高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测(九)直线、平面、简单几何大纲人教.pdf

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1、2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版1/16 单元检测（九）直线、平面、简单几何体(满分:150 分 时间:150 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60 分)1.平面 平面 的一个充分条件是()A.存 在 一 条 直 线l,l,l B.存 在 一 个 平 面,C.存 在 一 个 平 面,D.存 在 一 条 直 线l,l,l 解析:若 l,l,则 ,A 不正确;若 ,则,B 不正确;若 ,则 与 平行或相交,C 不正确.故选 D.答案:D 2.在空间四边形ABCD 中,已知 AB AD,则 BC CD是 AC BD的(

2、)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:取 BD中点 O,连结 AO、CO,则 BD 面 AOC,AC BD;若 AC BD,则 BD OC,则 OC是 BD的垂直平分线.BC CD.答案:C 3.直线 l平面,经过 外一点 A与 l、都成 30角的直线有且只有()A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条解析:线面角是斜线与平面内任意直线成角中最小的角.如图,直线 AB与平面 成角 30,则直线 AB可在圆锥表面旋转.当直线 AB旋转到直线BC、直线 BD的位置时,它与平面和直线l 都成 30角.当直线 AB在其他位置时,由线面角是斜线与平面内任意直

3、线成角中最小的角可知,都不符合题意.答案:B 4.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于()A.1 B.2 C.3 D.2 解析:依题意有示意图2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版2/16 截面示意图为其中 AH为公共弦长的一半,OA为球半径,322AHOAOH.故选 C.答案:C 5.给出下列关于互不相同的直线l、m、n 和平面、的三个命题:若 l 与 m为异面直线,l,m,则;若 ,l,m,则 l m;若 l,m,n,l,则m n.其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.

4、0 解析:由线面关系知、可能相交,故错;由线面关系知l、m还可能异面,故错;三个平面两两相交,由线面平行关系知m n,正确.综上所述,正确命题只有1 个.故选 C.答案:C 6.如图,点 P在正方形 ABCD 所在的平面外,PD平面ABCD,PD AD,则 PA与 BD所成角的度数为()A.30 B.45 C.60 D.90解析:如图,把符合题意的空间几何体补成正方体,可知 C成立.答案:C 7.正方体 ABCD ABCD 的棱长为 a,EF 在 AB上滑动,且|EF|b(b a),Q 点在 DC上滑动,则四面体A EFQ的体积()2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线

5、、平面、简单几何大纲人教版3/16 A.与 E、F位置有关 B.与 Q位置有关C.与 E、F、Q位置都有关 D.与 E、F、Q位置均无关,是定值解析:VA EFQVQ AEFba231.答案:D 8.如图,在正三棱锥PABC中,E、F 分别是 PA、AB的中点,CEF 90,若AB a,则该三棱锥的全面积为()A.2233a B.2433a C.243a D.2436a解析:EF PB,CE EF,CE PB.三棱锥PABC为正三棱锥,PB AC.PB 平面 PAC.PB PA,PB PC.PA PC.222433)22(2343aaaS全.答案:B 9.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2 倍

6、,则侧棱与底面所成角的余弦值是()A.63 B.43 C.22 D.23解析:如图,O 为底面正三角形ABC的中心,则 OP 平面 ABC,PCO即为所求角.设 AB 1,则 PC 2,33OC.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版4/16 63cosPCOCPCO.答案:A 10.在ABC中,ABAC 5,BC6,P A平面 ABC,PA 8,则 P到 BC的距离为()A.5 B.52 C.53 D.54解析:取 BC的中点 E,连结 AE、PE,由 AE BC,知 PE BC,即 PE为点 P到 BC的距离.答案:D 11.如图,动点 P

7、在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上,过点 P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M、N,设 BP x,MNy,则函数 y f(x)的图象大致是()解析:由已知条件可知,线段 MN(含收缩为点的情况)运动成平面图形.当点 P运动到 BD1的中点 O时,2)(maxMN.当点 P与 B、D1重合时,(MN)min0.易见,点 P在由 BO 的运动过程中,2y与 x 成正比例关系,结合考察选项可知,选 B.答案:B 12.如图,正方体 AC1的棱长为1,过点 A作平面 A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是()2011 年高考数学总复习提能拔高限时训

8、练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版5/16 A.点 H是A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1 D.直线 AH和 BB1所成角为45解析:AH与 BB1所成的角即AH与 AA1所成的角,可知33cos11AAAHHAA.答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.在正四面体ABCD中,O 为底面 BCD的中心,M 是线段 AO上一点,且使得 BMC 90,则MOAM_.解 析:如 图,设 正 四 面 体ABCD 的 棱 长 为2,由 BMC 90,得2BM.又 可 得332BO,在 RtBOM 中,36MO,由勾股

9、定理,得362AO,所以1MOAM.答案:1 14.一个正方体内接于一个球,过球心作截面,则下图中截面的可能图形是_,其中过正方体对角面的截面图形为_.(把正确的图形的序号全填在横线上)2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版6/16 解析:过球心平行于正方体一面作截面,则如图,过对角面作截面则如图,斜切正方体作图可以为截面,但不能作出图形.答案:15.由图(1)有面积关系:PBPAPBPASSPABBPA?,则图(2)有体积关系:PABPBPAPVV_.解析:设 C到平面PA B的距离为h,C 到平面 PAB的距离为h,则PCPChh.又PBP

10、APBPASSPABBPA?,PCPBPAPCPBPAhShSVVPABBPAPABPBPAP?3131.答案:PCPBPAPCPBPA?16.设球 O的半径为R,A、B、C为球面上三点,A 与 B、A与 C的球面距离为2R,B 与 C的球面距离为3R,则球 O在二面角B-OA-C内的这部分球面的面积是_.解析:如图所示.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版7/16 A 与 B,A 与 C的球面距离都为2R,OA OB,OA OC.从而 BOC为二面角BOAC 的平面角.又B 与 C的球面距离为3R,3BOC.这样球 O在二面角BOAC 的部

11、分球面的面积等于2232461RR.答案:232R三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分10 分)已知在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,A1A平面ABCD,AB 4,AD 2.若 B1DBC,直线 B1D与平面 ABCD所成的角等于30,求平行六面体ABCD A1B1C1D1的体积.解:连结 BD,B1B平面 ABCD,B1DBC,BC BD.在BCD中,BC 2,CD4,32BD.又直线B1D与平面 ABCD 所成的角等于30,B1DB30.于是2311BDBB.故平行六面体ABCD A1B1C1D1的体积为 SABCDBB138.18.(本小题满分12 分

12、)如图,在ABC中,ACBC 1,ACB 90,点D在斜边 AB上,BCD(02).把BCD沿 CD折起到 B CD的位置,使平面 BCD 平面ACD.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版8/16(1)求点 B到平面ACD的距离(用 表示);(2)当 AD BC 时,求三棱锥B ACD的体积.解:(1)作 BECD于点 E.平面 BCD 平面ACD,BE平面ACD.BE 的长为点B到平面ACD的距离.BEBCsin sin.(2)BE平面ACD,CE为 BC 在平面 ACD内的射影.又 AD BC,AD CD(CE).AC BC 1,ACB

13、90,D 为 AB中点,且4.224sin,412121?EBBCACSACD.VB ACD242224131.19.(本小题满分12 分)如图,正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a,点 M 在边 BC 上,AMC1是以点 M为直角顶点的等腰直角三角形.(1)求证:点 M为边 BC的中点;(2)求点 C到平面 AMC1的距离;(3)求二面角M-AC1-C 的大小.(1)证明:AMC1为以点 M为直角顶点的等腰直角三角形,AM C1M且 AM C1M.在正三棱柱ABC A1B1C1中,CC1底面 ABC.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教

14、版9/16 C1M在底面内的射影为CM,AM CM.底面 ABC为边长为a 的正三角形,点 M为 BC边的中点.(2)解:过点 C作 CH MC1,由(1)知 AM C1M且 AM CM,AM 平面 C1CM.CH在平面 C1CM内,CH AM.CH 平面 C1AM.由(1)知,AMCM a23,aCM21且 CC1 BC,aaaCC224143221.aaaaMCCMCCCH6623212211?.点 C到平面 AMC1的距离为a66.(3)解:过点 C作 CIAC1于点 I,连结 HI,CH 平面 C1AM,HI 为 CI 在平面 C1AM内的射影.HIAC1,CIH 是二面角M-AC1-

15、C 的平面角.在 RtACC1中,aaaaaACACCCCI33)22(222211?,223366sinaaCICHCIH,CIH45.二面角M-AC1-C 的大小为45.20.(本小题满分12 分)如图,正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA12AB4,点 E在 C1C上且 C1E2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版10/16 3EC.(1)证明 A1C平面 BED;(2)求二面角A1-DE-B 的大小.解法一:(1)证明:以 D 为空间直角坐标系的坐标原点,以 DA,DC,DD1分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立 空 间 直 角 坐

16、 标 系,D(0,0,0),B(2,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),C(0,2,0),则CA1(-2,2,-4),DB(2,2,0),DE(0,2,1).设平面 BED的法向量为n1(x1,y1,z1),则有?,02),()1,2,0(0,022),()0,2,2(011111111zyzyxnDEyxzyxnDB此时,令 y11,则,2,111zx那么n1(-1,1,-2).而CA1(-2,2,-4)可知CA1 2n1,也就是CA1与n1共线.那么必有A1C平面 BED.(2)设平面 A1DE的法向量为n2(x2,y2,z2),DE(0,2,1),1DA(2,0,4),则有?

17、,042),()4,0,2(0,02),()1,2,0(02222221222222zxzyxnDAzyzyxnDE此时,令 y21,则,4,222xz2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版11/16 那么n2(4,1,-2).设二面角的平面角为,则|cos2121nnnn?42141431216414)2(1421)1()2,1,4()2,1,1(222222?,依图形可知该角为arccos4214.解法二:(1)证明:如图,连结 B1C交 BE于点 F,连结 AC交 BD于点 O.由题知 B1C是 A1C在面 BCC1B1内的射影,在矩形

18、BCC1B1中,B1B C1C4,BC B1C1 2,C1E3,EC 1.因为211BBBCBCCE且B1BC BCC190,所以 BB1CBCE.所以 BB1CCBE.所以由互余可得 BFC 90.所以BE B1C.所以BE A1C;由四边形ABCD 为正方形,所以 BD AC.所以 BD A1C且 BD BE B.所以 A1C平面 BDE.(2)连结 OE,由对称性知必交A1C于 G点,过 G点作 GH DE于点 H,连结 A1H.由(1)的结论,及三垂线定理可得,GHA1就是所求二面角的平面角,根据已知数据,计算3651GA,在 RtDOE中,1530GH,所以55tan11GHGAGH

19、A.故二面角A1DEB的大小为55arctan.21.(本小题满分12 分)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,平面 A1BC 侧面 A1ABB1.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版12/16(1)求证:ABBC;(2)(理)若直线 AC与平面 A1BC所成的角为,二面角 A1-BC-A 的大小为,试判断 与 的大小关系,并予以证明.(文)若 AA1AC a,直线AC 与平面A1BC 所成的角为,二面角A1-BC-A 的大小为,求证:+2.证明:(1)过点 A在平面 A1ABB1内作 AD A1B于 D,则由平面A1BC 侧面A1ABB

20、1,且平面 A1BC 侧面 A1ABB1A1B,得 AD 平面 A1BC.又 BC平面 A1BC,所以 AD BC.因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱,则 AA1底面 ABC.所以 A1ABC.又 AA1AD A,所以 BC 侧面 A1ABB1.又 AB侧面 A1ABB1,所以 AB BC.(2)(理)连结 CD,则由(1)知ACD是直线 AC与平面 A1BC所成的角,ABA1是二面角 A1-BC-A 的平面角,即ACD,ABA1.于是在 RtADC中,ACADsin,在 RtADB中,ABADsin,因为 AB AC,所以 sin sin.又 0,2,所以.(文)连结 CD,则由(1)

21、知ACD就是直线 AC与平面 A1BC所成的角,ABA1就是二面角A1BCA的平面角,即ACD,ABA1.于是在 RtADC中,aADACADsin,在 RtADA1中,aADAAADDAA11sin,所以 sin sin AA1D.由于 与AA1D都是锐角,所以 AA1D.又由 RtA1AB知,AA1D+AA1B+2,故+2.22.(本小题满分12 分)在正 ABC中,E、F、P分别是 AB、AC、BC边上的点,满足 AE EB CF FA CP PB 12如图(1).将AEF沿 EF 折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结 A1B、A1P如图(2).2011 年高考数

22、学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版13/16(1)求证:A1E平面 BEP;(2)求直线 A1E与平面 A1BP所成角的大小;(3)求二面角B-A1P-F 的大小.(用反三角函数值表示)解法一:不妨设正 ABC 的边长为3.(1)证明:在图(1)中,取 BE的中点 D,连结 DF.AE EB CF FA 12,AF AD 2.而A60,ADF是正三角形.又 AE DE 1,EF AD.在图(2)中,A1EEF,BE EF,A1EB为二面角A1-EF-B 的平面角.由题设条件知此二面角为直二面角,A1EBE.又 BE EF E,A1E平面 BEF,即 A1E平

23、面 BEP.(2)在图(2)中,A1E不垂直于A1B,A1E是平面 A1BP的斜线.又 A1E平面 BEP,A1EBP.从而 BP垂直于 A1E在平面 A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理).设 A1E在平面 A1BP内的射影为A1Q,且 A1Q交 BP于点 Q,则EA1Q就是 A1E与平面 A1BP所成的角,且 BP A1Q.在EBP中,BE BP 2,EBP 60,EBP是等边三角形.BE EP.又 A1E平面 BEP,A1BA1P.Q 为 BP的中点,且3EQ.又 A1E1,在 RtA1EQ中,3tan11EAEQQEA,EA1Q60.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测

24、（九）直线、平面、简单几何大纲人教版14/16 直线 A1E与平面 A1BP所成的角为60.(3)在图(3)中,过 F作 FM A1P于点 M,连结 QM、QF.(3)CF CP 1,C60,FCP是正三角形.PF 1.又 PQ 21BP 1,PF PQ.A1E平面 BEP,EQ EF 3,A1FA1Q.A1FP A1QP.从而A1PFA1PQ.由及MP为公共边知 FMP QMP,QMP FMP 90,且MF MQ.从而 FMQ为二面角B-A1P-F 的平面角.在 RtA1QP中,A1QA1F2,PQ1,51PA.MQ A1P,55211?PAPQQAMQ.552MF.在FCQ中,FC 1,Q

25、C2,C60,由余弦定理得3QF.在FMQ中,872cos222?MQMFQFMQMFFMQ.二面角B-A1P-F 的大小为87arccos.解法二:不妨设正 ABC 的边长为3.(1)同解法一.(2)如图(1),由解法一,知 A1E平面BEF,BE EF.建立如图(4)所示的空间直角坐标系2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版15/16 O xyz,则 E(0,0,0)、A1(0,0,1)、B(2,0,0)、F(0,3,0).(4)在图(1)中,连结 DP,AF BP 2,AE BD 1,AB,FEA PDB,PD EF3.由图(1)知 PF

26、 DE 且 PFDE 1,P(1,3,0).BA1(2,0,-1),BP(-1,3,0).对于平面A1BP内任一非零向量a,存在不全为零的实数、,使得),3,2(1BPBAa.又EA1(0,0,-1),cosEA1,a?45|211aEAaEA.直线 A1E与平面 A1BP所成的角是EA1与平面 A1BP内非零向量夹角中最小者,可设 0,从而 cosEA1,a)(451.又4)21(4)(452的最小值为4,cosEA1,a 的最大值为21,即EA1与 a 夹角中最小的角为60.直线 A1E与平面 A1BP所成的角为60.(3)如图(4),过点 F作FM A1P于点 M,过点 M作 MN A1

27、P交 BP于点 N,则FMN 为二面角B-A1P-F的平面角.设 M(x,y,z),则MF(-x,y3,-z).PAMF1,01?PAMF.又PA1(1,3,-1),2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：单元检测（九）直线、平面、简单几何大纲人教版16/16 0)3(3zyx.A1、M、P三点共线,存在 R,使得PAMA11.MA1(x,y,z-1),(x,y,z-1)(1,3,-1).从而,1,3,zyx代入得54,M(51,534,54).同理可得N(23,23,0),从而MF(51,53,54),MN(51,1033,107).cosMF,MN87552552107|?MNMFMNMF.二面角 B-A1P-F 的平面角的大小为87arccos.