2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(立体几何).pdf

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1、第 1页（共 43页）2005 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何）一、选择题：1、(2005 春招北京文)下列命题中，正确的是（C）A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行2、(2005 春招北京理)有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直。其中正确命题的个数为（C）A0B1C2D33.(2005 春招上海)已知直线nml、及平面，下列命题中的假命题是（A）若/lm，/mn，则/ln.

2、（B）若l，/n，则ln.（C）若lm，/mn，则ln.（D）若/l，/n，则/ln.答()4.(2005 北京文、理)在正四面体PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（A）BC/平面 PDF（B）DF平面 PA E（C）平面 PDF平面 ABC（D）平面 PAE平面ABC【答案】C【详解】如图所示：DFBC 可得 A 正确BCPOBCPE可得BC平面PAE从而得DF平面PAEB 正确PO平面 ABC则平面PAE平面 ABCD 正确【名师指津】立体几何中的几个重要模型正四面体、正三棱锥、正四棱等中的边边、边面、面面之间的关系为这一章节的重点内容,高

3、考题的大部分题目都以它们为背景.5(2005 福建文、理)如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E 与 GF 所成的角是（）A515arccosB4C510arccosD2解：GB1A1E,B1GF 即为 A1E 与 GF 所成的角,B1G=2222111112C BC GB1F=22221215B BBF,GF=2223CGCBBF,B1G2+FG2=B1F2 B1GF=90,选(D)第 2页（共 43页）6(2005 福建文、理)已知直线m、n 与平面,，给出下列三个命题：若;/,/,/nmnm

4、则若;,/mnnm则若.,/,则mm其中真命题的个数是（）A 0B1C2D3解：命题为真命题,选(C)7.(2005 广东)已知高为的直棱锥CBAABC的底面是边长为的正三角形（如图所示），则三棱锥ABCB的体积为（D）A41B21C63D43解:,ABCBB平面43343313131BBShSABCABCABCBV故选 D.8.(2005 广东)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、，的四个命题：若Alm,，点mA，则l与m不共面；若 m、l 是异面直线,/,/ml,且mnln,，则n；若/,/ml,/，则ml/；若mlml,点A，/,/ml，则/其中为假命题的是（C）ABCD解：是假

5、命题，如右图所示满足/,/ml,/，但ml/，故选C9(2005 湖北理)如图，在三棱柱ABC A B C中，点E、F、H、K 分别为 AC、CB、A B、BC的中点，G 为 ABC 的重心.从 K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2 条棱与平面PEF 平行，则P 为（）AKBHCGDB解：用排除法.AB 平面 KEF,A B平面 KEF,B B平面 KEF,AA平面 KEF,否定(A),AB平面 HEF,A B平面 HEF,AC平面 HEF,A C平面 HEF,否定(B),对于平面GEF,有且只有两条棱AB,A B平面 GEF,符合要求,故(C)为本题选择支.当 P点选B时有且只有一

6、条棱AB平面 PEF,综上选(C)10(2005 湖北文)木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（）A 60 倍B6030倍C120 倍D12030倍解：设木星的半径为r1,地球的半径为r2由题意得313224030rr,则木星的表面积地球的表面积=233221122332211240302403012024030rrrrrr,选(C)lmABCABC图 1第 3页（共 43页）11(2005 湖北文)已知 a、b、c 是直线，是平面，给出下列命题：若cacbba/,则；若cacbba则,/；若baba/,/则；若 a 与 b 异面，且与则ba,/相交；若 a 与

7、b 异面，则至多有一条直线与a，b 都垂直.其中真命题的个数是（）A 1B2C3D4解：是假命题,是真命题,选(A)12(2005 湖南文)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E 是 A1B1的中点，则E到平面 ABC1D1的距离为（）A23B22C21D33评述：本题考查点面距离，可转化为线面距离求解.【思路点拨】本题目涉及立体几何的点面距离及正方体中线面角的若干关系.【正确解答】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1平行于平面ABC1D1。所以点 E 到平面 ABC1D1距离转化为点B1到平面 AB C1D1距离，即.22211CB故选 B。【解后反思】立体几何有

8、两大问题：(1)求角(2)求边即求长度或距离,无论是求哪一种情况都要往往把所要求先找出来,图上没有就要将之作出,然后证明它就是我们要求的,最后再通过种种方法求出来.13(2005 湖南理)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O 是底面 A1B1C1D1的中心，则O 到平面 AB C1D1的距离为（）A21B42C22D23评述：本题考查立体几何中“点面距离”转化为“线面距离”求解。【思路点拨】本题目涉及立体几何的点面距离及正方体中线面角的若干关系.【正确解答】分别取1111,AB A B C D的中点,E F G，则O到平面11ABC D的距离为O到GE的距离，所求距离24d.选

9、 B.解法 2：取 B1C1的中点 M，连 B1C 交 BC1于O，取OC1的中点 N，连 MN，则 MN1BC又在正方体ABCD-A1B1C1D1中 OM 平行于平面ABC1D1。则 O 到平面 ABC1D1距离转化为M 到平面 ABC1D1的距离，即MN=42，故选 B。【解后反思】立体几何有两大问题：(1)求角(2)求边即求长度或距离,无论是求哪一种情况都要往往把所要求先找出来,图上没有就要将之作出,然后证明它就是我们要求的,最后再通过种种方法求出来.DBCAD1A1B1C1EODBCAD1A1B1C1GFEO第 4页（共 43页）14.(2005 江苏)在正三棱柱ABC-A1B1C1中

10、，若 AB=2，AA1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（A）34（B）32（C）3 34（D）3答案:B评述:本题考查了正三棱柱ABC-A1B1C1中,点到平面的距离,可以转化为三角形中利用面积公式计算,或利用“等积代换法”计算等。解析：如图，作AMBC，连接 A1M.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易证平面AMA1垂直于平面A1BC,再证 ANMA1,即 AN 为点 A 到平面 A1BC 的距离.在直角三角形AA1M 中,易求得:AN=23.或利用等积代换法:由BCAAABCAVV11,可求点 A 到平面 A1BC 的距离.故选 B.15.(2005 江苏)设,为两两不重合的平面

11、，l,m,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若,则；若,mnm,n,则；若,l则l；若,lmn l,则 mn.其中真命题的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4评述:本题考查了立体几何中面面垂直、平行的性质和判定；线面平行的性质及相关线线、线面平行的判定等，同时考查了空间想象能力，综合推理能力等。解析：（1）由面面垂直知，不正确；（2）由线面平行判定定理知，缺少m、n 相交于一点这一条件，故不正确；（3）由线面平行判定定理知，正确；（4）由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确。综上所述知，（3），（4）正确，故选B。16(2005 江西文、理)矩形 ABCD中，AB=4，BC=3，沿

12、AC将矩形 ABCD 折成一个直二面角BAC D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）A12125B9125C6125D3125【思路点拨】本题主要考查图形的翻折问题,利用球心到球面的距离均相等,找出球心是解本题的关健.【正确解答】连接矩形ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，则 AO BOCODO，则 O 为四面体ABCD 的外接球的圆心，因此四面体ABCD 的外接球的半径为52，体积为345125()326.选C.【解后反思】对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,另外,球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内

13、接长方体问题.17.(2005 全国文、理)一个与球心距离为1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）（A）28（B）8（C）24（D）4【解析】截面圆面积为，截面圆半径1r，球的半径为2221rOOR，球的表面积为8，故选【点拨】找相关的直角三角形BCA1B1C1MNAO1O第 5页（共 43页）18.(2005 全国文、理)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1 的正方形，且BCFADE、均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为（A）32（B）33（C）34（D）23解：如图,过 A、B 两点分别作AM、BN 垂直于 EF，垂足分别为M、N，连结 DM

14、、CN，可证得 DMEF、CNEF，多面体 ABCDEF 分为三部分，多面体的体积V 为BNCAMDABCDEFVVBNCFAMDEVV，21NF，1BF，23BN，作 NH 垂直于点H，则 H 为 BC 的中点，则22NH，4221NHBCSBNC，24231NFSVBNCBNCF，242BNCFAMDEVV，42MNSVBNCBNCAMD，32ABCDEFV，故选 A【点拨】将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算19.(2005 辽宁)已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面给出下列的四个命题：若m，m，则/；若，则/；若m，n，nm/，则/；若m、n是异面直线，m

15、，/m，n，/n，则/，其中真命题是（）和（）和（）和（）和【答案】D【解答】因为垂直于同一条直线的两平面互相平行，所以正确；因为垂直于同一平面的两平面不一定平行，所以错误；因为当与相交时，若m、n平行于两平面的交线，则nm/，所以错误；因为若m、n是异面直线，m，/m，n，/n，当且仅当/，所以正确【点拨】解立几推断题应联系具体图形以及相关定理解决20.(2005 全国文、理)正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体的过P、Q、R 截面图形是(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，

16、根据公理1 可从 P、Q 在面内作直线，根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.【正确解答】画图分析.作直线 PQ 交 CB 的延长线于E，交 CD 的延长 F，作直线 ER 交1CC的延长线于G，交1BB于 S，作直线 GF 交1DD于 H，交11C DH，连结 PS,RT,HQ，则过 P、Q、R 的截面图形为六边形 PQHTRS，故选 D.【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3 个推论是确定平面的含义，但不必深入研究.EFABCDMNHHSRDBCAD1A1B1C1EGFQPT第 6页（共 43页）21.(2005 全国文)ABC 的顶点 B 的平面内，A

17、、C 在的同一侧，AB、BC 与所成的角分别是 30和 45.若 AB=3，BC=42，AC=5，则 AC 与所成的角为（A）60（B）45（C）30（D）15【思路点拨】本题考查直线与平面所成角的概念和求法，考查空间想象能力，找出 AC 在平面内的射影是解决本题的关键.【正确解答】分别过点 A 与点 C 作平面的射影，交点分别为D、E，过 A 作AFCE于 F，则CAF是所要求的夹角.由题意知，3sin302ADAB，sin454CEBC，52CFCEAD，因此1sin2CFCAFAC，即30CAF.解法 2：如图，AE平面于E,CD平面于D,EFAC,EF 交 CD 于 F,则 ABE=3

18、00,CBD=450,由此得 CD=4,AE=1.5,EF=2.5,而 EF=AC=5 FED=300,即 AC 与平面所成的角为300,选(C)【解后反思】思考2 个问题：1.求 ABC 所在平面与平面所成的二面角的大小；在的两侧，如何求AC 与所成的角.22.(2005 全国理)将半径都为1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（A）3623（B）2+362（C）3624（D）36234【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力，恰当地对几何体进行分割，确定钢球的球心的位置是一关键.【正确解答】由题意可知，四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公

19、共中心，当正四面体的表面积最小时，四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体，且两个正四面体有相同的中心.把 4 个小球的球心连起来，得到棱长为2 的正四面体，且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接中心与4 个顶点，得到4 个正三棱锥.底面积相等，由等体积法知，所以，该比为14.而棱长为 a 的正四面体的高为63a，所以，棱长为2的正四面体，高为2 63，现在将其中心到侧面的距离4，得到这个正四面体的高的最小值为3624，选 C.解法 2：显然 4 个钢球两两相切且每个钢球与四面体也相切时，这个正四面体的高最小。这时4 个钢球的球心构成一

20、个小正四面体，其底面中心到大正四面体距离是小钢球的半径1，设小正四面体顶点距大正四面体顶点为x，大正四面体的棱长为a，高为 h，小正四面体的高为m,则 h=63a,m=2 63,大正四面体底面中心到底面边的距离n=36a,侧面斜高 y=32a,由平几知识可得32136axa=3,得x=3,故 h=3+1+m=4+2 63,选(C)【解后反思】选择适当的截面，把立几问题平面化(降维)是解决此类问题的基本思路.第 7页（共 43页）23(2005 全国文、理)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 V，P、Q 分别是侧棱AA1、CC1上的点，且 PA=QC1，则四棱锥B-APQC 的体积为（）A16

21、VB14VC13VD12V【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.【正确解答】解法 1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥 B-APQC 的高h等于底面三角形AC边上的高.所以11111111111()33232111132333APQCBAPQCABCABCA B CVShACPAQChACAAhVAC hAASAAV四棱锥三棱柱解法 2：设三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，P、Q、R 分别为侧棱AA1、CC1、BB1上的中点，则B-PQRABCPRQ11VVV36三棱锥三棱柱，进而有263BAPQCVVVV四棱锥.选 C.解法 3：如图

22、，1111111113AABCBA BCBAC QABCA B CVVVV111B PCQAB CQABPCAVVV,AF=QC1,APQC1,APQC 都是平行四边形,111B PCQAB CQAB PCAVVV=12(11B CQABPCAVV)=1111 22 3ABCA B CV=11113ABCA B CV,选(C)【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉.24.(2005 山东文、理)设地球半径为R，若甲地位于北纬4

23、5，东经120，乙地位于南纬75，东经120，则甲、乙两地的距离为（A）3R（B）6R（C）56R（D）23R【思路点拨】本量考查球的性质，球面距离的运算.，空间想象能力，可结合关于地球的经、纬度等知识、球的性质，求出球心与这两点所成的圆心角的大小、利用弧长公式解决.【正确解答】AOB=120，A、B 两点间的球面距离为120223603dRR.选 D【解后反思】本题是求同一经度上，两点间的球面距离，比较简单，而求在同一纬度上的点A、B 间的球面距离必须构建基本图形：三棱锥1OAO B，其中1OO纬度面 AOB，AOOBR（R 为地球的半径），11O AOO BO是北纬度角，1AO B是 A、

24、B 两点所在经度的夹角（劣弧），AOB即是要所求A、B 两点间的球面距离的大圆的圆心角（小于0180），则 A、B 间的球面距离为R，这里，是解决此类型问题的关键，也是难点.ABO1O第 8页（共 43页）25.(2005 天津文、理)设,为平面，,m n l为直线，则m的一个充分条件是（）（A）,l ml（B）,m（C）,m(D),nnm【思路点拨】本题是判断线线、面面和线面垂直的判断题，可作出示意图逐一判断.lmmnmm【正确解答】图(1)由此可见判断A 不正确；图(2)由此可见判断B 正确.证明：,mm，而,mm不一定有.B 中m是,m的既不充分也不必要的条件，D 是充要条件.解法 2：

25、A 选项：缺少条件m；B 选项：当/,时，/m；C 选项：当,两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m时，m；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行。本选项为真命题。本题答案选D【解后反思】对空间图形的线线垂直、线面垂直的判定和性质要实在地理解是解决这类问题的关键.26(2005 浙江文、理)设、为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则 lm；若 lm，则那么(A)是真命题，是假命题(B)是假命题，是真命题(C)都是真命题(D)都是假命题解：命题有反例,如图中平面平面=直线 n,l,m且 ln,mn,则 ml,显然平面不垂直平面故是假命题；

26、命题显然也是假命题,因此本题选(D)27(2005 重庆文、理)对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得 l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有（）A 1 个B2 个C3 个D4 个解：命题是真命题,选(B)第 9页（共 43页）28(2005 重庆文)有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A 4

27、B5C 6D7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的表面积一览表如下：第 k 个立方体边长 aka!=2a2=2a3=1a4=22a5=12a6=18第 k 层立方体增加的面积 bkb1=24b2=8b3=4b4=2b5=1b6=116K 层塔形的表面积 SkS1=24S2=32S3=36S4=38S5=39S6=13916由上表可以看出要使塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是6 层,选(C)29(2005 重庆理)如图，在体积为1 的三棱锥 ABCD 侧棱 AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使 AE:EB=AF:FC=AG

28、:GD=2:1，记 O 为三平面BCG、CDE、DBF 的交点，则三棱锥OBCD 的体积等于（）A91B81C71D41解：如图,BM 是平面 BCG 与平面 BDF 的交线,CL 是平面 BCG 与平面 CDE 的交线,则 BM 子 CL 的交点即为 O.作 EG平面 BCD,LN 平面 BCD,OQ 平面 BCD,设 A 到平面 BCD 的高为 h,由题意可知EK=13h,LN=33 1155 35EKhh,32CMBLMGLG,75CLCQOQ=55 1177 57LNhh,1 113 7173BCDOBCDABCDBCDhSVVhS,选(C)二、填空题：1、(2005 春招北京文、理)

29、如图，正方体1111DCBAABCD的棱长为a，将该正方体沿对角面DDBB11切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_2)224(a_。LMOACDBKNQGEF第 10页（共 43页）2(2005 湖南文)已知平面,和直线，给出条件：/m；m；m；/.（i）当满足条件时，有/m；（ii）当满足条件时，有m.（填所选条件的序号）【思路点拨】本题涉及立体几何线面平行与面面平行以及线面垂直与面面垂直的有关知识.【正确解答】（i）由两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，所以/，m，可得/m，选（ii）由若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则它

30、也必垂直于另一个平面，因此由/，m，可得m，选.【解后反思】本题是数学试卷中的多项选择题,本题是属于概念题,要想做对此类问题,必须要对立体几何各知识点的定义,性质,判定都非常了解,性质定理:指的是关于线面处于某种几何关系,它所具有的几何性质的定理,往往是为了挖掘题目中隐含条件.而判定定理:为了证明线面处于某种几何关系,它所需要的条件的定理,这些条件缺一不可,往往判定定理成为证明题和判断判定题的重要依据.如在解决的过程中,多通过画图验证结果,就可以达到事半功倍的效果.3(2005 江西文)如图，在三棱锥PABC中，PA=PB=PC=BC，且2BAC，则 PA与底面 ABC所成角为.【思路点拨】本

31、题主要考查直线与平面所成的角的求法,关键是确定点 P在底面的射影O的位置.【正确解答】过P作POABC底面，交底面于O，连结 AO并延长交BC于 D，连结 PD，则 PD、AD均垂直于 BC，所以 AB AC，PA 与底面 ABC所成角为PAD，设 AC 1，则 PA=PB=PC=BC2，62PD，22AD，2221cos22PAADPDPADPAAD，所以3PAD.【解后反思】熟练掌握三角形的“四心”是快速解该题的关键.外心:三角形三条中垂线的交点,性质外心到三角顶点距离相等,内心:内角平分线的交点,性质是内心到三边距离相等,垂心:三条高线的交点,重心:三条中线的交点,另外记住一些结论也是大

32、有裨益的,比如在三棱锥P-ABC中(1)若P到三个顶点的距离相等,则P在底面的射影是ABC的外心,(2)若 P到三边的距离相等,则P在底面的射影是ABC的内心,(3)若PABC,PBAC则PCAB且 P在底面的射影是ABC的垂心.4(2005 江西理)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，90ABC，E、F 分别为 AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E 到F两点的最短路径的长度为.【思路点拨】本题主要考查空间距离转化为平面距离.【正确解答】分别延11111BBACA B、和将 E、F 展开到同一平面内，则易得：922122EF，135222EF,或222164

33、2242EF比较可得，最小值为322.【解后反思】将平面图形空间化也是立体几何的另一种问题形式,在做立体几何中,许多问题都是空间图形进行平面化,努力将一个个空间图形,通过所学的几何知识,转化成平面图形,最后使用平面几何的若干知识解决,而本题却反其道而行之,所以在做法上就不能和上述的方法相同,但在本质上有许多相通之处,在这类题目中,尽量找出两者图形过程中的联系之处,哪些量变啦,哪些量没有变,然后解决起来,就会顺手多啦.第 11页（共 43页）5.(2005 全国文、理)在正方形DCBAABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于 E，交CC于 F，1四边形EBFD一定是平行四边形2四边形EBFD有

34、可能是正方形3四边形EBFD在底面 ABCD 内的投影一定是正方形4四边形EBFD有可能垂直于平面DBB以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号）解：平面EBFD与相对侧面相交，交线互相平行，四边形EBFD一定是平行四边形；四边形EBFD若是正方形，则DEBE，又EBAD，EB平面AADD，产生矛盾；四边形EBFD在底面 ABCD 内的投影是正方形ABCD；当 E、F 分别是AA、CC的中点时，ACEF/，又AC平面DBB，四边形EBFD有可能垂直于平面,填.【点拨】边观察、边推导6.(2005 辽宁)如图，正方体的棱长为，、分别是两条棱的中点，、是顶点，那么点到截面ABCD的距离是 _【答

35、案】32【解答】如图建立空间直角坐标系xyzA，)0,0,0(A，)0,1,1(B，)1,21,0(D，)0,1,0(M，则)0,1,1(AB，)1,21,0(AD，)0,0,1(MB设),1(yxn为平面ABCD法向量，则有00nADnAB，即0201yxx，解得211yx，即)21,1,1(n，所以点到截面ABCD的距离322311nMBnMBd【点拨】利用法向量求点到平面的距离是较好操作的方法7.(2005 全国文、理)下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边的三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.底面是等边三角形，

36、侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_.（写出所有真命题的编号）【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力，理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决.【正确解答】如图，三棱锥PABC中，作PO平面ABC于O，作ODAB于 D，作OEBC于 E，作OFAC于 F，连结 OD,OE,OF，则,PDOPEOPFO分别是侧面与底面所成的二面角的平面角.ABCDABCDABCDMxyzABCPOEDF第 12页（共 43页）是正确的.因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以，OD=OE=O

37、F，即O是ABC的中心，且底面是等边三角形，是错误的.如PBPCABPA，是错误的.如果顶点在底面上的投影是底面正三角形的旁心，也是可以得出侧面积相等的结论，是正确的.侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的外心；侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的内心，外心与内心重合的三角形是正三角形，且是三角形的中心，故填、.【解后反思】必须深刻掌握正棱锥的定义（底面是正三角形，顶点在底面上的射影是三角形中心的三棱锥是正三棱锥）及其等价条件.8.(2005 山东文、理)已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：若/m，则m平行于平面内的任意一条直线

38、若/，m，n，则/mn若m，n，/mn，则/若/，m，则/m上面命题中，真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）答案【思路点拨】本题考查立体几何中直线与平面的位置关系.本题是线线、线面和面面平行，线面垂直的判断题，可借助图形进行判断.【正确解答】如图所示，中 m、n 可能异面，中，可能相交，中,/mmnn同理可证：/n即是真命题，中可过平面，外任一点P 作直线,m n使/,/,mm nnm n异面,m n必相交，设由,m n确定的平面为，/mm，同理可证：/n，同理可证：/.即是真命题，综上所述，真命题的序号是、.nnmmnmnm【解后反思】要否定一个命题，只需要一反例即可.要熟悉掌握线线平行

39、、平面平行、面面平行的关系和转化.即线线平行平面平行面面平行，其中线面平行起了桥梁作用，而的实质是两个平面平行的推论.9、(2005 上海文、理)有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 _.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，

40、只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为 32 或 36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法 2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a5的边重合在一起，表面积为242a+28第 13页（共 43页）三棱柱有两种，边长为a4的边重合在一起，表面积为242a+32边长为a3的边重合在一起，表面积为242a+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为 122a+48最小的是一个四棱柱，这说明201248122824222aaa3150a【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等

41、特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.10.(2005 天津文、理)如图，PAABC平面，90ACBPAACBCa且，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于【思路点拨】此题可用模型法解，即构造正方体，（如右图）即可解决.【正确解答】如图，可知QB/Ac，QBP即为异面直线PB与 AC所在的角，连续PQ，在 RTPQB中，tan2QPB，即异面直线PB与 AC所成的角的正切值为2解法 2：将此多面体补成正方体DBCAD B C P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小。tan2PDDBADB。本题答案填写：2【解后反思】本题是考查线线、纯平面垂直

42、的判定与性质和异面直线所成的角的求法，可按定义将异面直线中的一条进行平移，将异面直线的问题转化为相交直线，即立体几何平面化处理，考虑到本题的图形特征（正方体的一个角），模型法解决比较方便，这就要求学生基本图形的理解和掌握.11(2005 浙江文、理)设 M、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DEAB 于 E(如图)现将 ADE 沿DE 折起，使二面角ADEB 为 45，此时点 A在平面 BCDE 内的射影恰为点B，则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_解：如左图,在平面 AED 内作 MQAE 交ED 于 Q,则 MQED,且 Q为 ED 的中点,连结 QN,则 NQED 且 QNE

43、B,QN=EB,MQN 为二面角 ADEB 的平面角,MQN=45AB平面 BCDE,又AEB=MQN=45,MQ=12AE=122EB,在平面 MQN 内作 MPBQ,得 QP=MP=12EB,故 PB=QP=12EB,故 QMN 是以 QMN 为直角的等腰三角形,即 MNQM,也即 MN 子 AE 所成角大小等于 90PABCACPBQ第 14页（共 43页）三、解答题：1、(2005 春招北京文)（本小题满分 14 分）如图，正三棱锥SABC中，底面边长是 3，棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，M 是 BC的中点。求：（1）AMSM的值；（2）二面角SBCA的大小；（3）正三棱锥SABC的

44、体积。1本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力满分14 分解（）SB SC，AB AC，M为 BC的中点，SM BC，AM BC 由棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，即113222BCSMBCAM,得3.2AMSM（）作正三棱锥的高SG，则 G为正三角形 ABC 的中心，G 在 AM上，1.3GMAMSM BC，AM BC，SMA 是二面角 SBC A 的平面角在 RtSGM 中，223233SMAMGMGM，SMA=SMG60即二面角 SBC A 的大小是 60（）ABC的边长是 3，3 333,tan60222AMGMSGGM，11 9 3 3

45、9 3.33428SABCABCVSSG2、(2005春招北京理)（本小题满分 14分）如图，正三角形ABC 的边长为 3，过其中心 G 作 BC 边的平行线，分别交 AB、AC 于1B、1C。将11CAB沿11CB折起到111CBA的位置，使点1A在平面CCBB11上的射影恰是线段BC 的中点 M。求：（1）二面角MCBA111的大小；（2）异面直线11BA与1CC所成角的大小（用反三角函数表示）。2本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力满分14分解（）连接 AM，A1GG 是正三角形 ABC 的中心，且 M 为 BC 的中点，A，G，M 三点

46、共线，AM BCB1C1BC，ABCMGA1B1C1第 15页（共 43页）B1C1AM 于 G，即 GMB1C1，GA1B1C1，A1GM 是二面角 A1B1C1M 的平面角点 A1在平面 BB1C1C 上的射影为 M，A1MMG，A1MG=90在 RtA1GM 中，由 A1G=AG=2GM 得A1GM=90即二面角 A1B1C1M 的大小是 60（）过 B1作 C1C 的平行线交 BC 于 P，则A1B1P 等于异面直线 A1B1与 CC1所成的角由 PB1C1C 是平行四边形得 B1P=C1C=1=BP，PM=BM BP=,21A1B1=AB1=2A1M面 BB1C1C 于 M，A1MB

47、C，A1MP=90在 RtA1GM 中，A1M=A1G.2323360sin在 RtA1MP 中，.25)21()23(2222121PMMAPA在A1B1P 中，由余弦定理得8512225122cos22111212121111PBBAPAPBBAPBA，异面直线 A1B1与 CC1所成角的大小为 arccos.853.(2005 春招上海)(本题满分 14 分)本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分 8 分.已知正三棱锥ABCP的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60.（1）证明：BCPA；（2）求底面中心O到侧面的距离.3.证明（1）取BC边的中点D，连接A

48、D、PD，则BCAD，BCPD，故BC平面APD.4 分BCPA.6 分解（2）如图，由（1）可知平面PBC平面APD，则PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O作EPDOE,为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.9 分设OE为h，由题意可知点O在AD上，60PDO，hOP2.hBChOD4,32,11 分EOPBCADPBCAO第 16页（共 43页）2234)4(43hhSABC，3233823431372hhh，3h.即底面中心O到侧面的距离为3.14 分4.(2005 北京文)（本小题共14 分）如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC 3，BC4，AB=5，AA14，点 D 是

49、 AB 的中点，（I）求证：ACBC1；（II）求证：AC1/平面 CDB1；（III）求异面直线AC1与 B1C 所成角的余弦值【详解】（I）直三棱柱ABC A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为BC，AC BC1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为E，连结 DE，D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点，DE/AC1，DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1/平面 CDB1；（III）DE/AC1，CED 为 AC1与 B1C 所成的角，在 CED 中，ED=21AC1=25，CD=21AB=25，CE=21CB1

50、=22，82 2cos552 2 22CED，异面直线AC1与 B1C 所成角的余弦值2 25.第 17页（共 43页）【名师指津】三垂线定理,二面角的平面角、线面角、两条异面直线所成的角作法及求法,线线、线面、面面平行与直线的判断与性质,构成了立体几何的主要内容,平时学习时应将之落实.5(2005 北京理)（本小题共14 分）如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=DCADAA,3,321，ACBD，垂足为E.（）求证BD A1C；（）求二面角A1BDC1的大小；（）求异面直线AD 与 BC1所成角的大小.【详解】解法一：（I）在直四棱柱1111ABCDA B C