高中数学简单的线性规划问题(二)同步精品学案新人教B必修5.pdf

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1、1 33.2 简单的线性规划问题(二)对点讲练一、实际应用中的最优解问题例 1某家具厂有方木料90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润80 元，出售一个书橱可获利润120 元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)0.1280 书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x 个，可获得利润z 元，则0.1

2、x902x 600z80 x?x900 x300?x300.所以当 x300 时，zmax80 30024 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300 张书桌，获得利润24 000 元(2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元，则0.2y901 y600z120y?y450y600?y 450.所以当 y450 时，zmax12045054 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450 个书橱，获得利润54 000 元(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则0.1x0.2y902xy600 x0y0?x2y900，2xy600，x0，y0.z80 x120y.在

3、直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域2 作直线 l：80 x+120y=0，即直线l：2x+3y=0.把直线 l 向右上方平移至l1 的位置时，直线经过可行域上的点M，此时 z=80 x+120y 取得最大值由2900,2600,xyxy解得点 M 的坐标为(100,400)所以当 x=100，y=400 时，zmax=80100+120400=56 000(元)因此，生产书桌100 张、书橱400 个，可使所得利润最大总结利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证?变式训练1某

4、工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15 吨，已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨，电力 4 千瓦，劳动力 3 个(按工作日计算)；生产乙产品1 吨需煤 4 吨，电力 5 千瓦，劳动力10 个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12 万元；但每天用煤量不得超过 300 吨，电力不得超过200 千瓦，劳动力只有300 个，当每天生产甲产品吨，乙产品吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大答案2024 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元，依题意约束条件为：94300,45200,310300,15,15,xyxyxyxy目标函数为S=7x+12y 从图中可以

5、看出，当直线S7x12y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值3 解方程组4x5y20003x10y3000得 A(20,24)，故当 x20，y24 时，Smax7201224428(万元)二、实际应用中的最优整数解问题例 2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规模类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板211 第二种钢板123 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束

6、条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用几何意义，求出最优解解设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张215,218,327,0,0 xyxyxyxy作出可行域(如图)：(阴影部分)目标函数为z=x+y 作出一组平行直线x+y=t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A18 39,55，直线方程为x+y=575.由于185和395都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y 必须都是整数，所以可行域内点18 39,55不是最优解经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12，经过的整点是B(3,9)和 C(4,8)，它

7、们都是最优解答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3 张、第二种钢板9 张；第二种截法是截第一种钢板4 张、第二种钢板8 张两种方法都最少要截两种钢板共12 张总结在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根4 据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析?变式训练2某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和 y 需满足约束条件51122,239,211,xyxyx则 z 10 x10y 的最大值是 _

8、答案90 解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，yN*，计算区域内与点11 9,22最近的整点为(5,4)，当 x=5，y=4 时，z 取得最大值为90.课堂小结：1解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，未知数x、y 等是否有限制，如x、y 为正整数、非负数等；(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须

9、在可行域内该点的附近调整为整点常用调整方法有：(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解课时作业一、选择题1某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料 B 分别为 a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料 B 分别为 a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元月初一次性购进本月用的原料A、B 各 c1、c2千克，要计划本月生产甲

10、产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、5 y 千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润zd1xd2y 最大的数学模型中，约束条件为()A.a1xa2yc1，b1xb2yc2，x0，y0B.a1xb1yc1，a2xb2yc2，x0，y0C.a1xa2yc1，b1xb2yc2，x0，y0D.a1xa2yc1，b1xb2yc2，x0，y0答案C 解析比较选项可知C 正确2.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35C4 D.53答案

11、B 解析由 y axz 知当 akAC时，最优解有无穷多个kAC35，a35.3某公司有60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5 万元，对项目甲每投资1 万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1 万元可获得0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()A36 万元B31.2 万元C30.4 万元D24 万元答案B 解析设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，6 可获得利润为z 万元，则60,2,25,5,xyxyxyz=0.4x+0.6y.由图象知，目标函数z=0.4x+0.6y

12、 在 A 点取得最大值 ymax=0.4 24+0.6 36=31.2(万元)4如图所示，目标函数z kxy 的可行域为四边形OABC，仅点 B(3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A2,23B.1，53C.2，23D.3，43答案C 解析ykxz.若 k0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点 C(0，4)，不符合题意k0，只有点(3,2)是目标函数的最优解kABkkBC，即 2k0，则 z 的最小值对应截距的最小值，可知m=1，满足题意；若 m0，当 x=4，y=6 时，z 取得最大值答投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下

13、，使可能的盈利最大8两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12 毫克阿司匹林，70 毫克小苏打，28 毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(毫克/片)2510.1 B(毫克/片)1760.2 8 解设 A，B 两种药品分别为x片和 y 片，则有2xy125x7y70 x6y28x0，y 0，两类药片的总数为z=x+y，两类药片的价格和为k=0.1x+0.2y.如图所示，作直线l：x+y=0，将直线 l 向右上方平移至l1 位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近解方程组212,5770,xyxy，得交点 A 坐标14 80,99由于 A 不是整点，因此不是z 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x+y=11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z 的最小值为11.药片最小总数为11 片同理可得，当x=3，y=8 时，k取最小值1.9，因此当 A 类药品 3 片、B 类药品 8 片时，药品价格最低