浙江省2020届高三第一次联考试题数学【含解析】.pdf

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1、浙江省 2020 届高三第一次联考试题数学一、选择题1.已知集合|(3)(1)0Axxx，1|1Bx x，则RC AB（）A.1,0)(2,3B.(2,3C.(,0)(2,)D.(1,0)(2,3)【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A，B利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合|(3)(1)0Axxx，1|1Bxx，所以|3Ax x或1x，|2Bx x或0 x，所以|13RC Axx，所以RC AB|23xx或10 x，故选 A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193xyC，则C的离心率为（）A

2、.32B.3C.2 33D.2【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程得229,3ab，又根据222cab，可得,a c的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3ab，又根据2229312cab，解得：3,2 3ac，所以2 33cea，故选 C.【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b是不同的直线，是不同的平面，若a，b，/a，则下列命题中正确的是（）A.bB./bC.D./【答案】C【解析】【分析】构造长方体中的线、面与直线,a b相对应，从而直观地发现成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCDA B C D中，令平面为底面ABCD，平

3、面为平面11BCC B，直线a为1AA若直线AB为直线b，此时b，且，故排除 A,B,D；因为a，/a，所以内存在与a平行的直线，且该直线也垂直，由面面垂直的判定定理得：，故选 C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y满足312(1)xxyyx，则2zxy的最大值为（）A.11 B.10 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2zxy的几何意义，当直线2yxz在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条

4、件312(1)xxyyx所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2zxy的几何意义，当直线2yxz在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，当直线过点(3,4)A时，其截距最大，所以max23410z，故选 B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2yxz在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C的方程为22(3)1xy，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3 的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是（）A.1 B.3 C.5 D.-7【答案】A【解析】【分析】设0(0,)Ay，以A为圆心、半径为3 的圆与圆C有公共点，可得圆心距大于半径差

5、的绝对值，同时小于半径之和，从而得到077y.【详解】设0(0,)Ay，两圆的圆心距2203dy，因为以A为圆心、半径为3 的圆与圆C有公共点，所以220313 1234dy，解得077y，选项 B、C、D不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log,0 xxf xxx，若1f a，则实数a的取值范围是（）A.(42,)B.1,2C.4,0)(0,2D.4,2【答案】D【解析】【分析】不等式1f a等价于0,211,aa或20,log1

6、,aa分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围.【详解】1f a0,21 1,aa或20,log1,aa，解得：40a或02a，即4,2a，故选 D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a进行分类讨论，使()f a取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(|)cosf xxx，以下哪个是()f x 的图象（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由2x时的函数值，排除C,D；由2x的函数值和322x函数值的正负可排除A.【详解】当2x时，(2)ln 20f排除 C,D，当2x时，()02f，当322x时，ln0,cos0 xx，所以()0

7、fx排除 A,故选 B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD中，4AB，3AD，E为边AD上的一点，1DE，现将ABE沿直线BE折成A BE，使得点A在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界），设二面角ABEC的大小为，直线A B，A C与平面BCDE所成的角分别为,，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由折叠前后图象的对比得点A在面BCDE内的射影O在线段 OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan,tan,tan的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD中，过A

8、作AFBE交于点O，将ABE沿直线BE折成A BE，则点A在面BCDE内的射影O在线段 OF 上，设A到平面BCDE上的距离为h，则hAO，由二面角、线面角的定义得：tanhOO，tanhO B，tanhO C，显然,O OO B O OO C，所以tan最大，所以最大，当O与O重合时，max(tan)hOB，min(tan)hOC，因为hOBhOC，所以max(tan)min(tan)，则tantan，所以，所以，故选 D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f xxaxb a

9、b有两个零点，则“20ab”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间02，”的一个（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】函数2()(,R)fxxaxb a b有两个零点，所以判别式240ab，再从函数在02，上的零点个数得出相应条件，从而解出a b的范围.【详解】函数2()(,R)f xxaxb a b有两个零点，所以判别式240ab，函数()f x 至少有一个零点属于区间02，分为两种情况：（1）函数()f x 在区间02，上只有一个零点0,(0)(2)0,ff2222(0)(2)(42)2424ffbabbabbbababa22()

10、40abba，即22()4abab又因为240ab，所以，2244ababab；（2）函数()f x 在02，上有 2 个零点0,(0)0,(2)420,02,2fbfaba解得：20ab；综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间02，”20ab或2244ababab，所以20ab20ab或2244ababab，而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20ab”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间02，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列na满足：1102a，1ln 2nnnaaa则

11、下列说法正确的是（）A.2019102aB.2019112aC.2019312aD.2019322a【答案】B【解析】分析】考察函数()ln(2)(02)f xxxx，则11()1022xfxxx先根据单调性可得1na，再利用单调性可得1231012naaaa.【详解】考察函数()ln(2)(02)f xxxx，由11()1022xfxxx可得()f x0,1单调递增，由()0fx可得()f x 在1,2单调递减且()11f xf，可得1na，数列na为单调递增数列，如图所示：且1(0)ln 2ln4ln2fe，211()(0)2af af，图象可得1231012naaaa，所以2019112

12、a，故选 B.【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1izi（i为虚数单位），则z的虚部为 _，|z_.【答案】(1).-1 (2).2【解析】【分析】复数 z 进行四则运算化简得1iz，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)iiiziiii，所以 z的虚部为1，22|(1)12z，故填：1;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的

13、三个正方形（单位：cm），则该几何体的体积为_3cm，表面积为_2cm.【答案】(1).233 (2).23【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积.【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2，所以多面体的体积为：11232221 1 23233cm，表面积为：2212116222(5)()1 12122322222cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)xxa

14、a xa xa x，则0a_，2a_.【答案】(1).2 (2).154【解析】【分析】令0 x得：02a，求出两种情况下得到2x项的系数，再相加得到答案.【详解】令0 x得：02a，展开式中含2x项为：（1）当(2)x出x，7(21)x出含x项，即1617(2)(1)Tx Cx；（2）当(2)x出2，7(21)x出含2x项，即225272(2)(1)TCx；所以2a1277224(1)154CC，故填：2；154.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC中，90ACB，点,D E分别在线段,BC

15、AB上,36ACBCBD，60EDC，则BE_，cos CED_.【答案】(1).3 26 (2).22【解析】【分析】在BDE中利用正弦定理直接求出BE，然后在CEB中用余弦定理求出CE，再用余弦定理求出cosCEB，进一步得到cos CED的值.【详解】如图ABC中，因为60EDC，所以120EDB，所以sinsinBEBDEDBBED，即2sin120sin15BE，解得：333 26sin15232 12222BE，在CEB中，由余弦定理，可得：2222cosCEBECBBE CBB2246 2(42 2)，所以42 2CE，所以2221cos22CEBECBCEBCE BE，CEB6

16、0,CEDCEBBED45，所以2cos2CED，故答案为3 26；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_（用数字作答）【答案】60【解析】【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4 门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496AA种

17、.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A种，则上午相当于排4 节课，它的情况有：13233236AAA种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有方法有963660种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B是抛物线24yx上的两点，F是焦点，直线,AF BF的倾斜角互补，记,AF AB的斜率分别为1k,2k，则222111kk_.【答案】1【解析】【分析】设1122(,),(,)A xyB xy，由抛物线的对称性知点22(,)xy在直线AF上，直线1:(1)AFyk x代入24yx得到

18、关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k的关系，从而求得222111kk的值.【详解】设1122(,),(,)A xyB xy，由抛物线的对称性知点22(,)xy在直线AF上，直线1:(1)AFyk x代入24yx得：2222111(24)0k xkxk，所以2112211224,1,kxxkx x，因为2221122221121121 22412yykkkxxkxxxxx x，所以212222211111111kkkkk，故填：1.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b不共线，且满足

19、24a ba，记3144cab，当,b c的夹角取得最大值时，|ab的值为 _【答案】4【解析】【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b，进而通过运算求得|ab的值.【详解】由非零平面向量,a b不共线，且满足24a ba，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0ABb b，则(2,0),(2,)abb，由3144cab，则(2,)4bC，则直线,OB OC的斜率分别为,2 8b b，由两直线的夹角公式可得：33328tanBOC848122822bbbbbbbb，当且仅当82bb，即4b时取等号，此时(2,4)B，则(0,4)ab，所以|4ab，

20、故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos3sincosfxxxx（1）求3f的值；（2）若13,0,2103f，求cos的值.【答案】(1)1；(2)3 34cos10【解析】【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f xx，再把3x代入求值；（2）由13,0,2103f，43sin,cos6565，利用角的配凑法得：66，再利用两角差的余弦公式得3 34cos10.【详解】解:（1）因为21 cos231()cos3sincossin2si

21、n 22226xf xxxxxx，所以121511sinsin132362622f.（2）由13,0,2103f得43sin,cos6565，3 34coscoscoscossinsin66666610【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABCA B C中，底面ABC是等腰三角形，且90ABC，侧面11ABB A是菱形，160BAA，平面11ABB A平面BAC，点M是1AA的中点（1）求证：1BBCM；（2）求直线BM与平面1CB M所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)105【解析】【分析】

22、（1）证明直线1BB垂直CM所在的平面BCM，从而证明1BBCM；（2）以A为原点，BC为 x 轴正方向，AB为y轴正方向，垂直平面ABC向上为z轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB，线面角为，可得面1B MC的一个法向量(23,3,5)n，330,22BM，代入公式sin|cos,|n BM进行求值.【详解】（1）证明：在Rt ABC中，B 是直角，即BCAB，平面ABC平面11AA B B，平面ABC平面11AA B BAB，BC平面ABC，BC平面11AAB BAB，1BCB B.在菱形11AA B B中，160A AB，连接BM，1A B则1A AB是正三角形，点M是1AA中点，1AA

23、BM.又11/AAB B，1BBBM.又BMBCB，1BB平面BMC1BBMC.（2）作1BGMB于G，连结 CG 由（1）知 BC 平面11AAB B，得到1BCMB，又1BGMB，且BCBGB，所以1MB平面BCG.又因为1MB平面1CMB，所以1CMBBCG，又平面1CMB平面BCGCG,作BHCG于点H，则BH平面1CMB，则BMH即为所求线面角设 2ABBC，由已知得12 21302,3,75BBBMBGBH，30105sin53BHBMHBM，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为105【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已

24、知数列na为等差数列，nS是数列na的前n项和，且55a，36Sa，数列nb满足1 122(22)2nnna ba ba bnb（1）求数列na，nb的通项公式；（2）令*,nnnacnNb，证明：122nccc【答案】(1)nan.2nnb.(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a，36Sa得到关于1,a d的方程，得到nan；利用临差法得到12nnbb，得到nb是等比数列，从而有2nnb；（2）利用借位相减法得到12111121222222nnnnn，易证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，11145335adadad，解得111ad，数列na的通项公式为nan.

25、122(22)2nnbbnbnb，当2n时，12112(1)(24)2nnbbnbnb11(24)(2)2nnnnbnbnbb，即nb是等比数列，且12b，2q，2nnb.（2）2nnnnancb，记121212222nnnSccc，则1212321222nnS，1211112212222222nnnnnSSS【点睛】本题考查数列通项公式、前n项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24xy，F为其焦点，椭圆22221(0)xyabab，1F，2F为其左右焦点，离心率12e，过F作x轴的平行线交椭圆于,P Q两点，46|3PQ.（1）求椭圆的标准方

26、程；（2）过抛物线上一点A作切线l交椭圆于,B C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴为K，KED，FOD的面积分别记为1S，2S，若121849SS，且点A在第一象限求点A的坐标【答案】(1)22143xy.(2)2,1【解析】【分析】（1）由题设可知2 6,13P，又12e，把,a b均用c表示，并把点2 6,13P代入标圆方程，求得1c；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标.【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知2 6,13P，228113

27、ab，又12e，22811123cc，可得1c，椭圆的方程为22143xy.（2）设200,4xA x则切线l的方程为20024xxyx代入椭圆方程得：422300031204xxxx x，设112233,B x yC xyE xy，则3012320223xxxxx，22000332032443xxxyxx，KE的方程为230022000324323xxyxxxx，即20200243xyxxx，令0y得302083Kxxx，在直线l方程中令0y得02Dxx，222004124xxFD23000022003428383xxxxDKxx，002,2FDBCxkkx，1FDBCkk，FDBC，DEK

28、FOD，22200122220941849163xxSDKSFDx.化简得2200177240 xx，02x（02x舍去）A的坐标为2,1.422300031204xxxx x，46242000004 31234814404xxxxx，因为20084 7x，故此解符合题意【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a为实常数，函数2(),(),xf xaxg xexR（1）当12ae时，求()()()h xf xg x的单调区间；（2）设mN，不等式(2)()fxg xm的解集为A，不等式()(2)f

29、xgxm的解集为B，当01a，时，是否存在正整数m，使得AB或BA成立若存在，试找出所有的m；若不存在，请说明理由【答案】(1)()h x在,1上单调递减，在1,上单调递增(2)存在，1m【解析】【分析】（1）当12ae时得21()2xh xxee，求导后发现()h x在R上单调递增，且(1)0h，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4xF xfxg xaxe，22()()(2)xG xf xgxaxe，利用导数和零点存在定理知存在120 xx，使得12F xF xm，再对m分1m和1m两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2xh xxee，1()xhxxee，()h x在

30、R上单调递增，且(1)0h，()h x在,1上负,在1,上正，故()h x在,1上单调递减，在1,上单调递增（2）设2()(2)()4xF xfxg xaxe，22()()(2)xG xfxgxaxe()8xFxaxe，()80 xFxae，()Fx单调递增又(0)0F，111202aF（也可依据lim()0 xFx），存在00 x使得00Fx，故()F x在0,x上单调递减，在0,x上单调递增又对于任意*mN存在lnxm使得()F xm，又lim()xF x，且有0(0)1F xFm，由零点存在定理知存在120 xx，使得12F xF xm，故34,Bx x.222()()4xxF xG x

31、axeaxe，令2()xH xaxe，由0a知Hx在(,0)上单调递减，当0 x时，()()(2)()0F xG xHxH x又m1，3x和1x均在各自极值点左侧,结合F x单调性可知133F xmG xF x，310 xx当1m时，240 xx，AB成立，故1m符合题意当0 x时，2222()()33xxxxF xG xaxeexee，令1()2lnP tttt，则22(1)()0tP tt，当1t时，()(1)0P tP在上式中令2xte，可得当0 x时，有22xxeex成立，322xxxeexe令()2tQ tet，则()2tQ te，()(ln2)22ln20Q tQ，2xe恒成立.故有32223xxxeexex成立，知当0 x时，()()0F xG x又()F x，()G x在0,上单调递增，当1m时，244F xmG xF x，240 xx，而310 xx，此时AB和BA均不成立.综上可得存在1m符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.