高二数学人教A版选修4-5学业分层测评10Word版含答案.pdf

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1、学业分层测评（十）(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1设 a，b，cR，且 abc1，则abc的最大值是()A1 B.3 C3 D.9【解析】由柯西不等式得(a)2(b)2(c)2(121212)(abc)2，(abc)2313，当且仅当 abc13时等号成立abc的最大值为3.故选 B.【答案】B 2设 a，b，c 是正实数，且abc9，则2a2b2c的最小值为()【导学号：32750054】A4 B3 C6 D.2【解析】(abc)2a2b2c(a)2(b)2(c)2 2a22b22c2a2ab2bc2c218.2a2b2c2.【答案】D 3设 a1，a2，an为实数，Pa21a

2、22 a2nn，Qa1a2 ann，则 P 与 Q 的大小关系为()APQBPQCPQD.不确定【解析】由柯西不等式知a1a2an，a21a22a2nna1a2an，即得a21a22a2nna1a2ann，PQ.【答案】B 4若实数 xyz1，则 F2x2y23z2的最小值为()A1B6 C11D.611【解析】(2x2y23z2)121132x12y 13z13(xyz)21，2x2y23z21116611，即 F611，当且仅当2xy3z时，取等号【答案】D 5已知 x，y，z 均大于 0，且 xyz1，则1x4y9z的最小值为()A24B30C36D48【解析】(xyz)1x4y9zx1

3、xy2yz3z236，1x4y9z36.【答案】C 二、填空题6已知 a，b，cR，且 2a2bc8，则(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是 _【解析】由柯西不等式得：(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2499，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是499.【答案】4997已知a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2的最小值为 _【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即 a24b29c212.当且

4、仅当1a12b13c，即 a2，b1，c23时取等号【答案】12 8设 x，y，zR，若(x1)2(y2)2z24，则 3xy2z的取值范围是 _又 3xy2z取最小值时，x 的值为 _【解析】(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，2 143xy2z52 14，即 52 143xy2z52 14.若 3xy2z52 14，又x13y21z2t，3(3t1)(t2)2(2t)52 14，t147，x3 1471.【答案】52 14，52 143 1471 三、解答题9已知正数x，y，z满足 xyz1.(1)求证：x2y2zy2z2xz2x2y

5、13；(2)求 4x4y4z2的最小值【解】(1)证明：x2y2zy2z2xz2x2y(y2zz2x x 2y)xy2zy2z yz2xz2x zx2y x2y1，即 3x2y2zy2z2xz2x2y1，x2y2zy2z2xz2x2y13.(2)由基本不等式，得4x4y4z2334xyz2，因为 xyz1，所以 xyz21zz2 z1223434，故 4x4y4z2334343 2，当且仅当 xy14，z12时等号成立，所以 4x4y4z2的最小值为3 2.10已知f(x)ax2bxc 的所有系数均为正数，且abc1，求证：对于任何正数x1，x2，当 x1 x21 时，必有 f(x1)f(x2

6、)1.【证明】由于 f(x)ax2bxc，且 a，b，c 大于 0，f(x1)f(x2)(ax21bx1c)(ax22bx2c)(ax1ax2bx1bx2c)2(ax1x2b x1x2c)2f(x1x2)2f(1)2.又 f(1)abc，且 abc1，f(x1)f(x2)1.能力提升 1若 2ab0，则 a42ab b的最小值为()A1 B3 C8 D.12【解析】2ab0，2ab0，a42ab b122ab b82ab b12 332ab b82ab b3.当且仅当 2abb82ab b，即 ab2时等号成立，当 ab2 时，a42ab b有最小值3.【答案】B 2设 a，b，c，x，y，z

7、是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则abcxyz()A.14B.13C.12D.34【解析】由柯西不等式得，(a2 b2 c2)(x2 y2z2)(axbycz)2400，当且仅当axbycz12时取等号，因此有abcxyz12.【答案】C 3已知 a，b，cR，且 abc6，则2a2b12c3的最大值为 _.【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：(2a2b12c3)2(12a12b112c3)2(12 1212)(2a2b12c3)3(264)48.当且仅当2a2b12c3，即 2a2b12c3 时等号成立又 abc6，a83，b136，c76时，2a2b12c3取得最大值4 3.【答案】4 3 4 ABC 的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2b2c2)1sin2A1sin2B1sin2C36R2.【证明】由三角形中的正弦定理，得sin Aa2R，所以1sin2A4R2a2，同理1sin2B4R2b2，1sin2C4R2c2，于是由柯西不等式可得左边(a2b2c2)4R2a24R2b24R2c2 a2Rab2Rbc2Rc236R2，原不等式得证