高中数学第2章《抽象函数的性质问题》素材苏教版必修1.pdf

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1、高中数学第 2 章抽象函数的性质问题素材苏教版必修1-1-/4 抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。1、定义域：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。材料一：若函数)1(xfy的定义域为)3,2，求函数)21(xfy的定义域。解析：由)1(xfy的定义域为)3,2，知1x中的)3,2x，从而411x，对函数)21(xfy而言，有1124x，解之得：),21(31,(x。所以函数)21(xfy的定义域为),21(31,(总结：函数的定义域是指自变

2、量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x与21x的范围等同。2、值域：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。材料二：若函数)1(xfy的值域为 1,1，求函数)23(xfy的值域。解析：函数)23(xfy中定义域与对应法则与函数)1(xfy的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(xfy的值域也为 1,1。总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。3、对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。材料三：设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)1(xfy

3、与)1(xfy的图象关于（）A、直线0y对称 B直线0 x对称 C 直线1y对称 D 直线1x对称解 法 一（定 义 证 明）：设 点),(00yxP是 函 数)1(xfy的 图 象 上 的 任 意 一 点，则)1(00 xfy，),(00yxP关 于 直 线mx的 对 称 点 为),2(00/yxmP，要 使 点),2(00/yxmP在函数)1(xfy的图象上，则)21()2(1000mxfxmfy，应有121m，故1m，所以函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于直线1x对称。解法二（图象变换法）：由函数)(xfy的图象向右平移1个单位得到函数)1(xfy的图高中数学第 2 章抽象函数的性

4、质问题素材苏教版必修1-2-/4 象；由函数)(xfy的图象关于y轴对称得到函数)(xfy的图象，再向右平移1 个单位，得到)1()1(xfxfy的图象。如图所示，选D。解 法 三（特 值 代 入 法）：由 已 知 可 得 点)1(,0(fP在 函 数)1(xfy的 图 象 上，点)1(,2(fQ在函数)1(xfy的图象上，又点P、Q关于直线1x对称，选 D。总 结：了 解 一 些 简 单 结 论 对 解 题 也 是 很 有 好 处 的。如：函 数)(xfy满 足)()(xbfxaf，则 函 数)(xfy的 自 对 称 轴 为2bax；函 数)(xafy与)(xbfy的互对称轴为xbxa，即2

5、abx4、周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。材料四：设)(xfy是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x对称。证明)(xfy是周期函数。证明：由)(xfy的图象关于直线1x对称，得)()2(xfxf，又)(xfy是定义在R上的奇函数，所以)()(xfxf)()2(xfxf，则)()()2()2(2)4(xfxfxfxfxf由周期函数的定义可知4 是它的一个周期。总结：一般地，)()(xfTxf,)(1)(xfTxf均可断定函数的周期为2T。5、奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题紧扣定义、合理赋值。材料五：已知)(xfy是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的

6、Rba,，都满足：)()()(abfbafbaf。判断)(xfy的奇偶性，并证明你的结论。解析：令1ba，则)1(1)1(1)11(fff，得0)1(f；令1ba，则)1()1()1()1()1()1(fff，得0)1(f；令1a，xb得)1()()1()1(fxxfxf，得)()(xfxf因此函数)(xfy为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。6、单调性：解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当加以配凑。材料六：设)(xfy是定义在-1，1 上的奇函数，且对于任意的 1,1,ba，当0ba高中数学第 2 章抽象函数的性质问题素材苏教版必修1-3-/4 时，都有：0)()(ba

7、bfaf。若ba，试比较)(af与)(bf的大小。解析：)()()()()()()()(bababfafbfafbfaf?，ba，0ba，又0)()(babfaf，0)()(bfaf，即)()(bfaf。总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到1)()(12xfxf（或1)()(12xfxf）来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。7、可解性：由抽象式求解析式问题视)(xf为未知数，构造方程（组）。材料七：设函数)(xf满足xxxfxf1)1()()10(xx且，求)(xf。解析：以xx1代x，得xxxfxxf12)11()1(，以11x代x，得12)()11(xxxfxf，+-得：

8、xxxxxxf12121)(2所以)1(21)(23xxxxxf)10(xx且总结：在所给的抽象式中紧紧围绕)(xf，将其余的式子替换成)(xf，构造一个或几个方程，然后设法求解。8、凹凸性：解决函数的凹凸性问题捕捉图象信息，数形结合。材料八：如图所示，)(xfi)4,3,2,1(i是定义在 0，1 上的四个函数，其中满足性质：“对 0，1 中任意的1x和2x，任意 1,0，)()1()()1(2121xfxfxxf恒成立”的只有（）A、)(1xf B、)(2xf C、)(3xf D、)(4xf解析：令21，则不等式变为2)()()2(2121xfxfxxf，可知函数)(xfi是一个凹函数，故

9、只有)(1xf正确，选A。总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运高中数学第 2 章抽象函数的性质问题素材苏教版必修1-4-/4 用上述解题策略，定会收到良好的效果。课外练习：函数()f x是定义域在0，1 上的增函数，满足()2()2xf xf且(1)1f，在每个区间111(,22ii(1,2,)i上，()yf x的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。（1）、求(0)f、1()2f及1()4f的值，并归纳

10、出1()2if(1,2,)i的表达式；（2）、直线12ix，112ix，x轴及()yf x的图象围成的图形的面积为ia(1,2,)i，记12()lim()nxS kaaa，求()S k的表达式，并写出其定义域和最小值。（04，北京，18）解 析：（1）为 了 求(0)f，只 需 在 条 件()2()2xf xf中，令0 x，即 有(0)2(0)ff(0)0f。由1(1)2()2ff及(1)1f，得111()(1)222ff。同 理1111()()4224ff。归纳11()22iif(1,2,)i。（2）、11122iix时，1111()()22iif xk x，1111211111111()()(1)2222224 2iiiiiiiikak(1,2,)i。故na是首项为1(1)24k，公比为14的等比数列，所以12()lim()nxS kaaa1(1)224(1)13414kk。()S k的定义域是01k，当1k时取得最小值12。