2019-2020学年北京市顺义区高二下学期期末数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年北京市顺义区高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1设复数z2+i，则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2不等式x2+x20 的解集为（）Ax|2x 1Bx|2x 1Cx|1x2Dx|1x23已知函数f（x）x3 4x，则 f（x）的极大值点为（）Ax 4Bx4Cx 2Dx24从 4 个人中任选3 个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（）A12 种B24 种C36 种D64 种5在二项式（2 x）6的展开式中，x4的系数为（）A 60B60C 30D306已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数

2、）X012345P0.10.1A0.30.20.1则 P（1X3）等于（）A0.4B0.5C0.6D0.77已知 a R，复数 z13+a2i，z23+（3a2）i，则“a1”是“z1z2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8若a0bc，则下列不等式中恒成立的是（）ABa2b2CacbcD9已知函数f（x）ax 2lnx 在区间（1，+）上单调递增，则a 的取值范围是（）A（，B，+）C（，2D2，+）10已知函数f（x）ex，g（x）x2+ax（其中 a R）对于不相等的实数x1，x2，设m，n，给出下列三个结论：对于任意不相等的实数x1，x2，都

3、有 m0；对于任意的a 及任意不相等的实数x1，x2，都有 n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得 mn其中，所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题共5小题，每小题5 分，共 25 分11若复数z 满足 z（1i）i，则 z12若 x（0，+），则x+的取值范围是13一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，X表示抽到的次品件数，则E（X）14已知函数f（x）x33x+1，则 f（x）在区间 3，2上的最小值为15已知a R，设函数f（x），若关于x 的不等式f（x）0 在 R上恒成立，则a 的取值范围是三、解答题共6小题，共85 分.解

4、答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.16已知复数zai（a R），且 z（1+i）是纯虚数（）求复数z 及|z|；（）在复平面内，若复数（zmi）2（m R）对应点在第二象限，求实数m 的取值范围17顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 8 个红球、4 个黑球的甲箱和装有6 个红球、6 个黑球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖（）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；（）若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求 X 的分布列和数学期望

5、18已知函数f（x）x2lnx（）求曲线f（x）在 x1 处的切线方程；（）求函数yf（x）的极值19某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495，（495，500，（500，505，（505，510，（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（）求a 的值；（）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y的分布列；（）用这 40 件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取3 件产品，求恰有2 件产品的重量超过505 克

6、的概率20已知函数f（x）（ax）lnx+x1，其中 a R曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为1（）求a 的值；（）求证：f（x）021已知函数f（x）+mlnx（）当m1 时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在 x1 处取得极大值，求实数m 的取值范围参考答案一、选择题（共10 小题）.1设复数z2+i，则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据共轭复数的定义求出共轭复数，结合复数的几何意义进行判断即可解：复数z2+i 的共轭复数2 i，则对应点的坐标为（2，1），该点位于第四象限，故选：D2不等式x2+x20 的

7、解集为（）Ax|2x 1Bx|2x 1Cx|1x2Dx|1x2【分析】原不等式可化为（x1）（x+2）0，结合二次函数的图象可得答案解：不等式x2+x20 可化为（x1）（x+2）0，解之可得 2x1，故解集为 x|2 x1故选：A3已知函数f（x）x3 4x，则 f（x）的极大值点为（）Ax 4Bx4Cx 2Dx2【分析】求出函数f（x）x34x 的导函数，由导函数等于0 求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点解：由 f（x）x34x，得：f（x）x24由 f（x）x24 0，得：x 2，或 x2由 f（

8、x）x24 0，得：2 x2所以，函数f（x）的增区间为（，2），（2，+）函数f（x）的减区间为（2，2）所以，x 2 是函数的极大值点，x2 是函数的极小值点故选：C4从 4 个人中任选3 个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（）A12 种B24 种C36 种D64 种【分析】根据题意，分2 步进行分析：先在4 个人中任选3 个人，再将选出的3 人全排列，安排去完成3 项不同的工作，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，先在4 个人中任选3 个人，有C43种选法，再将选出的3 人全排列，安排去完成3 项不同的工作，有A33种情况，则有 C43A3324 种安排方法；故选：B5

9、在二项式（2 x）6的展开式中，x4的系数为（）A 60B60C 30D30【分析】先求出通项公式，再令x 的指数为4 即可求解结论解：二项式（2 x）6的展开式的通项公式为：Tr+1?26r?（x）r；令 r4 可得：?264?（1）4154 160；故选：B6已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数）X012345P0.10.1A0.30.20.1则 P（1X3）等于（）A0.4B0.5C0.6D0.7【分析】根据概率之和为1 计算A，再计算P（1X3）解：由概率之和等于1 可知 A0.2，P（1 X3）0.1+0.2+0.30.6故选：C7已知 a R，复数 z13+a2i，z23+

10、（3a2）i，则“a1”是“z1z2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据复数相等的条件求出a 的值，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断解：复数z13+a2i，z23+（3a2）i，若“z1z2”，则 a23a2，解得 a1 或 a2，“a1”是“z1z2”的充分而不必要条件，故选：A8若 a0b c，则下列不等式中恒成立的是（）ABa2b2Cac bcD【分析】直接利用不等式的性质的应用和赋值法的应用求出结果解：由于 a0 b，故，故选项A 错误 当 a1，b 2 时，a2b2，故选项B 错误 由于 a0bc，所以 acbc，故选项

11、C 错误 由于 a0bc，所以，故选项D 成立故选：D9已知函数f（x）ax 2lnx 在区间（1，+）上单调递增，则a 的取值范围是（）A（，B，+）C（，2D2，+）【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，结合单调区间，求解即可解：函数y ax2lnx 在（1，+）内单调递增，当 x1 时，y a0 恒成立，即 a，a2，即 a 的取值范围为2，+），故选：D10已知函数f（x）ex，g（x）x2+ax（其中 a R）对于不相等的实数x1，x2，设m，n，给出下列三个结论：对于任意不相等的实数x1，x2，都有 m0；对于任意的a 及任意不相等的实数x1，x2，都有 n0；对于任意的a，存

12、在不相等的实数x1，x2，使得 mn其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【分析】运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数 h（x）x2+axex，求出导数判断单调性，即可判断；解：对于 ，由于 e1，由指数函数的单调性可得f（x）在 R 上递增，即有m0，则 正确；对于 ，由二次函数的单调性可得g（x）在（，）递减，在（，+）递增，则 n0 不恒成立，则 错误；对于 ，由 mn，可得f（x1）f（x2）g（x1）g（x2），即为g（x1）f（x1）g（x2）f（x2），考查函数h（x）x2+axex，h（x）2x+aex，当 a，h（x）小于 0，h（x）单调递

13、减，则 错误；故选：A二、填空题共5小题，每小题5 分，共 25 分11若复数z 满足 z（1i）i，则 z【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由 z（1i）i，得 z，故答案为：12若 x（0，+），则x+的取值范围是4，+）【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解解：因为x0，则 x+24，当且仅当x即 x2 时取等号，此时取得最小值4，则 x+的取值范为 4，+）故答案为：4，+）13一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，X表示抽到的次品件数，则E（X）3【分析】推导出XB（100，0.03），由此利用二项分布的性质能

14、求出E（X）解：一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，X 表示抽到的二等品件数，XB（100，0.03），E（X）1000.033故答案为：314已知函数f（x）x33x+1，则 f（x）在区间 3，2上的最小值为17【分析】求出导函数，判断函数的单调性，求出函数的极值，求出端点值，比较即可求出最值解：由于f（x）x33x+1，f（x）3x233（x+1）（x 1）f（x）0，得到 x1，x 1，f（x）在 3，1）上是增函数，f（x）在（1，2上是增函数，而 x（1，1），f（x）0，f（x）在（1，1）上是减函数；可得 f（3）27+9+1 17

15、，f（1）13+1 3，f（1）1+3+13，f（2）86+1 3，f（x）在区间 3，2上的最小值为17故答案为：1715已知a R，设函数f（x），若关于x 的不等式f（x）0 在 R上恒成立，则a 的取值范围是1，e【分析】分2 段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得解：当 x1 时，f（x）x23x+2a0 等价于 a恒成立，令 g（x）（x23x）（x）2+，其中 x 1，则 g（x）max1 即此时 a1当 x1 时，f（x）xalnx 0 等价于 a恒成立，令 h（x），则 h（x），当 xe时，h（x）0，h（x）递增，当 1x e时，h（x）0，h（x）递减，xe时，

16、h（x）取得最小值h（e）e，ah（x）min e，综上：a 的取值范围是1，e故答案为：1，e三、解答题共6小题，共85 分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.16已知复数zai（a R），且 z（1+i）是纯虚数（）求复数z 及|z|；（）在复平面内，若复数（zmi）2（m R）对应点在第二象限，求实数m 的取值范围【分析】（）把za i（a R）代入 z（1+i），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0 且虚部不为0 列式求解 a 值，则 z 可求，再由复数模的计算公式求|z|；（）把zai（a R）代入（zmi）2（m R），展开后由实部小于0 且虚部大于0列不等式组

17、求解解：（）zai（a R），且 z（1+i）是纯虚数，（ai）（1+i）（a+1）+（a1）i 是纯虚数，则，即 a 1z 1i，|z|；（）（zmi）21（m+1）i21（m+1）2+2（m+1）i，由题意可得，解得 m0实数 m 的取值范围是（0，+）17顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 8 个红球、4 个黑球的甲箱和装有6 个红球、6 个黑球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1 个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖（）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；（）若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3

18、次抽奖中获一等奖的次数为X，求 X 的分布列和数学期望【分析】记“甲箱中摸出红球”为事件A，“乙箱中摸出红球”为事件B，根据古典概型可求出P（A）和 P（B）（）由相互独立事件的概率即可得解（或从对立事件的角度考虑也可）；（）先求出“在一次抽奖中，获得一等奖的概率”，随机变量XB（3，），X 的所有可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望解：记“甲箱中摸出红球”为事件A，“乙箱中摸出红球”为事件B，则 P（A），P（B），（）方法一：顾客抽奖 1次能获奖的概率为P方法二：顾客抽奖1 次能获奖的概率为P1（1）（1）（

19、）在一次抽奖中，获得一等奖的概率为P，随机变量X B（3，），X 的所有可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X 2），P（X3）X 的分布列为X0123P数学期望E（X）3 118已知函数f（x）x2lnx（）求曲线f（x）在 x1 处的切线方程；（）求函数yf（x）的极值【分析】（）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出函数的切线方程即可；（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可解：（）f（x）的定义域是（0，+），f（x）2x，f（1）1，f（1），故所求切线斜率k，过（1，1）的直线方程是：y1（x 1），即 3x2y+

20、5 0；（）f（x）2x，令 f（x）0，解得：x，令 f（x）0，解得：0 x，故 f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，故 f（x）的极小值是f（）ln+ln2，无极大值19某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495，（495，500，（500，505，（505，510，（510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（）求a 的值；（）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y的分布列；（）用这 40 件产品组成的样本中各组产品出现的频

21、率估计概率，现在从流水线上任取3 件产品，求恰有2 件产品的重量超过505 克的概率【分析】（）由频率分布直方图中每个矩形面积之和为1，即频率之和为1，解得 a0.06（）40 件产品中任取2 件重量超过505 克的产品数量为：（0.06+0.02）54016，Y 的所有取值为0，1，2，分别计算概率即可得Y 的分布列（）从流水线上任取3件产品，重量超过505 克的概率为，重量不超过505 克的概率为1，由独立重复试验概率计算公式可得答案解：（）由频率分布直方图中每个矩形面积之和为1，可得 0.02 5+0.035+0.075+a5+0.02 51，解得 a0.06（）40 件产品中任取2 件

22、重量超过505 克的产品数量为：（0.06+0.02）5 4016，Y 的所有取值为0，1，2；P（Y0），P（Y1），P（Y2），Y012P（）从流水线上任取3 件产品，重量超过505 克的概率为，重量不超过505 克的概率为1，恰有 2 件产品的重量超过505 克的概率20已知函数f（x）（ax）lnx+x1，其中 a R曲线 yf（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为1（）求a 的值；（）求证：f（x）0【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线斜率可求a；（II）先对函数求导，结合导数可分析单调性，进而可求函数的最值，即可证明解：（I）f（x），由题意可知，1 1，故

23、 a0，（II）证明：由（I）可知 f（x）xlnx+x1，f（x）lnx，易得，当x1 时，f（x）0，函数单调递减，当0 x1 时，f（x）0，函数单调递增，故当 x1 时，函数取得极大值也是最大值f（1）0，故 f（x）021已知函数f（x）+mlnx（）当m1 时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在 x1 处取得极大值，求实数m 的取值范围【分析】（）f（x）定义域为（0，+），求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间即可（）求出函数的导数，通过讨论 当 m0 时，em 0，当 m e 时，判断函数的单调性求解函数的极值即可解：（）f（x）定义域为（0，+），当 m1 时，f（x）+lnx，f（x），令 f（x）0 得 x1，令 f（x）0 得 0 x 1所以f（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）（）f（x），m0 时，ex+m0，f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，函数 f（x）在 x1 处取得极小值，不合题意；当 em0 时，若 x（1，+），则 ex+mexe0此时 f（x）0，函数 f（x）在 x1 处不可能取得极大值 当 m e时，ln（m）1x（0，1）1（1，ln（m）f（x）+0f（x）极大值函数 f（x）在 x1 处取得极大值综上可知，m 的取值范围是（，e）