高考理科数学一轮复习专题训练：平面向量(含详细答案解析).pdf

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1、1 第 6 单元平面向量（基础篇）第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量(2,)ma，(3,1)b，若ab，则实数m的值为（）A14B13C23D12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)ma，(3,1)b，因为ab，则231m，即32m，解得23m故选 C2已知向量(2,1)a，(,1)mb，且()aab，则m的值为（）A1 B 3 C1 或 3 D 4【答案】B【解析】因为(2,1)a，(,1)mb，所以(2,2)mab，因为()aab，则()2(2)20maab，解得3m，所以答案选B3已知向量a，b满足|1a，(1

2、,3)b，a与b的夹角为23，则2ab为（）A21 B21C13D174 3【答案】B【解析】22|1(3)2Q b=+=，21|cos1 2132a bab骣琪?=创-=-琪桫，22222|2|(2)4414(1)4221ababaa bb-=-=-?=-?+?，故选 B4已知向量a，b满足|1a，ab，则向量2ab在向量a方向上的投影为（）A0 B 1 C2 D1【答案】B 2【解析】根据向量的投影公式可知，向量2ab在向量a方向上的投影为2(2)()1|abaaaa，故选 B5设a，b是非零向量，则“存在实数，使得ab”是“abab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条

3、件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数，使得ab，说明向量a，b共线，当a，b同向时，abab成立，当a，b反向时，abab不成立，所以充分性不成立当abab成立时，有a，b同向，存在实数，使得ab成立，必要性成立，即“存在实数，使得ab”是“abab”的必要而不充分条件故选 B6已知非零向量a，b，若(3)0aab，2ab，则向量a和b夹角的余弦值为（）A23B23C32D32【答案】B【解析】设向量a与向量b的夹角为，|2|Q ab，由(3)0aab，可得2222()33cos46cos0aa baabbb，化简即可得到2cos3，故答案选B7如图所示，在正方形ABCD中，E为

4、AB的中点，F为CE的中点，则AFuuu r（）A3144ABADuu u ruuu rB1344ABADuuu ru uu rC12ABADuu u ruu u rD3142ABADu uu ruuu r【答案】D 3【解析】根据题意得1()2AFACAEuuu ruuu ru uu r，又ACABADuuu ruuu ruuu r，12AEABuu u ruuu r，所以1131()2242AFABADABABADuuu ruuu ruu u ruu u ru uu ru uu r，故选 D8设D为所在平面内一点，1433ADABACuu u ruuu ruuu r，若，则（）A2 B 3

5、 CD【答案】D【解析】因为D为所在平面内一点，由1433ADABACuu u ruuu ruuu r，可得34ADABACuu u ru uu ruuu r，即44ADACADABuuu ruuu ruu u ruuu r，则4CDBDuuu ru uu r，即4BDDCuuu ru uu r，可得3BDDCDCuuu ruuu ru uu r，故3BCDCuu u ruuu r，则，故选 D9在四边形中，2ABuuu rab，43BCuuu rab，55CDu uu rab，那么四边形的形状是（）A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对【答案】C【解析】86ADABBCCDuuu ruu u

6、ruu u ruuu rab，2ADBCuu u ruuu r，ADBC，ABCD，四边形是梯形，答案选C10在中，为的重心，为上一点，且满足3MCAMu uu u ruuuu r，则（）A11312GMABACuu uu ruuu ruu u rB11312GMABACuu uu ru uu ruuu rC17312GMABACuu uu ruuu ruu u rD17312GMABACuu uu ruuu ruu u r【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：4 根据向量加法运算可得GMGAAMuu uu ruuu ruuu u r，因为G为ABC的重心，M满足3MCAMuu u

7、 u ruuu u r，所以211323AGABACABACuuu ruu u ruu u ru uu ru uu r，14AMACuu uu ru uu r，所以11111334312GMABACACABACuuuu ru uu ruuu ruu u ru uu ru uu r，所以选B11 如图所示，设 为所在平面内的一点，并且1142APABACuuu ru uu ru uu r，则与的面积之比等于（）A25B35C34D14【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以1CPmCAnCD mnuuu ru uu ruuu r，设CDkCBuuu ru uu r，代

8、入可得CPmCAnkCBuu u ruu u ru uu r，即1APACmACnk ABACAPmnkACnkABuuu ruuu ruuu ruu u ru uu ruuu ruuu ru uu v，又因为1142APABACuuu ruuu ruuu r，即14nk，112mnk，且，解得1344mn，所以1344CPCACDuu u ruu u ru uu r，可得4ADPDuuu ruuu r，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DPuu u r与ADu uu r之比，5 所以与的面积之比为14故选 D12已知向量a，b满足4a，b在a上投影为，则3ab的最小值为（）ABCD【答案

9、】B【解析】b在a上投影为，即cos,2ba b，0Q b，cos,0a b，又cos,1,0a b，min2b，2222223696cos,9964abaa bbaa ba bbb，min39 46410ab，本题正确选项B第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13若向量(1,2)xa和向量(1,2)b垂直，则ab_【答案】5【解析】Q向量1,2xa和向量1,2b垂直，140 xa b，解得3x，3,4ab，9165ab，本题正确结果514已知向量2,3a，(,6)mb，若ab，则m_【答案】9【解析】因为ab，所以(2,3)(,6)2180mma b，解得m=9，故填 915已知向

10、量(1,3)a，向量b为单位向量，且1a b，则2ba与2b夹角为 _【答案】60【解析】很明显1 32a，6 设向量,a b的夹角为，则2 1 cos1a b，1cos2，3，据此有22224242babba b，且2244224baba，22b，向量2ba与2b的夹角为，则21cos222，60，综上可得：2ba与2b夹角为6016在直角坐标系xOy中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)ABC，若点P满足PAPBPC0uu u ruu u ruu u r，则OPuuu r_【答案】12xx【解析】因为PAPBPC0uu u ruuu ruu u r，所以P为ABC的重心，故P的坐标为

11、123 123,33，即2,2，故2 2OPuu u r填12xx三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知向量(1,2)a，(3,4)b（1）求3ab的值；（2）若()aab，求的值【答案】（1）32 10ab；（2）1【解析】（1）因为向量(1,2)a，(3,4)b，则3(6,2)ab，则223622 10ab（2）因为向量(1,2)a，(3,4)b，则(1 3,24)ab，若aab，则()1(1 3)2(24)550aab，解得17 18（12 分）如图，在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，13BNBCuu u ruu u

12、r，设ABuuu ra，ADuuu rb（1）用向量,a b表示向量AMu uu u r，ANuuu r，MNuuu u r；（2）若2a，3b，a与b的夹角为3，求AMMNuu uu r uuuu r的值【答案】（1）见解析；（2）92【解析】（1）因为在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，13BNBCuu u ruu u r，又ABuuu ra，ADuu u rb，故1122AMADDMADABu uu u ruu u ruu uu ruuu ruuu rab，1133ANABBNABADu uu ruuu ruuu ru uu ruuu rab，11123223MNANAMu uu u

13、 ruu u ruu uu rabaabb（2）2211212192234362AMMNuu uu r uu uu rabaa babb，故答案为9219（12 分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，3 4,5 5B8（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQOAOPuuu ruu u ruuu r若，62，表示OQuu u r，并求OQuu u r的最大值【答案】（1）15；（2）【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，3 4,5 5B可得4sin5，3cos5，341cossin555（2）因为，所以1cos2,sin 2OQOAOPuu u ruuu ruu u r，

14、所以221cos2sin 222cos 22 cosOQuu u r，因为62，所以2 cos0,3OQuuu r，OQu uu r的最大值20（12 分）设向量11,cos22,14sin1sin,12，abcd，其中40,（1）求a bc d的取值范围；（2）若函数，比较f a b与f c d的大小【答案】（1）；（2）ffa bc d【解析】（1）2cos2a b，22sin12cos2c d，9 2cos2a bc d，04，022，0,2的取值范围是a bc d（2）22cos211cos22cosfa b，22cos211cos22sinfc d，222 cossin2cos2ff

15、a bc d，04，022，ffa bc d21（12 分）在中，三内角的对边分别为，已知向量2sin,cos2xxm，3cos,1xn，函数fxm n且（1）求角的值；（2）若2 3BABCuuruuu u r且成等差数列，求【答案】（1）3B；（2）2【解析】（1）2 3sin coscos23sin2cos2fxxxxxxm n，整理得2sin26fxx，12sin21si62n 26BB，3B（2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由2 3BABCuuruuu u r，得，三个等式联立解得22（12 分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记ABu uu ra，ADu uu rb

16、，试以,a b为平面向量的一组基底利用向量的有关知识解决下列问题10（1）用,a b来表示向量DEuu u r，BFuuu r；（2）若，且3BFuuu r，求【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）在中，2DFFCuu u ruuu r，111222DEDCCEABCBABADuuu ruuu ruuu ruu u ruu u ruu u ruuu vab，111333BFBCCFADCDADABu uu ruuu ru uu ruuu ruuu ruuu ru uu rba（2）由（1）可知：13BFADABuuu ruu u ruu u r，12DEABADuuu ruu u ruuu

17、 r，2222121339BFADABADAD ABABuuu ruu u ru uu ruu u ruuu r uuu ruuu r，且，222213223 cos339BAD，1cos2BAD，22221124DEABADABAB ADADuuu ruuu ruu u ruu u ru uu r u uu ru uu r2211332 cos2961742BAD，7DEuuu r11 第 6 单元平面向量第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设向量(1,2)a，(2,1)xb，若ab，则x（）A12B14C4 D 2【答案】B

18、【解析】因为向量(1,2)a，(2,1)xb，若ab，则1(1)220 x，解得14x，故选 B2已知向量(5,)ma，(2,2)b，若()abb，则m（）A1B 1 C2 D2【答案】B【解析】因为(5,)ma，(2,2)b，所以(3,2)mab，又()abb，所以()0abb，即322(2)0m，解得1m故选 B3平面向量a与b的夹角为60，|2|1ab，则|2|ab（）A3B 12 C4 D2 3【答案】D【解析】由题意可得222|2|(2)44abababa b2222144cos6024 142 12 32aba b，故选 D4设非零向量a，b满足abab，则（）AabBabCabD

19、ab【答案】A 12【解析】由题意知：22abab，即222222aa bbaa bb，整理得0a b，ab，本题正确选项A5已知6a，3b，12a b，则向量a在b方向上的投影为（）A4B4C2D2【答案】B【解析】由题意得：122cos,633a ba bab，向量a在b方向上的投影为2cos,643aa b，本题正确选项B6向量(2,)ta，(1,3)b，若a，b的夹角为钝角，则t的范围是（）A23tB23tC23t且6tD6t【答案】C【解析】若a，b的夹角为钝角，则0a b且不反向共线，230ta b，得23t向量(2,)ta，(1,3)b共线时，23t，得6t此时2ab所以23t且

20、6t故选 C7如图，边长为2 的正方形ABCD中，点E是线段BD上靠近D的三等分点，F是线段BD的中点，则AF CEu uu r uuu r（）A4B3C6D2【答案】D【解析】因为1122AFADABuu u ruuu ruuu r，11213333CECDDEABADABABADu uu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruu u ruuu r，13 所以221121111()()422233632AF CEADABABADADABuuu r uu u ruuu ruu u ruuu ruuu ru uu ruu u r故选 D8已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，

21、满足PAPC0uu u ru uu r，2QABQuu u ruuu r，则的面积为（）A13B12C23D 1【答案】C【解析】由题意PAPC0u uu ruuu r可知，P为AC的中点，2QABQuu u ruuu r，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为1sin22ABCSAB ACA，所以11122sinsin22233APQSAP AQAABACA故选 B9已知中，为的重心，则AG GCuuu r u uu r（）A6718B6718C269D269【答案】A【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得2221cos24ABBCACBAB BC，且13AGACABuuu ruuu

22、 ruu u r，13GCACBCuuu ruuu ru uu r，所以19AG GCACABACBCuuu r uu u ruu u ruu u ruuu ruuu r14 2221199ACAC ABAC BCAB BCACACAB BCuu u ruuu r uuu ruuu r u uu ru uu r uuu ruu u ruuu ruuu r uuu r221674432cos918B10已知向量cos2,sina，其中，则a的最小值为（）A1 B 2 CD 3【答案】A【解析】因为cos2,sina，所以22cos2sin14cos454cosa，因为，所以，故a的最小值为故选

23、A11 已知平面向量OAuu u r，OBuuu r满足1OAOBuuu ru uu r，0OA OBu uu r uuu r，且12ODDAuu u ruuu r，为的外心，则ED OBuu u r uuu r（）A12B16C16D12【答案】A【解析】0OA OBOAOBuu u r uu u ruu u ruu u r，又1OAOBuuu ruu u r，OAB为等腰直角三角形，为的外心，为中点，1222OEABu uu ru uu r且，12ODDAQuuu ruuu r，13ODOAuuu ruu u r，1221cos3222ED OBODOEOBOA OBOE OBOE OBB

24、OEuu u ru uu ruuu ruuu ru uu ru uu ruuu ruuu ruuuuuu rruuu r本题正确选项A12在中，2BA BCBAuu u r uu u ruu u r，点是所在平面内的一点，则当222PAPBPCuu u ruu u ru uu r取得最小值时，AP BCuuu ru uu r（）15 A35BCD25【答案】B【解析】2|cos|BA BCBA BCBBAuu u r uu u ruu u ruu u ru u u rQ，cosBCBBAu uu ruu u r，CAABu uu ru uu r，2CAB，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标

25、系，则，设，则22222222263PAPBPCxyxyxyuu u ruu u ru uu r，所以当x=2，y=1 时222PAPBPCuu u ru uu ruu u r取最小值，此时2,16,39AP BCuuu r uuu r故选 B第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13已知向量2a，1b，且a与b的夹角为45，则a在b方向上的投影为_【答案】2【解析】由向量数量积的几何意义可得，a在b方向上的投影为cos,2cos452aa b，故答案为214已知两个单位向量a，b，满足3abb，则a与b的夹角为 _【答案】2316【解析】由题意知：1ab，3ab，222222cos,

26、3abaa bba b，1cos,2a b，2,3a b，本题正确结果2315如图，在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在直线CD上，若2AB AFuuu r uu u r，则AE BFuuu r uuu r_【答案】2【解析】在矩形ABCD中，2AB，2BC，可以以ABuuu r，ADuuu r的方向为,x y轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0)A，(2,0)B，(2,2)C，(0,2)D，点E为BC的中点，故(2,1)E，设(,2)F x，2,(2,0)(,2)21AB AFxxuu u r uuu r，(1,2)F，(2,1)(12,2)2(12)+12

27、=2AE BFu uu r uu u r16在平行四边形ABCD中，已知1AB，2AD，60BAD，若CEEDuuu ruu u r，2DFFBu uu ruu u r，则AE AFu uu r uuu r_【答案】5217【解析】由题意，如图所示，设ABuuu ra，ADuu u rb，则1a，2b，又由CEEDuuu ru uu r，2DFFBuu u ruuu r，所以E为CD的中点，F为BD的三等分点，则12AEuuu rba，221()333AFu uu rbabab，所以22121151233363AE AFuuu r uu u rababaa bb22151511 2cos602

28、3632三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）设,t kR，已知(1,2)a，(2,1)b，(2)tmab，ktnab（1）若1t，且mn，求k的值；（2）若5m n，求证：2k【答案】（1）13k；（2）见证明【解析】（1）当12yxt时，3(5,5)mab，(2,21)kkknab，mn，5(2)5(21)kk，解得13k（2）(2)()tktm nabab22(2)(2)ktk tt taa ba bb55(2)kt t，5m n，55(2)5kt t，2221(1)22kttt18（12 分）如图，已知正三角形的边长为1，设A

29、Buuu ra，ACu uu rb18（1）若是的中点，用,a b分别表示向量CBuuu r，CDuuu r；（2）求2ab；（3）求2ab与32ab的夹角【答案】（1）CBuu u rab，12CDu uu rab；（2）；（3）120【解析】（1）CBABACuu u ruu u ruu u rab，1122CDADACABACu uu ruuu ru uu ruuu ruuu rab（2）由题意知，1ab，且,60a b，则2222224444cos,4217abaa bbaa ba bb，所以2=7ab（3）与（2）解法相同，可得32=7ab，设2ab与32ab的夹角为，则227232

30、6212cos232232277ababaa bbabababab，因为，所以2ab与32ab的夹角为12019（12 分）设是单位圆和 轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，4AOP，20,x19（1）当6x时，求OP OQuuu ru uu r的值；（2）设函数sin2fxOP OQxuu u r uuu r，求的值域【答案】（1）624；（2）2,22【解析】（1）由题意得：62cos,coscoscossinsin464 6464OP OQuuu r u uu r，62cos,4OP OQOPOQOP OQuuu r uuu ru uu ruu u ru uu r uu u r（2）

31、22sin2cossin2cossin2sin cos422fxOP OQxxxxxxxuuu r u uu r，设sincos2sin4txxx，则，又20,x，则3,444x，1,2t，2212fttt，当时，min212ftf；当时，的值域为2,2220（12 分）已知向量cos,sin22xxa，33cos,sin22xxb，且,2x（1）求a b以及ab的取值范围；20（2）记函数2fxa bab，若的最小值为32，求实数的值【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）易得33coscossinsincos22222xxxxxa b因为222233|coscossinsin22co

32、s 24cos2222xxxxxxab，又,2x，所以，所以2cos0,2xab（2）依题意，得22cos24 cos2cos4 cos1fxxxxxa bab令，由（1）知，则有当，即时，有min312412g tg，解得58，此与矛盾；当，即时，有2min3212g tg，解得12（12舍）；当，即，有，此与题设不符综上所述，所求实数1221（12 分）已知平面向量2sin 2,26xm，21,sin xn，fxm n，其中20,x（1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，的对边长分别为，若12Bf，求的值21【答案】（1）增区间为,32；（2）的值为或【解析】（1）22sin 22sin

33、6fxxxm n2sin2 coscos2 sin1cos266xxx13cos2sin21cos 21223xxx，由2 22 ,3kxkkZ，得2,36kxkkZ，又20,x，函数的增区间为,32（2）由12Bf，得cos03B，又因为，所以4333B，从而23B，即6B因为，所以由正弦定理sinsinbcBC，得sin3sin2cBCb，故3C或23，当3C时，2A，从而；当23C时，6A，又6B，从而，综上的值为或 22（12 分）如图，在四边形中，2CDBOuu u ruu u r，2OAADuu u ruuu r，且1BOADuuu ruuu r22（1）用,OA OBu uu r

34、 uuu r表示CBuu u r；（2）点在线段上，且，求的值【答案】（1）32CBOAOBuu u ruuu ruuu r；（2）2 5cos5PCB【解析】（1）因为2OAADu uu ruuu r，所以32DOAOuuu ru uu r因为2CDBOuuu ruuu r，所以33=+222CB CDDO OBBOAOOBOAOBuu u ruuu r uuu r uuu ru uu ruu u ruu u ruu u ruuu r（2）因为2CDBOu uu ru uu r，所以OBCD因为2OAADuuu ruuu r，所以点共线因为，所以以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系因为1BOADuuu ruuu r，2CDBOuu u ruuu r，2OAADuu u ruuu r，所以，所以1,2ACuuu r，2,1ABuuu r因为点在线段上，且，所以12 1,33 3APABuuu ruuu r，所以55,33CPAPACuuu ruuu ru uu r因为3,1CBuu u r，所以552 53cos552103CP CBPCBCPCBuuu r u uu ruu u ruuu r