对 S 系沿 x 轴运动，若晶体相邻两次达到振幅极大值的事件在S 系中的坐标为（x1,t1）,(x2,t2),在S系中为（1 x,1t）,(2x，2t)，其中2x=1x。由洛仑兹变换可得2t-1t=）（1222122122211)()(11ttcvxxcvttcv因为2t-1t=0，令2t-1t=t,则t=2201cv这表示在S系中同地发生的两事件的时间间隔，由S

3、系观察是延长了。将同地发生的两事件换为事件发生处钟的读数，就得到两个惯性系中时钟快慢的比较。当S系中的一个钟通过S 系的两个钟（S 系认为已校准的两个钟）时，S 系的钟所记时间间隔比S系所记的大，即每一个惯性系都测得对它运动着的时钟变慢了。所有发生在运动物体上的物理过程都具有这种延缓，因此它是时空的一种基本属性，与过程的具体性质无关。这种延缓又称为时间膨胀或爱因斯坦延缓。242、运动尺度缩短设一棍静止在S系中，沿x轴放置，且S系想对于S 系以匀速v 沿 x 方向运动。在S系的观察者观察，棍后端的坐标为1x，前端的坐标为2x，棍对他没有运动，因此他测得棍长为0l=2x-1x。S 系的观察者观察到

4、在同一时刻t，棍后端的坐标为1x，前端的坐标为2x，则他测得棍长为l=2x-1x，根据洛仑兹变换1x=2211cvvtx,2x=2221cvvtx.两式相减，得2212121cvxxxx,即2201cvll.这表示物体沿其长度方向运动时，其长度缩短为静止时的221cv倍。这种现象称为洛仑兹收缩。缩短是相对的，每一惯性系都测得对它运动着的物体沿运动方向的长度要缩短。运动物体沿运动方向的长度缩短是时空的一种基本属性，不但物体的长度缩短，物体间的距离也要缩短，所以这种收缩不是物体内部结构的改变。243、相互作用的最大传播速度和因果律由同时的相对性可知，事件的先后次序与它们的空间位置和两惯性系间的运动

5、状态有关。在经典的时空理论中，时间的次序是绝对的。在相对论时空观中，是否事件的先后次序没有客观意义呢？显然不是的，如果两事件有因果关系（如农样生产中，先播种后收获，人的先生后死），则它们的先后次序应当是绝对的，不容颠倒，这是事件先后这个概念所必须反映的客观内容。相对论在什么条件下才与这个条件一致呢？设两事件的时空坐标在S 系中为(11,tx)和(22,tx)，在S系中为(11,tx)和(22,tx)，由洛仑兹变换有2212212121)()(cvxxcvtttt.如果两事件有因果关系，而且2t1t，由于它们的次序不能颠倒，必须在S系中观察时，亦有12tt。这就要求)(12212xxcvtt,即

6、21212cttxxv.因为cv，满足上式的条件是cttxx1212.对于因果事件，1212ttxx正是事件进展的速度，因此因果事件先后次序的绝对性对相对论的要求是：所有物体的运动速度、讯号传输的速度是光速c。同时的相对性在惯性系S 中异地同时发生两个事件：事件1（11,tx），事件2（22,tx），且tt12（设 y，z 不变，故事件只用x，t 表示）。在另一惯性系中看这两事件的时空坐标为1：(11,tx)与 2：(22,tx)。由洛仑兹变换关系)()(11122122212xxcvttcvtt=),(1112222xxcvcv只要12xx，则12tt。就是说在S 系中同时发生的两事件，在S

7、系看却不同时，即在某惯性系内不同地点同时发生的两事件，对具有相对运动的另一惯性系内的观察者说来，他所测得的两个事件发生的时刻是不同的，同时是相对的。2、5、相对论动力学基础251、相对论质量2020)(1/1,)(1/cvmcvmm式（18-18）中0m为物体的静止质量，v 为物体的运到速度，c 为真空中的光速。此式告诉我们在狭义相对论中物体的质量不再是一个恒量，而是一个随速度变化的物理量。当cv时，m，而当cv时，0mm。因此一个有限大小的力作用于静止质量无论如何小的物体上，其速度不可能趋近于无限大，物体的极限速度为c。252、相对论能量（1）物体的总能量202202)(1cmcvcmmcE

8、式（18-19）表明：一定的质量必定联系着一定的能量，反之一定的能量必定联系着一定的质量。这个方程就叫做爱因斯坦质能（联系）方程。既然物体的质量与能量有一定的对应关系，所以在相对论力学中质量守恒与能量守恒等价。（2）物体的静能200cmE（3）物体的相对论动能202020)1(cmcmmcEEEk（4）质能变化方程：2mcE上式告诉我们当物体的质量发生m的变化时，必同时伴随着能量的变化2mcE。253、相对论动量vmcvvmvmp020)(1/254、相对论能量、动量的关系（1）02222EcpE若以pc、0E表示一直角三角形的两条直角边，则E 必构成此直角三角形的斜边。（2）2/cEvP255、相对论的动力学的基本方程dtdmvdtvdmdtvmdF)(256、相对论的速度叠加由于时间和空间的相对性，对于物体的速度，在某一惯性系S内观测，要用S系的时间和空间坐标表示；在另一惯性系S 内观测，要用S 系的时间和空间坐标表示。这样，速度叠加公式就不再是绝对时空的速度叠加公式了。假如S和 S 两系的坐标轴相平行，S以速度v 沿 x 轴而运动，一质点以v相对S沿x轴而运动，则相对S，其速度u 为2/1cvvvvu这是相对论的速度叠加公式。如果cv，则 uc；如果cv（光速），则u=c。与相对论的时空概念相协调。