2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题(理科).解析版.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6 页时量120 分钟，满分150 分参考公式：锥体的体积公式为13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知集合M=1,2,3，N=2,3,4，则AMNB.NMC2,3MND.1,4MN【答案】C【解析】1,2,32,3,42,3MN故选 C.【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算,属容易题.来源 学#科#网 2下列命题中的假命题是()ARx，120 xBNx，10

2、x2CRx，lg x1DRx，tan2x【答案】B【解析】对于B 选项 x1 时，10 x2=，故选 B.3、极坐标方程cos和参数方程123xtyt（t为参数）所表示的图形分别是()A、圆、直线B、直线、圆C、圆、圆D、直线、直线4、在Rt ABC中，C=90 AC=4，则ACAB等于()A、-16B、-8C、8D、165、421dxx等于()A、2ln 2B、2ln 2C、ln 2D、ln 26、在 ABC中，角 A，B，C 所对的边长分别为a,b,c，若 C=120，2ca,则()A、abB、abC、a=bD、a与 b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，

3、不等式的性质，比较法,属中档题。7.在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10B.11C.12D.15【答案】B【解析】与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110 有两个对应位置上的数字相同有24C6（个）8.用表示 a，b两数中的最小值。若函数的图像关于直线x=12对称，则 t 的值为()A-2B2C-1D1【答案】D【解析】由下图可以看出，要使函数的图像关于直线x=12对称，则 t=1.【命题意图】本

4、题通过新定义考察学生的创新能力，考察函数的图象，考察考生数形结合的能力，属中档题。二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，共 35 分把答案填在答题卡对应题号后的横线上。9.已知 一种材料的最佳加入量在110g到 210 g 之间，若用0.618 法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 _g.【答案】171.8 或 148.2【解析】根据 0.618 法，第一次试点加入量为110（210110）0.618171.8或210（210110）0.618148.2【命题意图】本题考察优选法的0.618 法，属容易题。10.如图 1 所示，过O外一点 P 作一条直线与O交于 A，B 两点，已知PA

5、2，点 P到O的切线长 PT 4，则弦 AB 的长为 _.【答案】6PTOAB图 1【解析】根据切线长定理2216,82PTPTPA PB PBPA所以826ABPBPA【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理，属容易题。11.在区间 1,2上随机取一个数x，则|x1 的概率为 _.【答案】23【解析】P（|x1）1(1)22(1)3【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。12图 2 是求2221232+100的值的程序框图，则正整数n13图 3 中的三个直角三角形是一个体积为203cm的几何体的三视图，则hcm14过抛物线22(0)xpy p的焦点作斜率为1 的直线与该抛物线交于,A B两点

6、，,A B在x轴上的正射影分别为,D C若梯形ABCD的面积为122，则p图 2【解析】抛物线的焦点坐标为F（0，2p），则过焦点斜率为1 的直线方程为2pyx，设 A1122(,),(,)xyB xy（21xx），由题意可知120,0yy由222pyxxpy，消去 y 得22220 xpxp，由韦达定理得，212122,xxp x xp所以梯形ABCD 的面积为：122112212221212211()()()()22113()4344223 2SyyxxxxpxxPxxx xPppp所以23 212 2,0,2ppp又所以【命题意图】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置

7、关系，考察考生的运算能力,属中档题15若数列na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na例如，若数列na是1,2,3,n，则数列()na是0,1,2,1,n，已知对任意的Nn，2nan，则5()a，()na【答案】2，2n【解析】因为5ma，而2nan，所以 m=1,2,所以5()a2.12345678910111213141516()0,()1,()1,()1,()2,()2,()2,()2,()2,()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,aaaaaaaaaaaaaaaa因为所以1()a1,2()a4，3()a

8、9，4()a16，猜想2()nan【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12 分）已知函数2()3sin 22sinf xxx（）求函数()f x的最大值；（II）求函数()f x的零点的集合。17（本小题满分12 分）图 4 是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（）求直方图中x 的值（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3 至 4 吨的居民数X 的分布列和数学期望。

9、因此，031233(0)0.90,729,(1)0.1 0.90,243P XCP XC223333(2)0.10.90,027,(3)0.10,001P XCP XC故随机变量X 的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X 的数学期望为EX30.1 0.3【命题意图】本题考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望。属中档题18（本小题满分 12 分）如图 5 所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点。（）求直线BE 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值；()在棱 C1D1上是否存在一点F，使 B1F/平面 A1BE？证明你的

10、结论。ADBCA1D1B1C1E图 5【解析】所以1,2xz yz，取2,z得n(2,1,2).设 F 是棱 C1D1上的点，则F（t,1,1）(0t1)，又 B1（1，0，1），所以111(1,1,0),A BEB FtB F而平面，于是111B F/A BEB F平面n0(1,1,0)(2,1,2)02(1)10tt111C D2tF为的中点。这说明在在棱C1D1上是否存在一点F（11C D 的中点），使 B1F/平面 A1BE解法 2 如图（a）所示，取 AA1的中点 M，连结 EM，BM，因为 E 是 DD1的中点，四边形 ADD1A1为正方形，所以EM/AD。又在正方体ABCD A1

11、B1C1D1中。AD 平面 ABB1A1，所以 EM ABB1A1，从而 BM 为直线 BE在平面 ABB1A1上的射影，EBM 直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则 EM AD 2，BE2122213，于是在 RTBEM 中，2sin3EMEBMBE19（本小题满分 13 分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的 A，B 两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直 平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图 6）在直线2x的右侧，考察范围为到点B的距离不超过6 55km 的区域；在直线2x的左侧，考察范围

12、为到A，B 两点的距离之和不超过4 5km 的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6 所示，设线段12PP，23P P是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间冰O化区域融已川B(4,0)P3(8,6)28 3(,6)3P1(53,1)PA(-4,0)xyx=2【解析】（）设边界曲线上点P的坐标为(,)x y.当x2 时，由题意知2236(4)5xy当2PAPB5PA,B4 5x时，由|+|=4知，点在以焦点，长轴长为 2a22(25)4

13、2b的椭圆上。此时短半轴长，因而其方程为221204xy故考察区域边界曲线（如图）的方程为2222123636:(4)(2):(4)(2)55Cxyxxyx和C（）设过点P1，P2的直线为l1，点 P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为314,6yxy【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。20（本小题满分 13 分）已知函数2()(,),()()fxxbxc b cRxRfxf x对任意的恒有（）证明：当20()();xf xxc时，（）若对满足题设条件的任意b,c，不等式22

14、()()()f cf bM cb恒成立，求M 的最小值。（）是否存在,naa使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。【解析】21（本小题满分13 分）数列*()nanN中，是函数322211()(3)332nnnfxxanxn a x的极小值点（）当a=0 时，求通项na；（）是否存在a，使数列na是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。解析：易知2222()(3)3(3)()nnnnfxxanxn axaxn令2()0,3)nnfxxaxn得，(1)23,nan若3()0()nnnxafxfx当时，单调递增；23,()0()nnnaxnfxfx当时，单调递减；2,()0()nnxnfxfx当时，单调递增；故()nfx在2,xn时 取得极小值。（2）23,1()3nnnanfxxa若仿（）可得，在取得极小值。（3）23,()0()nnnanfxfx若，无极值。