2020年四川省乐山市高考数学三诊试卷(理科)(解析版).pdf

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1、2020 年乐山市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知集合M2，0，1，Nx N|2x3，则 MN（）A2，1，0，1，2，3B2，0，1，2，3C2，0，1，2D2，1，0，1，22已知复数za+（1a）i（i 为虚数单位，a R），则“a（0，2）”是“在复平面内复数 z 所对应的点位于第一象限”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知函数f（x）是奇函数，且x0 时，?(?)=?+12?，则 f（2）（）A2B 2C3D 34已知 a=?，blog54421，c（13）2.9，则（）AabcBacbCbcaDca b5已知向量?与

2、向量?=（4，6）平行，?=（5，1），且?=?，则?=（）A（4，6）B（4，6）C(21313，31313)D(-21313，-31313)6支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100 名居民（男女居民各50 名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的22 列联表：支付方式性别支付宝支付微信支付男4010女2525附表及公式：?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（）A在犯错的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”B在犯错

3、的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C有 99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”D有 99.9%以上的把握认为“支付方式与性别无关”7秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入x2，n2，依次输入a 为 1，2，4，则输出的S 的值为（）A4B10C11D128数列 an中，已知对任意n N*，a1+a2+an3n 1，则 a12+a22+an2（）A9?-12B9?+12C9?-22D9?+229双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区

4、域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A(?，52)B(52，+)C(?，54)D(54，+)10已知角的始边与x 的非负半轴重合，与圆C：x2+y24 相交于点A，终边与圆C 相交于点 B，点 B 在 x 轴上的射影为点C，ABC 的面积为S（），则函数S（）的图象大致是（）ABCD11已知 ABCD 是球 O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且 AC4，BD2，ACD ACB=?3，则点 A 到平面 BCD 的距离为（）A2 63B4 63C2 33D4 3312已知函数f（x）4sin（2x-?6），x?，43?3，若函数F（x）f（x）3 的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且

5、x1x2x3 xn，则 x1+2x2+2x3+2xn1+xn（）A1190?3B1192?3C398D1196?3二、填空题：13已知函数f（x）x3+2xf（1）1，则函数 f（x）在（1，f（1）处的切线方程为14七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为15已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的左焦点为F，A、B 分别为 C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线 xa 的交点为M，若?=?，且 AFM 的面积为9 32，则椭圆的

6、标准方程为16我们把一系列向量?（i1，2，n）按次序排列成一列，称之为向量列，记作?已知向量列?满足：?=（1，1），?=（xn，yn）=12（xn1yn1，xn1+yn1）（n2），设 n表示向量?-?与?的夹角，若?=?2?，对于任意正整数n，不等式 1?+1+1?+2+?+1?2?12?(?-?)恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据需求作答（一）必考题17在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 cos2C cos2B sin2AsinAsin

7、C（1）求角 B 的值；（2）若 a+c7，?=?，求 ABC 的面积18为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3 个监测站，并以 9 个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量（1）若某日播报的AQI 为 119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为 115，求重度污染区AQI 平均值；（2）如图是 2018年 11 月份 30天的 AQI 的频率分布直方图，11月份仅有 1天 AQI 在140，150）内 某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI 小于 150 就组织学生

8、参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；环卫部门从11 月份 AQI 不小于 170 的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中 AQI 值不小于200 的天数的分布列和数学期望19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC AA1，?=2?3，E、F 分别为 AB、B1C1的中点，G 为线段 CC1上的动点（1）证明：EF 平面 AA1C1C；（2）当二面角FA1G C1的余弦值为 2114时，证明：BF A1G20已知抛物线C：y2 4x，过点 P（2，0）的直线与抛物线C 相交于 M、N 两点（1）若点 Q 是点 P 关于坐标原点O 的对称点

9、，求MQN 面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l，使得 l 被以 PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由21已知函数f（x）lnx+2xax2（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当 a1 时，判断并说明函数g（x）f（x）3cosx 的零点个数若函数g（x）所有零点均在区间m，n（m Z，n Z）内，求nm 的最小值（二）选考题选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?=?+?=?（为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox（）求曲线C 的极坐标方程；（）已知A，B 是曲线

10、C 上任意两点，且AOB=?4，求 OAB 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 a，b，c 为正数，且满足a+b+c3（1）证明：?+?+?（2）证明：9ab+bc+4ac12abc参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合M2，0，1，Nx N|2x3，则 MN（）A2，1，0，1，2，3B2，0，1，2，3C2，0，1，2D2，1，0，1，2【分析】求出集合M，N，由此能求出MN解：集合M2，0，1，Nx N|2 x31，0，1，2，故 MN2，1，0，1，2，故选：D2已知复数za+（1a）i（i 为虚数单位，a R），则“a（0，2）”是

11、“在复平面内复数 z 所对应的点位于第一象限”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据复数的几何意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：za+（1a）i 对应点的坐标为（a，1a），若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，则?-?得?，得 0a1，则“a（0，2）”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件，故选：B3已知函数f（x）是奇函数，且x0 时，?(?)=?+12?，则 f（2）（）A2B 2C3D 3【分析】由已知奇函数可得f（2）f（2），代入即可直接求解解：因为f（x）是奇函数，所以?(-?)=-?(?

12、)=-?2+12?=-?，故选：D4已知 a=?，blog54421，c（13）2.9，则（）AabcBacbCbcaDca b【分析】先化简，和0，1，b 比较，然后可得出结论【解答】解析：依题意?=?=?14?=?，?=?54421?54?=?，?=(13)?.?(13)?=?故选：B5已知向量?与向量?=（4，6）平行，?=（5，1），且?=?，则?=（）A（4，6）B（4，6）C(21313，31313)D(-21313，-31313)【分析】设出向量?，利用向量的数量积转化求解即可解：因为向量?与向量?=(?，?)平行，可设?=(?，32?)，由?=?可得-?+32?=?，得 k 4

13、，所以?=(-?，-?)，故选：B6支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100 名居民（男女居民各50 名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的22 列联表：支付方式性别支付宝支付微信支付男4010女2525附表及公式：?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（）A在犯错的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”B在犯错的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C有 99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”D有 9

14、9.9%以上的把握认为“支付方式与性别无关”【分析】由列联表中的数据结合公式求得K2，再结合临界值表得结论解：由 22 列联表得到a40，b10，c25，d25，代入?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，解得?=100 (1000-250)250 50 65 35?.?，6.635 9.8910.828，有 99%以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选：C7秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入x2，n2，依次输入a 为 1，2，4，则输出的S 的值为（）A4B10C11D12【分析】由已知中的程序语句可知：该程序

15、的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得输入 a1 时，s0 2+1 1，k0+11，此时 k12 不成立；输入 a2 时，s1 2+2 4，k1+12，此时 k22 不成立；输入 a4 时，s4 2+4 12，k 2+1 3，此时 k 32 成立；输出的 S的值为 12故选：D8数列 an中，已知对任意n N*，a1+a2+an3n 1，则 a12+a22+an2（）A9?-12B9?+12C9?-22D9?+22【分析】由已知条件推导出?=(?-?)-(?-?-?)=?-?(?)，由此求出 an为等比数列

16、，首项a12，公比为q 3，从而能求出a12+a22+an2的值解：?+?+?+?=?-?当?，?+?+?+?-?=?-?-?，得?=(?-?)-(?-?-?)=?-?(?)，又?=?-?=?，符合?=?-?，an为等比数列，首项a12，公比为q 3，?为等比数列，首项?=4，公比为q29，故选：A9双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是（）A(?，52)B(52，+)C(?，54)D(54，+)【分析】由于双曲线的一条渐近线方程为：y=?x，及点（2，1）在“右”区域内，

17、得出?12，从而得出双曲线离心率e 的取值范围解：双曲线?2?2-?2?2=?(?，?)的一条渐近线方程为：y=?x，点（2，1）在“右”区域内，?2 1，即?12，e=?=?+(?)?52，又 e1，则双曲线离心率e 的取值范围是（52，+）故选：B10已知角的始边与x 的非负半轴重合，与圆C：x2+y24 相交于点A，终边与圆C 相交于点 B，点 B 在 x 轴上的射影为点C，ABC 的面积为S（），则函数S（）的图象大致是（）ABCD【分析】由题可知，点A（2，0），点 B（2cos，2sin），点 C（2cos，0），则?(?)=12|?|?|?|=12(?-?)?|?|?，故排除选项

18、C 和 D，又因为当?=3?4时，S（）2，排除选项B，可得所求图象解：由题知，点A（2，0），点 B（2cos，2sin），点 C（2cos，0），则?(?)=12|?|?|?|=12(?-?)?|?|?，故排除选项C 和 D，又因为当?=3?4时，S（）=12(?+?22)?22=?+?2，排除选项B故选：A11已知 ABCD 是球 O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且 AC4，BD2，ACD ACB=?3，则点 A 到平面 BCD 的距离为（）A2 63B4 63C2 33D4 33【分析】由题意画出图形，可得ABC ADC 90，再由 ACD ACB=?3，得到 BC、CD、AB、A

19、D 的长，取 BD 中点 G，连接 AG，CG，得 AGBD，CGBD，分别求出三角形AGC 与三角形 BCD 的面积，则由等体积法求A 到平面 BCD 的距离解：如图，由球O 的半径为2，且 AC4，可知 AC 为球 O 的直径，又 B，D 均在球 O 的表面上，可得ABC ADC90，又 ACD ACB=?3，BCCD 2，则 ABAD=?取 BD 中点 G，连接 AG，CG，得 AGBD，CGBD，又 AGCGG，BD平面 AGC，在 BCD 中，求得CG=?，在 ABD 中，求得AG=(?)?-?=?，又 AC4，由余弦定理可得cosAGC=?2+?2-?22?=11+3-162113

20、=-133，则 sinAGC=?-?=3233?=12?3233=?-?=13?=423又?=12?32=?，设 A 到平面 BCD 的距离为h，由?-?=13?=33?=423，得 h=463平面 BCD 的距离为4 63故选：B12已知函数f（x）4sin（2x-?6），x?，43?3，若函数F（x）f（x）3 的所有零点依次记为x1，x2，x3，xn，且 x1x2x3 xn，则 x1+2x2+2x3+2xn1+xn（）A1190?3B1192?3C398D1196?3【分析】函数 F（x）f（x）3 的所有零点，转化为函数f（x）4sin（2x-?6），x?，43?3与 y3 的交点问题

21、，求出函数f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案解：函数f（x）4sin（2x-?6），x?，43?3，令 2x-?6=?2+k得 x=12?+?3，k Z，即 f（x）的对称轴方程为x=12k+?3，k Zf（x）的最小正周期为T，0 x43?3，当 k0 时，可得第一根对称轴x=?3，当 k28 时，可得x=43?3，f（x）在 0，43?3上有 29 条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f（x）4sin（2x-?6），x?，43?3与 y3 的交点有29 个点，即 x1，x2关于?3对称，x2，x3关于5?6对称，即 x1+x2=2?62，x2+x

22、3=5?62，x28+x29283?6，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+2x28+x292（2?6+5?6+?+83?6）（2+5+8+83）?3=11903故选：A二、填空题：13已知函数f（x）x3+2xf（1）1，则函数 f（x）在（1，f（1）处的切线方程为3x+y+30【分析】求得函数f（x）x3+2xf（1）1 的导数，再令x 1，可得切线的斜率，求得f（1），可得切点，再由点斜式方程可得切线的方程解：因为f（x）3x2+2f（1），则 f（1）3+2f（1），得 f（1）3，则 f（1）1+2（3）1 6，故切线方程为y（6）3（x1），即 3x+y+30故答案为：3x+

23、y+3014七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为38【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可解：设拼成的正方形的面积为1，由图知，最大的三角形面积为14，最小的三角形面积为116，平行四边形的面积是最小三角形面积的2 倍，由此可得阴影部分的面积为38，则所求的概率为38故答案为：3815已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）的左焦点为F，A、B 分别为 C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线 x

24、a 的交点为M，若?=?，且 AFM 的面积为9 32，则椭圆的标准方程为?24+?23=1【分析】由?=?，且 OBAM（O 为坐标原点），可得|?|?|=|?|?|=13，可得 a，c 的关系，及面积的值可得a，b 的值，进而求出椭圆的方程解：由?=?，且 OBAM（O 为坐标原点），得|?|?|=|?|?|=13，所以 a2c，|AM|3b，?=?，又因为?=12(?+?)?=932，解得 c 1，所以 a2，?=?，故椭圆的标准方程为?24+?23=?故答案为：?24+?23=116我们把一系列向量?（i1，2，n）按次序排列成一列，称之为向量列，记作?已知向量列?满足：?=（1，1）

25、，?=（xn，yn）=12（xn1yn1，xn1+yn1）（n2），设 n表示向量?-?与?的夹角，若?=?2?，对于任意正整数n，不等式 1?+1+1?+2+?+1?2?12?(?-?)恒成立，则实数 a 的取值范围是（0，?-1）【分析】运用向量的夹角公式，可得?=?4，?=?24，令?(?)=2?+1+2?+2+?+22?，判断 f（n）的单调性，求得f（n）的最小值，可得关于a 的不等式，解不等式可得所求范围解：?=?-1?|?-1|?|=(?-1，?-1)?(12(?-1-?-1)，12(?-1+?-1)?-12+?-1212(?-1-?-1)2+12(?-2+?-1)2=12?-1

26、2+12?-12?-12+?-1212?-12+12?-12=22，所以?=?4，故?=?24，1?+1+1?+2+?+1?2?=2?+1+2?+2+?+22?，令?(?)=2?+1+2?+2+?+22?，则?(?+?)-?(?)=(2?+2+2?+3+?+22(?+1)-(2?+1+2?+2+?+22?)=22?+1-22?+2?，所以 f（n）单调递增，所以f（n）minf（1）1，则?12?(?-?)，因为 12a0，所以?12，则 12a a2，解得-?-?-?+?，综上所述，?(?，?-?)故答案为：（0，?-1）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤第1721 题为必考

27、题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据需求作答（一）必考题17在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 cos2C cos2B sin2AsinAsinC（1）求角 B 的值；（2）若 a+c7，?=?，求 ABC 的面积【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦、余弦定理，即可求得B 的值；（2）利用余弦定理和三角形面积公式，即可求出三角形的面积解：（1）由 cos2Ccos2Bsin2AsinAsinC，得 sin2Bsin2Csin2AsinAsinC，由正弦定理得b2c2a2ac，即 a2+c2 b2ac，所以?=?2+?2-?22?=12；又因为

28、0B，所以?=?3（2）由（1）得 b2a2+c22accosBa2+c2 ac，即 a2+c2ac13，所以（a+c）2 3ac13，即 ac12，所以?=12?=12?32=?18为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3 个监测站，并以 9 个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量（1）若某日播报的AQI 为 119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为 115，求重度污染区AQI 平均值；（2）如图是 2018年 11 月份 30天的 AQI 的频率分布直方图，11月

29、份仅有 1天 AQI 在140，150）内 某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI 小于 150 就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；环卫部门从11 月份 AQI 不小于 170 的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中 AQI 值不小于200 的天数的分布列和数学期望【分析】（1）设重度污染区AQI 平均值为 x，利用频率分布直方图的性质列出方程，能求出重度污染区AQI 平均值（2）AQI在140，170）上的有8900?=?天，AQI在170，200）上的有5900?=?天，AQI在200，230）上的有2900?=?天，由此能求

30、出11 月份 AQI 不小于 150 天的共 14 天从而能求出能参加户外活动的概率 AQI 不小于 170 天的共 7 天，不小于 200 天的共 2 天，x 的所有可能取值为0，1，2 分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望解：（1）设重度污染区AQI 平均值为x，则 1199702+1154+3x，解得 x157重度污染区AQI 平均值为157（2）AQI 在 140，170）上的有8900?=?天，AQI 在170，200）上的有5900?=?天，AQI 在200，230）上的有2900?=?天，所以 11 月份 AQI 不小于 150天的共 8+5+2114 天即能参加

31、户外活动的概率为?=?-1430=815 AQI 不小于 170 天的共 7 天，不小于200 天的共 2 天，x 的所有可能取值为0，1，2?(?=?)=?38?78=27，?(?=?)=?32?21?73=47，?(?=?)=?31?22?73=17，X 的分布列为：X012P274717?=?27+?47+?17=6719如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC AA1，?=2?3，E、F 分别为 AB、B1C1的中点，G 为线段 CC1上的动点（1）证明：EF 平面 AA1C1C；（2）当二面角FA1G C1的余弦值为 2114时，证明：BF A1G【分析】（1）取BC的中点M，

32、连接EM、FM，推出平面EMF平面AA1C1C，然后证明 EF 平面 AA1C1C（2）不妨设 ABACAA11，建立空间直角坐标系A1xyz，设 G（0，1，h），?(32，-12，?)，求出设平面A1FG 的一个法向量，平面A1GC1的一个法向量利用空间向量的数量积求解二面角，推出h，然后证明?=?，得到 BFA1G【解答】（1）证明：取BC 的中点 M，连接 EM、FM，因为 E、F 分别为 AB、B1C1的中点，所以 EM AC，MF CC1，EM MF M，ACCC1C，所以平面EMF 平面 AA1C1C，又因为 EF?平面 EMF，EF?平面 AA1C1C，所以 EF 平面 AA1

33、C1C（2）解：不妨设ABACAA11，由余弦定理得?=?，如图建立空间直角坐标系A1xyz，设 G（0，1，h），?(32，-12，?)，?(32，-12，?)，C1（0，1，0），E、F 分别为 AB、B1C1的中点，G 为线段 CC1上的动点所以?(34，14，?)，设平面A1FG 的一个法向量为?=(?，?，?)，则?=(?，?，?)，?=(34，14，?)，则，?=?=?，可得?+?=?34?+14?=?，可取?=(?，-?，?)，易知平面A1GC1的一个法向量为?=(?，?，?)，所以?，?=?|?|?|?|=?4?2+3=2114，解得?=34，此时?=(-34，34，-?)，?

34、=(?，?，34)，所以?=?，即 BF A1G20已知抛物线C：y2 4x，过点 P（2，0）的直线与抛物线C 相交于 M、N 两点（1）若点 Q 是点 P 关于坐标原点O 的对称点，求MQN 面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l，使得 l 被以 PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由【分析】（1）求出点Q 的坐标，可设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN 的方程为x my+2，联立?=?+?=?，得 y2 4my8 0，利用韦达定理，结合三角形的面积，求解即可（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为xa，得到 PM 为直径

35、的圆的方程为（x2）（xx1）+y（yy1）0，将直线 xa 代入，得y2y1y+（a2）（ax1）0，利用韦达定理以及判别式大于0，弦长公式求出|AB|，然后求解直线方程解：（1）依题意，点Q 的坐标为Q（2，0），可设M（x1，y1），N（x2，y2），直线 MN 的方程为 xmy+2，联立?=?+?=?，得 y24my80，则 y1+y24m，y1?y2 8，所以?=12?|?-?|=?(?+?)?-?=?+?，即当 m0 时，MQN 面积的最小值为?（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为xa，则以 PM 为直径的圆的方程为（x 2）（xx1）+y（yy1）0，将直线 xa 代入，得

36、y2y1y+（a2）（a x1）0，则=?-?(?-?)(?-?)=?(?-?)?+?(?-?)?，设直线 l 与以 PM 为直径的圆的交点为A（a，y3），B（a，y4），则 y3+y4y1，y3?y4（a2）（ax1），于是有|?|=|?-?|=?(?-?)?+?(?-?)=?(?-?)?+?(?-?)，当 a1 0，即 a 1时，|AB|2 为定值故满足条件的直线l 存在，其方程为x121已知函数f（x）lnx+2xax2（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当 a1 时，判断并说明函数g（x）f（x）3cosx 的零点个数若函数g（x）所有零点均在区间m，n（m 一、选择题，n Z）内

37、，求nm 的最小值【分析】（1）求导，分a 0，a0 及 a0 分别讨论导函数与0 的关系，进而得出单调性情况；（2）求出 g（x），分 x（0，1，?(?，?2，?(?2，?，x（，4，x（4，+）分别讨论零点情况，由此即可得出结论解：（1）函数的定义域为（0，+），?(?)=-2?2+2?+1?，当 a0 时，?(?)=2?+1?，故函数f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，2ax2 0，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，令 2ax2+2x+10，解得?=1+1+2?2?，?=1-1+2?2?（舍），当 x（0，x1）时，f（x）0，当 x（x1，+）

38、时，f（x）0，故函数 f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+）上单调递增；（2）当 a1 时，f（x）lnx+2xx2（x0），g（x）lnx+2xx23cosx（x0），当 x（0，1时，f（x）lnx+2x x2单调递增，?(?)?(?)=?，?3=32，则 g（x）0，函数 g（x）不存在零点；当?(?，?2时，?(?)=1?+?-?+?，?(?)=1?+?-?在(?，?2上单调递减，?(?)?(?2)=2?+?-?.?6=32，?(?)2?+?-?+32?，g（x）单增，又?(?)=?-?，?(?2)=?2+?-?24?，存在唯一?(?，?2，使得 g（x）0；当?(?2，?

39、时，?(?)=1?+?-?+?，?(?)=-1?2-?+?，g（x）单减，又?(?2)=2?+?-?+?，?(?)=1?+?-?，存在?(?2，?，使得 g（x0）0，g（x）在(?2，?)递增，在（x0，递减，又?(?2)?，?(?)=?+?-?+?，g（x）0 在?(?2，?恒成立，不存在零点；当 x（，4时，?(?)=-1?2-?+?，g（x）单减，又 g（）0，g（x）0，g（x）单减，又 g（）0，g（4）ln4+8163cos4 0，存在唯一x （，4，使得 g（x）0，；当 x（4，+）时，g（x）x1+2x x2+3 x2+3x+20，故不存在零点；综上，g（x）存在两个零点?

40、(?，?2，?(?，?，nm 的最小值为3（二）选考题选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?=?+?=?（为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox（）求曲线C 的极坐标方程；（）已知A，B 是曲线 C 上任意两点，且AOB=?4，求 OAB 面积的最大值【分析】（）消去参数，得到曲线C 的标准方程为：（x2）2+y24，故曲线 C 的极坐标方程为 4cos（）根据极径的几何意义、面积公式、三角函数的性质可得解：（）消去参数，得到曲线C 的标准方程为：（x2）2+y24，故曲线C 的极坐标方程为 4cos（）极坐标系OX 中，不妨

41、设A（1，0），B（2，0+?4），其中 10，20，-?2?2，由（）知：14cos0，24cos（0+?4），OAB 的面积 S=1212sin?4=4?cos0cos（0+?4），S 4cos204sin0cos02cos202sin0+22?cos（20+?4）+2，当 20=-?4时，即 0=-?8，cos（20+?4）有最大值1，此时 Smax2+2?，故 OAB 的面积的最大值为2+2?选修 4-5：不等式选讲23已知 a，b，c 为正数，且满足a+b+c3（1）证明：?+?+?（2）证明：9ab+bc+4ac12abc【分析】（1）根据基本不等式，借助综合法即可证明，（2）方法

42、一：利用分析法，根据基本不等式即可证明，方法一：利用分析法，根据柯西不等式即可证明【解答】证明：（1）a，b，c 为正数，a+b2?，a+c2?，b+c2?，2（a+b+c）2?+2?+2?，当且仅当abc1 时取等号，?+?+?（2）方法一：要证9ab+bc+4ac12abc，只需证1?+4?+9?12，即证（1?+4?+9?）（a+b+c）36，即证 1+4+9+4?+?+9?+?+9?+4?36，即证4?+?+9?+?+9?+4?22，因为4?+?2?=4，9?+?2?=6，9?+4?2?=12，4?+?+9?+?+9?+4?22，当且仅当a=12，b1，c=32取等号，从而 9ab+bc+4ac12abc方法二：要证9ab+bc+4ac12abc，只需证1?+4?+9?12，即证（1?+4?+9?）（a+b+c）36，根据柯西不等式可得（1?+4?+9?）（a+b+c）（1?+2?+3?）2（1+2+3）236，当且仅当a=12，b1，c=32取等号从而 9ab+bc+4ac12abc