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1、2019-2020 学年北京市顺义区高二第二学期期末数学试卷一、选择题(共10 小题).1设复数z2+i,则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2不等式x2+x20 的解集为()Ax|2x 1Bx|2x 1Cx|1x2Dx|1x23已知函数f(x)x3 4x,则 f(x)的极大值点为()Ax 4Bx4Cx 2Dx24从 4 个人中任选3 个人分别去完成3项不同的工作,则不同的安排方法有()A12 种B24 种C36 种D64 种5在二项式(2 x)6的展开式中,x4的系数为()A 60B60C 30D306已知随机变量X 的分布列如表(其中a 为常数
2、)X012345P0.10.1A0.30.20.1则 P(1X3)等于()A0.4B0.5C0.6D0.77已知 a R,复数 z13+a2i,z23+(3a2)i,则“a1”是“z1z2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8若a0bc,则下列不等式中恒成立的是()ABa2b2CacbcD9已知函数f(x)ax 2lnx 在区间(1,+)上单调递增,则a 的取值范围是()A(,B,+)C(,2D2,+)10已知函数f(x)ex,g(x)x2+ax(其中 a R)对于不相等的实数x1,x2,设m,n,给出下列三个结论:对于任意不相等的实数x1,x2,都
3、有 m0;对于任意的a 及任意不相等的实数x1,x2,都有 n0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得 mn其中,所有正确结论的序号是()ABCD二、填空题共5小题,每小题5 分,共 25 分11若复数z 满足 z(1i)i,则 z12若 x(0,+),则x+的取值范围是13一批产品的次品率为0.03,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100 次,X表示抽到的次品件数,则E(X)14已知函数f(x)x33x+1,则 f(x)在区间 3,2上的最小值为15已知a R,设函数f(x),若关于x 的不等式f(x)0 在 R上恒成立,则a 的取值范围是三、解答题共6小题,共85 分.解
4、答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.16已知复数zai(a R),且 z(1+i)是纯虚数()求复数z 及|z|;()在复平面内,若复数(zmi)2(m R)对应点在第二象限,求实数m 的取值范围17顺义某商场举行有奖促销活动,顾客购买满一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 8 个红球、4 个黑球的甲箱和装有6 个红球、6 个黑球的乙箱中,各随机摸出1 个球,在摸出的2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1 个红球,则获二等奖,若没有红球,则不获奖()求顾客抽奖1 次能获奖的概率;()若某顾客有3 次抽奖机会,记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X,求 X 的分布列和数学期望
5、18已知函数f(x)x2lnx()求曲线f(x)在 x1 处的切线方程;()求函数yf(x)的极值19某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本并称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495,(495,500,(500,505,(505,510,(510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示()求a 的值;()在上述抽取的40 件产品中任取2 件,设Y 为重量超过505 克的产品数量,求Y的分布列;()用这 40 件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率,现在从流水线上任取3 件产品,求恰有2 件产品的重量超过505 克
6、的概率20已知函数f(x)(ax)lnx+x1,其中 a R曲线 yf(x)在点(e,f(e)处的切线斜率为1()求a 的值;()求证:f(x)021已知函数f(x)+mlnx()当m1 时,求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)在 x1 处取得极大值,求实数m 的取值范围参考答案一、选择题(共10 小题).1设复数z2+i,则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据共轭复数的定义求出共轭复数,结合复数的几何意义进行判断即可解:复数z2+i 的共轭复数2 i,则对应点的坐标为(2,1),该点位于第四象限,故选:D2不等式x2+x20 的
7、解集为()Ax|2x 1Bx|2x 1Cx|1x2Dx|1x2【分析】原不等式可化为(x1)(x+2)0,结合二次函数的图象可得答案解:不等式x2+x20 可化为(x1)(x+2)0,解之可得 2x1,故解集为 x|2 x1故选:A3已知函数f(x)x3 4x,则 f(x)的极大值点为()Ax 4Bx4Cx 2Dx2【分析】求出函数f(x)x34x 的导函数,由导函数等于0 求得导函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性,从而得到函数的极值点解:由 f(x)x34x,得:f(x)x24由 f(x)x24 0,得:x 2,或 x2由 f(
8、x)x24 0,得:2 x2所以,函数f(x)的增区间为(,2),(2,+)函数f(x)的减区间为(2,2)所以,x 2 是函数的极大值点,x2 是函数的极小值点故选:C4从 4 个人中任选3 个人分别去完成3项不同的工作,则不同的安排方法有()A12 种B24 种C36 种D64 种【分析】根据题意,分2 步进行分析:先在4 个人中任选3 个人,再将选出的3 人全排列,安排去完成3 项不同的工作,由分步计数原理计算可得答案解:根据题意,先在4 个人中任选3 个人,有C43种选法,再将选出的3 人全排列,安排去完成3 项不同的工作,有A33种情况,则有 C43A3324 种安排方法;故选:B5
9、在二项式(2 x)6的展开式中,x4的系数为()A 60B60C 30D30【分析】先求出通项公式,再令x 的指数为4 即可求解结论解:二项式(2 x)6的展开式的通项公式为:Tr+1?26r?(x)r;令 r4 可得:?264?(1)4154 160;故选:B6已知随机变量X 的分布列如表(其中a 为常数)X012345P0.10.1A0.30.20.1则 P(1X3)等于()A0.4B0.5C0.6D0.7【分析】根据概率之和为1 计算A,再计算P(1X3)解:由概率之和等于1 可知 A0.2,P(1 X3)0.1+0.2+0.30.6故选:C7已知 a R,复数 z13+a2i,z23+
10、(3a2)i,则“a1”是“z1z2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据复数相等的条件求出a 的值,再根据充分条件,必要条件的定义即可判断解:复数z13+a2i,z23+(3a2)i,若“z1z2”,则 a23a2,解得 a1 或 a2,“a1”是“z1z2”的充分而不必要条件,故选:A8若 a0b c,则下列不等式中恒成立的是()ABa2b2Cac bcD【分析】直接利用不等式的性质的应用和赋值法的应用求出结果解:由于 a0 b,故,故选项A 错误 当 a1,b 2 时,a2b2,故选项B 错误 由于 a0bc,所以 acbc,故选项
11、C 错误 由于 a0bc,所以,故选项D 成立故选:D9已知函数f(x)ax 2lnx 在区间(1,+)上单调递增,则a 的取值范围是()A(,B,+)C(,2D2,+)【分析】求出函数的导数,利用导函数的符号,结合单调区间,求解即可解:函数y ax2lnx 在(1,+)内单调递增,当 x1 时,y a0 恒成立,即 a,a2,即 a 的取值范围为2,+),故选:D10已知函数f(x)ex,g(x)x2+ax(其中 a R)对于不相等的实数x1,x2,设m,n,给出下列三个结论:对于任意不相等的实数x1,x2,都有 m0;对于任意的a 及任意不相等的实数x1,x2,都有 n0;对于任意的a,存
12、在不相等的实数x1,x2,使得 mn其中,所有正确结论的序号是()ABCD【分析】运用指数函数的单调性,即可判断;由二次函数的单调性,即可判断;通过函数 h(x)x2+axex,求出导数判断单调性,即可判断;解:对于 ,由于 e1,由指数函数的单调性可得f(x)在 R 上递增,即有m0,则 正确;对于 ,由二次函数的单调性可得g(x)在(,)递减,在(,+)递增,则 n0 不恒成立,则 错误;对于 ,由 mn,可得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2),即为g(x1)f(x1)g(x2)f(x2),考查函数h(x)x2+axex,h(x)2x+aex,当 a,h(x)小于 0,h(x)单调递
13、减,则 错误;故选:A二、填空题共5小题,每小题5 分,共 25 分11若复数z 满足 z(1i)i,则 z【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解:由 z(1i)i,得 z,故答案为:12若 x(0,+),则x+的取值范围是4,+)【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解解:因为x0,则 x+24,当且仅当x即 x2 时取等号,此时取得最小值4,则 x+的取值范为 4,+)故答案为:4,+)13一批产品的次品率为0.03,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100 次,X表示抽到的次品件数,则E(X)3【分析】推导出XB(100,0.03),由此利用二项分布的性质能
14、求出E(X)解:一批产品的二等品率为0.03,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100 次,X 表示抽到的二等品件数,XB(100,0.03),E(X)1000.033故答案为:314已知函数f(x)x33x+1,则 f(x)在区间 3,2上的最小值为17【分析】求出导函数,判断函数的单调性,求出函数的极值,求出端点值,比较即可求出最值解:由于f(x)x33x+1,f(x)3x233(x+1)(x 1)f(x)0,得到 x1,x 1,f(x)在 3,1)上是增函数,f(x)在(1,2上是增函数,而 x(1,1),f(x)0,f(x)在(1,1)上是减函数;可得 f(3)27+9+1 17
15、,f(1)13+1 3,f(1)1+3+13,f(2)86+1 3,f(x)在区间 3,2上的最小值为17故答案为:1715已知a R,设函数f(x),若关于x 的不等式f(x)0 在 R上恒成立,则a 的取值范围是1,e【分析】分2 段代解析式后,分离参数a,再构造函数求最值可得解:当 x1 时,f(x)x23x+2a0 等价于 a恒成立,令 g(x)(x23x)(x)2+,其中 x 1,则 g(x)max1 即此时 a1当 x1 时,f(x)xalnx 0 等价于 a恒成立,令 h(x),则 h(x),当 xe时,h(x)0,h(x)递增,当 1x e时,h(x)0,h(x)递减,xe时,
16、h(x)取得最小值h(e)e,ah(x)min e,综上:a 的取值范围是1,e故答案为:1,e三、解答题共6小题,共85 分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.16已知复数zai(a R),且 z(1+i)是纯虚数()求复数z 及|z|;()在复平面内,若复数(zmi)2(m R)对应点在第二象限,求实数m 的取值范围【分析】()把za i(a R)代入 z(1+i),利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0 且虚部不为0 列式求解 a 值,则 z 可求,再由复数模的计算公式求|z|;()把zai(a R)代入(zmi)2(m R),展开后由实部小于0 且虚部大于0列不等式组
17、求解解:()zai(a R),且 z(1+i)是纯虚数,(ai)(1+i)(a+1)+(a1)i 是纯虚数,则,即 a 1z 1i,|z|;()(zmi)21(m+1)i21(m+1)2+2(m+1)i,由题意可得,解得 m0实数 m 的取值范围是(0,+)17顺义某商场举行有奖促销活动,顾客购买满一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 8 个红球、4 个黑球的甲箱和装有6 个红球、6 个黑球的乙箱中,各随机摸出1 个球,在摸出的2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1 个红球,则获二等奖,若没有红球,则不获奖()求顾客抽奖1 次能获奖的概率;()若某顾客有3 次抽奖机会,记该顾客在3
18、次抽奖中获一等奖的次数为X,求 X 的分布列和数学期望【分析】记“甲箱中摸出红球”为事件A,“乙箱中摸出红球”为事件B,根据古典概型可求出P(A)和 P(B)()由相互独立事件的概率即可得解(或从对立事件的角度考虑也可);()先求出“在一次抽奖中,获得一等奖的概率”,随机变量XB(3,),X 的所有可能取值为0,1,2,3,然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列,进而求得数学期望解:记“甲箱中摸出红球”为事件A,“乙箱中摸出红球”为事件B,则 P(A),P(B),()方法一:顾客抽奖 1次能获奖的概率为P方法二:顾客抽奖1 次能获奖的概率为P1(1)(1)(
19、)在一次抽奖中,获得一等奖的概率为P,随机变量X B(3,),X 的所有可能取值为0,1,2,3,P(X0),P(X1),P(X 2),P(X3)X 的分布列为X0123P数学期望E(X)3 118已知函数f(x)x2lnx()求曲线f(x)在 x1 处的切线方程;()求函数yf(x)的极值【分析】()求出函数的导数,计算f(1),f(1)的值,求出函数的切线方程即可;()求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出函数的极值即可解:()f(x)的定义域是(0,+),f(x)2x,f(1)1,f(1),故所求切线斜率k,过(1,1)的直线方程是:y1(x 1),即 3x2y+
20、5 0;()f(x)2x,令 f(x)0,解得:x,令 f(x)0,解得:0 x,故 f(x)在(0,)递减,在(,+)递增,故 f(x)的极小值是f()ln+ln2,无极大值19某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本并称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495,(495,500,(500,505,(505,510,(510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示()求a 的值;()在上述抽取的40 件产品中任取2 件,设Y 为重量超过505 克的产品数量,求Y的分布列;()用这 40 件产品组成的样本中各组产品出现的频
21、率估计概率,现在从流水线上任取3 件产品,求恰有2 件产品的重量超过505 克的概率【分析】()由频率分布直方图中每个矩形面积之和为1,即频率之和为1,解得 a0.06()40 件产品中任取2 件重量超过505 克的产品数量为:(0.06+0.02)54016,Y 的所有取值为0,1,2,分别计算概率即可得Y 的分布列()从流水线上任取3件产品,重量超过505 克的概率为,重量不超过505 克的概率为1,由独立重复试验概率计算公式可得答案解:()由频率分布直方图中每个矩形面积之和为1,可得 0.02 5+0.035+0.075+a5+0.02 51,解得 a0.06()40 件产品中任取2 件
22、重量超过505 克的产品数量为:(0.06+0.02)5 4016,Y 的所有取值为0,1,2;P(Y0),P(Y1),P(Y2),Y012P()从流水线上任取3 件产品,重量超过505 克的概率为,重量不超过505 克的概率为1,恰有 2 件产品的重量超过505 克的概率20已知函数f(x)(ax)lnx+x1,其中 a R曲线 yf(x)在点(e,f(e)处的切线斜率为1()求a 的值;()求证:f(x)0【分析】(I)先对函数求导,然后结合导数的几何意义及已知切线斜率可求a;(II)先对函数求导,结合导数可分析单调性,进而可求函数的最值,即可证明解:(I)f(x),由题意可知,1 1,故
23、 a0,(II)证明:由(I)可知 f(x)xlnx+x1,f(x)lnx,易得,当x1 时,f(x)0,函数单调递减,当0 x1 时,f(x)0,函数单调递增,故当 x1 时,函数取得极大值也是最大值f(1)0,故 f(x)021已知函数f(x)+mlnx()当m1 时,求函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)在 x1 处取得极大值,求实数m 的取值范围【分析】()f(x)定义域为(0,+),求出函数的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间即可()求出函数的导数,通过讨论 当 m0 时,em 0,当 m e 时,判断函数的单调性求解函数的极值即可解:()f(x)定义域为(0,+),当 m1 时,f(x)+lnx,f(x),令 f(x)0 得 x1,令 f(x)0 得 0 x 1所以f(x)的增区间为(1,+),减区间为(0,1)()f(x),m0 时,ex+m0,f(x)在(0,1)递减,在(1,+)递增,函数 f(x)在 x1 处取得极小值,不合题意;当 em0 时,若 x(1,+),则 ex+mexe0此时 f(x)0,函数 f(x)在 x1 处不可能取得极大值 当 m e时,ln(m)1x(0,1)1(1,ln(m)f(x)+0f(x)极大值函数 f(x)在 x1 处取得极大值综上可知,m 的取值范围是(,e)
限制150内