高考数学二轮复习精品资料专题07立体几何理(教师).pdf

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1、用心爱心专心1 2012 年高考数学二轮复习精品资料专题 07 立体几何（理）（教师版）【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运

2、算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只

3、要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离.【考点预测】在 2012 年高考中立体几何命题有如下特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题.用心爱心专心2【要点梳理】1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x 轴和 z 轴

4、的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:V柱Sh;锥体的体积公式:V锥13Sh;台体的体积公式:V棱台1()3h SSSS;球的体积公式:V球343r.(2)球的表面积公式:24SR球.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.5.平行与垂直关系的证明,熟练判定与性质定理.6利用空间向量解决空间角与空间距离。【考点在线】考点一三视图例 1.（2011 年高考海南卷文科第8 题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，【解析】由主视

5、图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D.【名师点睛】本题考查三视图的基础知识.【备考提示】三视图是高考的热点之一,年年必考,所以必须熟练立体几何中的有关定理是解答好本题的关键.用心爱心专心3 练习 1:（2011 年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.考点二表面积与体积例 2.(2011年高考安徽卷文科8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为()【答案】C【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面

6、等腰梯形的上底为2，下底为4，高 为4，两 底 面 积 和 为12244242，四 个 侧 面 的 面 积 为4 422 17248 17，所以几何体的表面积为488 17.故选 C.【名师点睛】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【备考提示】：表面积与体积的求解也是高考的热点之一，年年必考，大多以三视图为载体，在选择与填空题中考查，难度不大，也可能在解答题的一个问号上.用心爱心专心4 练习 2：（2011 年高考湖南卷文科4)设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A942361891229182【答案】D【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积34

7、39+33 2=18322V（）.考点三球的组合体例 3.（2011 年高考辽宁卷文科10)己知球的直径SC=4，A，B 是该球球面上的两点AB=2,45ASC,则棱锥SABC的体积为()(A)33 (B)2 33 (C)4 33 (D)5 33【答案】C 【解析】取SC的中点 D,则 D为球心，则AD=BD=DS=2。因为 ASC=BSC=45，所以 SDB=SDA=900，即 AD SC,BD SC,ABD是等边三角形，故棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABD和棱锥 C-ABD的体积和，即2134 324343.【名师点睛】本小题考查三棱锥的外接球体积的求解,关键是找出球的半径.【备考提示

8、】：球的组合体,在高考中,经常考查球与长方体、正方体、三棱锥、四棱锥、圆锥、圆柱等的组合，熟练这些几何体与其外接球的半径的关系是解决此类问题的关键.3 3 2 正视图侧视图俯视图图 1 用心爱心专心5 练习 3：（2011 年高考海南卷文科16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 .【答案】13【解析】设圆锥的底面半径为r,球半径为R,则223416rR,解得32rR,所以对应球心距为12R,故小圆锥的高为1122RRR,大圆锥的高为32R,所以之比为13.考点四空间中

9、平行与垂直关系的证明例 4.（2011 年高考山东卷文科19)如图，在四棱台1111ABCDA B C D中，1D D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，11AD=A B，BAD=60.（）证明：1AABD；（）证明：11CCA BD平面.【解析】（）证明：因为AB=2AD，所以设AD=a,则AB=2a,又 因 为BAD=60 ,所 以 在ABD中,由 余 弦 定 理 得：2222(2)22cos603BDaaaaa,所以 BD=3a,所以222ADBDAB,故 BDAD,又因为1D D平面ABCD，所以1D DBD,又因为1ADD DD,所以BD平面11ADD A,故1AA

10、BD.(2)连结 AC,设 ACBD=0,连结1AO,由底面ABCD是平行四边形得:O 是 AC的中点,由四用心爱心专心6 棱台1111ABCDA B C D知:平面ABCD 平面1111A B C D,因为这两个平面同时都和平面11ACAC相交,交线分别为AC、11AC，故11ACAC，又因为 AB=2a,BC=a,ABC=120，所以可由余弦定理计算得AC=7a，又因为A1B1=2a,B1C1=32a,111A B C=120，所以可由余弦定理计算得A1C1=72a，所以 A1C1OC且 A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以 CC1A1O，又 CC1平面 A1BD，A1O

11、平面 A1BD，所以11CCA BD平面.【名师点睛】本题以四棱台为载体,考查空间中平行与垂直关系的论证,考查空间想象能力、逻辑思维能力,分析问题与解决问题的能力.【备考提示】：熟练课本中有关平行与垂直的定理是解答好本类题的关键.练习 4.(2011 年高考江苏卷16)如图，在四棱锥ABCDP中，平面 PAD 平面 ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F 分别是 AP、AD的中点.求证：（1）直线 EF平面 PCD；（2）平面 BEF 平面 PAD.【解析】证明:（1）因为 E、F 分别是 AP、AD的中点,所以 EFPD,又因为 EF平面 PCD,PD平面 PCD,所以直线EF 平面 P

12、CD；（2）设 AB=AD=2a,则 AF=a,又因为 BAD=60，所以在ABF中,由余弦定理得：BF=3a，所以22224AFBFaAB，所以 BFAF，因为平面PAD 平面 ABCD，交线为 AD，BF平面 ABCD，所以 BF平面 PAD，因为BF平用心爱心专心7 面 BEF，所以平面BEF 平面 PAD.考点五空间角与距离的求解例 5.(2011年高考浙江卷理科20).如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为 BC的中点，PO 平面 ABC，垂足 O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：AP BC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-为直二

13、面 角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。【解析】法一：（）证明：如图，以O为原点，以射线OP为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz，则(0,0,0)O，(0,3,0)A，(4,2,0)B，(4,2,0)C，(0,0,4)P，(0,3,4)AP，(8,0,0)BC由此可得0AP BC，所以APBC，即APBC（）解：设,1PMPA，则(0,3,4)PM，BMBPPMBPPA(4,2,4)(0,3,4)(4,2 3,44)，(4,5,0)AC，(8,0,0)BC设平面BMC的法向量1111(,)nx y z，平面APC的法向量2222(,)nxyz由1200BMnBC n得1111

14、4(23)(44)080 xyzx即11102344xzy，可 取123(0,1,)44n由2200AP nAC n即2222340450yzxy得用心爱心专心8 22225434xyzy可取2(5,4,3)n，由120n n得2343044解得45，故3AM综上所述，存在点M 符合题意，3AM法二（）证明：,ABAC DBC为中点,ADBC又,POABC平面POBC因为POADO所以BC平面PAD故BCPA（）如图，在平面PAB内作,BMAPM于连结 CM,由（）知PBCA,得PA平面BMC，又PA平面PAC,所以平面BMC平面PAC,在Rt ADB中，22241ABADBD得41AB在Rt

15、 POD中，222PDPOOD，在Rt PDB中，222PBPDBD所以222236PBPOODBD得6PB，在Rt POA中，22225PAAOOP得5PA又2221cos23PAPBABBPAPA PB从而cos2PMPBBPA，所以3AMPAPM综上所述，存在点M 符合题意，3AM.用心爱心专心9【名师点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力.【备考提示】：空间角与距离是高考的一个热点，年年必考，熟练三种角及距离的求法，是解答本类题目的关键.练习 5.(2011 年高考全国卷理科16)己知点 E、F 分别在正方体ABC

16、D-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【答案】23【解析】延长CB、FE交于 M，连结 AM，过 B作 BNAM于 N，连结 EN，则ENB为平面 AEF与平面 ABC所成的二面角，AM=2AB，1223,tan2322ABEBBNABRt EBNENBBNAB在中.【易错专区】问题：三视图与表面积、体积例.（2011 年高考陕西卷文科5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）283（B）83（C）82（D）23【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、

17、高为 2，所以体积为3212123283故选 A.【名师点睛】：本小题以三视图为载体考查空间几何体的体积的求解【备考提示】：由三视图准确判断几何体的形状以及找出几何体各个边长是解答此类问题的关键所在.【考题回放】1.(2011年高考浙江卷理科4)下列命题中错误的是()（A）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面用心爱心专心10（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（C）如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面（D）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如 平面垂直 平面，垂线为 AB，直线

18、 CD属于，与 AB交与 E点，角度为60，不垂直平面，故选 D.2.(2011年高考山东卷理科11)下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是()(A)3 (B)2(C)1 (D)0【答案】A【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以.3.(2011年高考浙江卷理科3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()【解析】：A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D.4.(2011年高考辽宁卷理科8)如图，四棱锥S-ABCD的底面为

19、正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（）(A)AC SB 用心爱心专心11(B)AB 平面 SCD (C)SA 与平面 SBD所成的角等于SC与平面 SBD所成的角(D)AB 与 SC所成的角等于DC与 SA所成的角【答案】D【解析】对于A:因为 SD 平面 ABCD，所以 DS AC.因为四边形ABCD为正方形，所以ACBD，故 AC 平面 ABD,因为 SB平面 ABD,所以 AC SB，正确.对于 B：因为 AB/CD,所以 AB/平面 SCD.对于 C:设ACBDO.因为 AC 平面 ABD，所以 SA和 SC在平面 SBD内的射影为 SO，则 ASO和 CSO就是 S

20、A与平面 SBD所成的角和SC与平面 SBD所成的角，二者相等，正确.故选 D.5(2011 年高考江西卷理科8)已知1，2，3是三个相互平行的平面平面1，2之间的距离为1d，平面2，3之间的距离为2d直线l与1，2，3分别相交于1P，2P，3P，那么“12PP=23P P”是“12dd”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】过点1P作平面2的垂线 g,交平面2，3分别于点A、B 两点,由两个平面平行的性质可知2P A3P B,所以121122PPdPPd,故选 C.6.(2011年高考重庆卷理科9)高为24的四棱锥S-ABCD

21、的底面是边长为1 的正方形，点 S、A、B、C、D均在半径为1 的同一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点S之间的距离为()（A）24（B）22（C）1 （D）2【答案】C【解析】设底面中心为G，球心为O，则易得22AG，于是22OG，用一个与ABCD用心爱心专心12 所在平面距离等于24的平面去截球，S 便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则222244OH，故22227148SH，故22272184SGSHHG7(2011 年高考四川卷理科3)1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()(A)12ll，23ll13ll（B）12ll，23ll13ll(C)233lll1

22、l，2l，3l共面（D）1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面【答案】B【解析】若1223,llll则13,ll有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然123/lll，或123,l ll共点，但是123,lll可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.8.(2011年高考全国卷理科6)已知直二面角l，点,AACl C为垂足，,BBDl D为垂足，若2,1,ABACBD则D到平面ABC的距离等于()（A）23（B）33（C）63（D）1【答案】C【解析】如图，作DEBC于E，由l为直二面角，ACl，得AC平面，进而ACDE,又BCDE,BCACC,于是DE平面ABC。故DE为D到平

23、面ABC的距离。在Rt BCD中，利用等面积法得126.33BDDCDEBC用心爱心专心13 15.(2011年高考全 国卷理科 11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成060，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆 M的面积为4，则圆 N的面积为()(A)7 (B)9 (c)11 (D)13【答案】D【解 析】：由 圆M的 面 积 为4得2MA，2224212OM2 3OM，在030Rt ONMOMN中,213,3132ONOM2r=413NS圆故选 D.16.(2011年高考全国新课标卷理科15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4 的球O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥

24、OABCD的体积为。【答案】38【解析】如图，连接矩形对角线的交点1O和球心O,则，3221,341ACAOAC,四棱锥的高为2)32(4221OO,所以，体积为38232631V17.(2011年高考全国新课标卷理科18)(本小题满分12 分)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD 为平行四边形，DAB=60 ,AB=2AD,PD 底面 ABCD.()证明：PA BD；()若 PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值。【解析】(1)证明：在三角形ABD中，因为ADABBAD2,60该三角形为直角三角形，所以DADPDBDPDPADPDADBD且平面,PABDPADPDPADBD平面平面,

25、a2aaxBDCApyz用心爱心专心14（2）建立如图的坐标系，设点的坐标分别是),0,0(),0,3,(),0,3,0(),0,0,(aPaaCaBaA则),0,(),0,0,(),0,3,(aaAPaBCaaAB，设平面 PAB的法向量为),(zyxn，所以，?00APnABn取得)3,3,3(n，同理设平面PBC的法向量为m，?00BCmPCm取得)3,1,0(m，于是，772,cos?nmnmnm，因此二面角的余弦值是772.18(2011年高考湖南卷理科19)如图5，在圆锥PO中，已知PO=2，O 的直径2AB,C是AB的中点，D为AC的中点（）证明：平面POD平面PAC;（）求二面

26、角BPAC的余弦值.【解法一】连结OC，因为,OAOC DAC是的中点,所以 ACOD.又PO底面 O，AC底面 O，所以ACPO，因为 OD，PO是平面 POD 内的两条相交直线，所以AC平面 POD，而AC平面 PAC，所以平面POD 平面 PAC。（II）在平面POD 中，过 O作OHPD于 H，由（I）知，平面,PODPAC平面所以OH平面 PAC，又PA面 PAC，所以.PAOH在平面 PAO中，过 O作OGPA于 G，连接 HG，则有PA平面 OGH，从而PAHG，故OGH为二面角B PA C的平面角。在2,sin45.2Rt ODAODOA中用心爱心专心15 在2222102,.

27、5122PO ODRt PODOHPOOD中在222 16,.321PO OARt POAOGPOOA中在10155,sin.563OHRt OHGOGHOG中所 以21510cos1sin1.255OGHOGH故二面角 BPA C的余弦值为10.5【解法二】（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)OABCP，1 1(,0)2 2D设1111(,)nx yz是 平 面POD 的 一 个 法 向 量，则 由110,0n ODn OP，得111110,22

28、20.xyz所以111110,1,(1,1,0).zxyyn取得设2222(,)nxyz是平面PAC 的一个法向量，则由220,0nPAnPC，得222220,20.xzyz所以222222,2.1,xzyz 取z得2(2,2,1)n。因为12(1,1,0)(2,2,1)0,nn所以12.nn从而平面POD平面 PAC。（II）因为 y 轴平面 PAB，所以平面PAB的一个法向量为3(0,1,0).n用心爱心专心16 由（I）知，平面PAC的一个法向量为2(2,2,1)n,设向量23nn和的夹角为，则2323210cos.|55nnnn由图可知，二面角B PA C的平面角与相等，所以二面角BP

29、A C的余弦值为10.5【高考冲策演练】一、选择题：1（2009 年高考广东卷A文科第 6 题）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A和 B和 C和 D和【答案】D【解析】错,正确,错,正确.故选 D 2（2009 年 高 考 湖 南 卷 文 科 第6 题）平 面 六 面 体1111ABCDA B C D中，既与AB共面也与1CC共面的棱的条数为（）A3 B4

30、C5 D6 【答案】C【解析】如图，用列举法知合要求的棱为：BC、CD、11C D、1BB、1AA，故选 C.3.(山东省青岛市2011 年 3 月高考第一次模拟)已知直线l、m，平面、，且l，m，则/是lm的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件用心爱心专心17【答案】B 4(山东省济宁市2011 年 3 月高三第一次模拟)已知a、b为直线，、为平面在下列四个命题中，若a，b，则ab；若 a，b，则ab；若a，a，则；若 b，b，则 正确命题的个数是（）A 1 B 3 C 2 D 0【答案】C【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平

31、面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假，选C5.（山东省泰安市2012 届高三上学期期末文科）设l、m、n 为不同的直线，、为不同的平面，有如下四个命题：()若/,l，l则若l，l则,若nlnmml/,则若nmnm则且/,A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B 6.（山东省济南一中2012 届高三上学期期末文科）已知正三棱锥VABC的主视图、俯视图如下图所示，其中VA=4，AC=32,则该三棱锥的左视图的面积()A9 B 6 C 33 D39【答案】B 7(山东省烟台市2012 届高三上学期期末文科)已知空间两条不同的直线nm,和两个不同的平面,，则下

32、列命题中正确的是()A若/,/mnmn则 B 若,m mnn则C若/,/,/mnmn则 D 若/,/mmnmn则【答案】D 8(2010 年高考全国2 卷理数 9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA，那么当该棱锥用心爱心专心18 的体积最大时，它的高为()（A）1 （B）3（C）2 （D）3 9(2010 年高考全国2 卷理数 11）与正方体1111ABCDA B C D的三条棱AB、1CC、11A D所在直线的距离相等的点()（A）有且只有1 个（B）有且只有2 个（C）有且只有3 个（D）有无数个10.(2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平

33、行于另一条直线的平面内的轨迹是（）（A）直线（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线【答案】D【解析】排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 11.(2010 年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在用心爱心专心19 一个球面上，则该球的表面积为（）(A)2a(B)273a(C)2113a(D)25 a【答案】B 【解析】如图，P为 三棱柱底面中心，O为球心，易知2331,3232APaa OPa，所以球的半径R满足：2222317()()3212Raaa，故22743SRa球12（2010 年高考广东卷理科6）如图1，ABC 为三角形，

34、AA/BB/CC,CC二填空题：13(2011年高考上海卷理科7)若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为。【答案】33；14（2009 年高考江苏卷第12 题）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）.【答案】(1)(2)15.(山东省济南市2011 年 2 月高三教学质量调研文科)已知右上图是一个空间几何体的三视图，则

35、该几何体的外接球的表面积为 .用心爱心专心20【答案】816.（2011 年高考全国卷文科15)已知正方体1111ABCDA B C D中，E 为11C D的中点，则异面直线AE与 BC所成的角的余弦值为 .【答案】23【解析】取11A B的中点F，AEF为所求角，设棱长为2，则3,5,2AEAFEF，2222cos.23AEEFAFAEFAEEF三解答题：17(2011 年高考山东卷理科19)在如图所示的几何 体 中，四 边 形ABCD 为 平 行 四 边 形，ACB=90，平面，EF，.=.（)若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)连结 AF,因为 EF，EF=

36、F,所以平面EFG 平面ABCD,又易证EFGABC,所以12FGEFBCAB,即12FGBC,即12FGAD,又 M为 AD 的中点,所以12AMAD,又因为D，所以 M,所以四边形AMGF 是平行四边形,故 GM FA,又因为平面,FA平面,所以平面.（）取AB 的中点O,连结 CO,因为,所以 COAB,又因为平面，CO平面,所以CO,用心爱心专心21 又 AB=A,所以 CO 平面,在平面ABEF内,过点 O作 OH BF于 H,连结 CH,由三垂线定理知:CH BF,所以CHO为二面角-的平面角.设=2a,因为ACB=90，=2a,CO=a,22AEa,连结FO,容易证得FO EA

37、且22FOa,所以62BFa,所以OH=2226a=33a,所以在Rt COH中,tan CHO=COOH3,故CHO=60,所以二面角-的大小为60.18.(2011年高考辽宁卷理科18)如图，四边形ABCD为正方形，PD 平面ABCD，PD QA，QA=AB=12PD.（I）证明：平面PQC 平面 DCQ;（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.【解析】（I）方法一：由条件知，PDAQ是直角梯形，因为 AQ 平面 ABCD,所以平面PDAQ 平面 ABCD,交线是 AD.又四边形ABCD 是正方形，DC AD,所以 DC 平面 PDAQ，可得 PQ DC.在直角梯形PDAQ 中可得 DQ=P

38、Q=22PD，则 PQ QD.所以 PQ 平面 DCQ.因为 PQ平面 PQC,所以平面PQC 平面 DCQ.方法二：如图，以 D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线 DA为 x 轴的正半轴建立空间之间坐标系D-xyz.用心爱心专心22 依题意由Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0).则DQ(1,1,0)，DC(0,0,1)，PQ(1,-1,0).所以0PQ DQ，0PQ DC，即PQDQ，PQDC.故PQ平面 DCQ，又PQ平面 PQC，所以平面PQC平面 DCQ.（II）依题意得B(1,0,1)，(1,1,0),(1,2,1)CBBP,设 n=(x,y,z)是平面 PBC的

39、法向量，则0,0.n CBn BP即0,20.xxyz因此，取n=(0,-1,-2).设 m是平面 PBQ的法向量，则0,0.m BPm PQ可取 m=(1,1,1),所以15cos,5m n，故二面角Q-BP-C的余弦值为155.19.(2011 年高考安徽卷理科17)如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，1,2,OAODOAB,OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）证明直线BCEF；（II）求棱锥 F-OBED的体积。【解 析】（1）【证 法 一】：AOBODE/OBDE同理可证/OCDF用心爱心专心23/OBCDEF面面，/BCDEF面EFDE

40、FBEFC面面/BCEF【证法二】：设 G是线段 DA与 EB延长线的交点，AOBODEOBDEOGOD同理设G是线段 DA与 FC延长线的交点，有OGOD，又 G与G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合。又OBDE和OCDF,可知B 和 C 分别是线段GE 和GF 的中点，/BCEF【证法三】：（向量法）略（2）【解析】：由 OB=1，OE=2，EOB,得sinEOBS，而OED是边长为2 的正三角形，故，所以OBEDOBEOEDSSS过点 F 作 FQ DG，交 DG于 Q点，由于平面ABED 平面 ACFD，所以 FQ 平面 ABED 所以 FQ就是棱锥F-OBED的高，且FQ,所以F

41、OBEDOBEDVSFQ.20.(2011 年高考天津卷理科17)如图，在三棱柱111ABCA B C中，H是正方形11AA B B的中心，12 2AA，1C H平面11AA B B，且15.C H（）求异面直线AC与 A1B1所成角的余弦值；（）求二面角111AACB的正弦值；（）设N为棱11B C的中点，点M在平面11AA B B内，且用心爱心专心24 MN平面11A B C，求线段BM的长【解 析】如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，点B为 坐 标 原 点.依 题 意 得A(2 2,0,0),B(0,0,0),C(2,2,5),1(22,22,0)A,1(0,22,0)B

42、,1(2,2,5)C).（）易得(2,2,5)AC,11(2 2,0,0)A B,于是11111142cos,3|32 2AC ABAC A BACAB,所以异面直线AC与 A1B1所成角的余弦值为23.（）易 知1(0,22,0)AA,11(2,2,5)AC.设 平 面11AAC的 法 向 量(,)mx y z,则11100m ACm AA,即22502 20 xyzy,不妨令5,x可得(5,0,2)m,同样地,设平面111A B C的法向量(,)nx y z,则111100n ACn A B,即22502 20 xyzx,不妨令5,y可得(0,5,2)n,于是22cos,7|7 7m nm

43、 nmn,从而3 5sin,7m n,所以二面角111AACB的正弦值为3 57.（）由N为棱11B C的中点,得2 3 25(,)222N,设(,0)M a b,则23 25(,)222MNab,由MN平面111A B C,得111100MNACMNA B,即用心爱心专心25 23 25()(2)()(2)502322()(2 2)02aba,解得2224ab,故22(,0)24M,因此22(,0)24BM,所 以 线 段BM的 长 为10|4BM.21.(辽宁省沈阳市2011 年高三第二次模拟理科)如图 4，三棱柱111ABCAB C 中，侧面11AAC C底面ABC，112,AAACAC

44、ABBC，且ABBC,O为 AC中点（）在1BC 上确定一点E，使得/OE平面1A AB，并说明理由；（）求二面角11AA BC的大小【解析】（）E为1BC 中点 2 分证法一：取BC中点F，连接EFOF,3 分所以可得1/,/BBEFABOF，所以面/OEF面1A AB 5 分所以/OE平面1A AB 6 分证法二：因为11A AAC，且为 AC的中点，所以1AOAC 又由题意可知，平面11AAC C平面 ABC，交线为AC，用心爱心专心26 且1AO平面11AAC C，所以1AO平面 ABC 以为原点，1,OB OC OA 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系1 分由题意可知，11

45、2,A AACAC又,ABBC ABBC1,1,2OBAC所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,1,0),(0,2,3),(1,0,0)OAACCB则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0)ACAAAB 2 分设平面1AA B 的一个法向量为(,)x y zn，则有103000AAyzxyABnn，令1y，得31,3xz所以3(1,1,)3n 4 分设0001(,),ExyzBEBC即000(1,)(1,2,3)xyz，得000123xyz所以(1,2,3),E得(1,2,3),OE由已知/OE平面1A AB，得=0OE n，即120,得12即存在这样

46、的点E，E为1BC 的中点 6 分（）由法二，已知)0,2,0(),3,0,1(111CABA，设面11BCA的法向量为用心爱心专心27),(cbam，则00111CAmBAm0203bca，令3c，所以)3,0,3(m 8 分所以cosm,nmmnm37121377210 分由图可得二面角11AA BC的大小为2 7arccos()712 分22.(山东省青岛市2011 年 3 月高考第一次模拟理科)如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，90BADADC，12ABADCDa，2PDa.()若M为PA中点，求证：/AC平面MDE；()求平面PAD与PBC所成锐二面角的

47、余弦值.【解析】()证明:连结PC,交DE与N,连结MN，PAC中，,M N分别为两腰,PA PC的中点/MNAC 2 分因为MN面MDE,又AC面MDE，所以/AC平面MDE 4 分()设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为，以D为空间坐标系的原点，分别以,DA DC DP所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，则n m m m m m mn mnABCEPDM用心爱心专心28(0,0,2),(,0),(0,2,0)Pa B a aCa(,2),(,0)PBa aaBCa a 6 分设平面PAD的单位法向量为1n，则可设1(0,1,0)n 7 分设面PBC的法向量2(,1)nx y，应有22(,1)(,2)0(,1)(,0)0nPBx ya aanBCx ya a即：200axayaaxay，解得：2222xy，所以222(,1)22n 10 分1212212cos2|12nnnn 11 分所以平面PAD与PBC所成锐二面角的余弦值为12 12 分