高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三.pdf

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1、1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则2能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数)1概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)2复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积探究点一复合函数的定义思考 1 观察函数y2xcos x及yln(

2、x2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y2xcos x是由u2x及vcos x相乘得到的；而yln(x2)是由ux2 与yln u(x2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数所以它们称为复合函数思考 2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程 在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出yf(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数ug(x)，函数yf(u)和ug(x)复合而成函数yf(g(x)思考 3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A?B.小结要特别注

3、意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法例 1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y(3 5x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.解(1)y(35x)2是由函数yu2，u35x复合而成的；(2)y log3(x2 2x 5)是 由 函 数ylog3u，ux22x5 复合而成的；(3)ycos 3x是由函数ycos u，u3x复合而成的小结分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)yln x；(2)yesin x；(3)y

4、cos(3x1)解(1)yln u，ux；(2)yeu，usin x；(3)ycos u，u3x1.探究点二复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最 终 结 果 要 将 中 间 变 量 换 成 自 变量注意不要漏掉第(3)步回代的过程例 2 求下列函数的导数：(1)y(2x1)4；(2)y112x；(3)ysin(2x3)；(4)y102x3.解(1)原函数可看作yu4，u2x1的 复 合 函 数，则yx yuux(u4)(2x 1)4u32 8

5、(2x1)3.(2)y112x(12x)12可看作yu12，u12x的复合函数，则yxyuux(12)u32(2)(12x)32112x12x；(3)原函数可看作ysin u，u2x3的复合函数，则yxyuuxcos u(2)2cos(2x3)2cos(2x3)(4)原函数可看作y10u，u2x3 的复合函数，则yxyuux102x3ln 10 2(ln 100)102x3.反思与感悟分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外

6、及内逐层求导跟踪训练 2 求下列函数的导数(1)y(2x3)3；(2)ye0.05 x1；(3)ysin(x)解(1)函数y(2x3)2可以看成函数yu2，u2x3 的复合函数yxyuux(u2)(2x3)2u24(2x3)8x12.(2)函数ye0.05 x1可以看成函数yeu和函数u0.05x1 的复合函数yxyuux(eu)(0.05x1)0.05eu0.05 e0.05 x1.(3)函数ysin(x)可以看成函数ysin u，ux的复合函数yxyuux(sin u)(x)cos u cos(x)探究点三导数的应用例 3 求曲线ye2x1在点(12，1)处的切线方程解ye2x1(2x1)

7、2e2x1，y|12x2，曲线ye2x1在点(12，1)处的切线方程为y12(x12)，即 2xy20.反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法跟踪训练 3 曲线yesin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usin x，则y(esin x)(eu)(sin x).cos xesin x.y|x01.则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22?c3 或c1.故直线l的方程为xy30 或xy10.1函数y(3x2)2的导数为(

8、)A2(3x2)B6xC6x(3x2)D6(3x2)答案D 解 析y 2(3x 2)(3x 2)6(3x2)2若函数ysin2x，则y等于()Asin 2x B 2sin xCsin xcos xDcos2x答案A 解析y2sin x(sin x)2sin xcos xsin 2x.3若yf(x2)，则y等于()A2xf(x2)B2xf(x)C4x2f(x)Df(x2)答案A 解析设x2u，则yf(u)uxf(x2)(x2)2xf(x2)4设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10 垂直，则a_.答案2 解析由题意知y|x0aeax|x0a2.呈重点、现规律 求简单复合函数f(axb

9、)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数yf(u)，uaxb的形式，然后再分别对yf(u)与uaxb分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb的形式是关键.一、基础过关1下列函数不是复合函数的是()Ayx31x1 Bycos(x4)Cy1ln xDy(2x3)4答案A 解析A 中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数ux4，ycos u的复合函数，C 中的函数可看作函数uln x，y1u的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选 A.2函数y13x12的导数是()A.63x13 B.63x12C6

10、3x13D63x12答案C 解析y13x12 23x13(3x1)63x13，故选 C.3若f(x)log3(x1)，则f(2)_.答案1ln 3解 析f(x)log3(x 1)1x1 ln 3，f(2)1ln 3.4函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x答案B 解析y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(2sin 2x)2xcos 2x2x2sin 2x.5函数y(2 015 8x)3的导数y_.答案24(2 015 8x)2

11、解析y 3(2 015 8x)2(2 015 8x)3(2 015 8x)2(8)24(2 0158x)2.6曲线ycos(2x6)在x6处切线的斜率为 _答案2 解析y2sin(2x6)，切线的斜率k2sin(2 66)2.7函数yx(1ax)2(a0)，且y|x25，则实数a的值为 _答案1 解析y(1ax)2x(1ax)2(1ax)2x2(1ax)(a)(1ax)22ax(1ax)由y|x2(12a)24a(12a)12a28a15(a0)，解得a1.二、能力提升8已知直线yx1 与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2 答案B 解析设直线yx1 切曲线yln(xa

12、)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又y1xa，y|xx01x0a1，即x0a1.又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.9曲线y12ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.92e2B4e2C2e2De2答案D 解析y12ex12，y|x412e2.曲线在点(4，e2)处的切线方程为ye212e2(x4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，e2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S12|e2|2|e2.10若f(x)(2xa)2，且f(2)20，则a_.答案1 解析f(x)2(2xa)2 4(2xa)，f(2)164a20，a1.11已知a0

13、，f(x)ax22x1ln(x1)，l是曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线求切线l的方程解f(x)ax22x1ln(x1)，f(0)1.f(x)2ax21x12ax2 2a2x1x1，f(0)1，切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为 1，切线l的方程为xy10.12有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为ss(t)5259t2.求函数在t715 s 时的导数，并解释它的实际意义解函数s5259t2可以看作函数s5x和x259t2的复合函数，其中x是中间变量由导数公式表可得sx1212x，xt18t.故 由 复 合 函 数 求 导 法 则 得st sxxt(1212x)(18t)9t259t2，将t715代入s(t)，得s(715)0.875(m/s)它表示当t715 s 时，梯子上端下滑的速度为 0.875 m/s.三、探究与拓展13曲线ye2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程解y (e2x)cos 3x e2x(cos 3x)2e2xcos 3x3e2xsin 3x，y|x02.经过点(0,1)的切线方程为y12(x0)，即y2x1.设适合题意的直线方程为y2xb，根据题意，得5|b1|5，b6 或4.适合题意的直线方程为y2x6 或y2x4.