高中数学新人教版选修2-2课时作业第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念含解析.pdf

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1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念3掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件1复数的有关概念(1)复数定义：形如 abi 的数叫做复数，其中a，bR，i 叫做虚数单位 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母z 表示，即 zabi.(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母C表示2复数的分类及包含关系(1)复数(abi，a，bR)实数 b0虚数 b0纯虚数 a0非纯虚数 a0(2)集合表示：3复数相等的充要条件设 a，

2、b，c，d 都是实数，那么abi cdi?ac 且 bd.情境导学 为解决方程x21，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象 x2 1 这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x21 在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题探究点一复数的概念思考 1 为解决方程x22，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210 在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使 i 是方程 x210 的根，即 i i 1，方程 x210有解，同时得到一些新数思

3、考 2 如何理解虚数单位 i?答(1)i21.(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律(3)由于 i20 与实数集中 a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立(4)若 i21，那么 i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.思考 3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答形如 abi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即 zabi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b 分别叫做复数 z 的实部与虚部思考 4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答对于复数zabi(a，bR)，当b0时叫做虚数；当a0 且b0时，叫做纯虚数思考 5 复数 m ni 的实部、虚

4、部一定是m、n 吗？答不一定，只有当m R，nR，则 m、n 才是该复数的实部、虚部例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数23i；312i；2i；3i；0.解的实部为 2，虚部为 3，是虚数；的实部为3，虚部为12，是虚数；的实部为2，虚部为 1，是虚数；的实部为，虚部为 0，是实数；的实部为 0，虚部为3，是纯虚数；的实部为0，虚部为 0，是实数反思与感悟复数 abi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部跟踪训练 1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请

5、说明理由(1)实部为2的虚数；(2)虚部为2的虚数；(3)虚部为2的纯虚数；(4)实部为2的纯虚数解(1)存在且有无数个，如2i 等；(2)存在且不唯一，如12i 等；(3)存在且唯一，即2i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例 2 当实数 m为何值时，复数 zm2m 6m(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)当m22m 0m 0，即 m 2 时，复数 z 是实数；(2)当m22m0，m 0即 m 0且 m 2时，复数 z 是虚数；(3)当m2m 6m0m22m 0，即 m 3 时，复数 z 是纯虚数反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，

6、可列方程或不等式求参数跟踪训练 2 实数 m为何值时，复数 zmm 2m 1(m22m 3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使 z 是实数，m需满足 m22m 30，且mm 2m 1有意义即 m 10，解得m3.(2)要使 z 是虚数，m需满足 m22m 30，且mm 2m 1有意义即 m 10，解得 m 1且 m 3.(3)要使 z 是纯虚数，m需满足mm 2m 10，m 10，且 m22m 30，解得 m 0 或 m 2.探究点二两个复数相等思考 1 两个复数能否比较大小？答如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小思考 2 两个复数相等的充要条件是什么？答复数 ab

7、i 与 cdi 相等的充要条件是ac 且 bd(a，b，c，dR)例 3 已知 x，y 均是实数，且满足(2x1)i y(3y)i，求 x 与 y.解由复数相等的充要条件得2x1y，1y3.解得x32，y4.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练 3 已知x2x6x1(x22x3)i(xR)，求 x 的值解由复数相等的定义得x2x6x10.x22x30.解得：x3，所以 x3 为所求1已知复数 za2(2b)i的实部和虚部分别是2 和 3，则实数 a，b 的值分别是()A.2，1 B.2，5 C 2，

8、5 D2，1 答案C 解析令a222b3，得 a2，b5.2下列复数中，满足方程x220 的是()A1 BiC 2i D2i答案C 3如果 zm(m 1)(m21)i为纯虚数，则实数m的值为()A1 B0 C 1 D1 或 1 答案B 解析由题意知mm 1 0m210，m 0.4下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于0；1 的平方根只有一个，即为i；i是方程 x410 的一个根；2i 是一个无理数其中正确命题的个数为()A3 B 4 C 5 D 6 答案B 解析命题正确，错误呈重点、现

9、规律 1对于复数 zabi(a，bR)，可以限制 a，b 的值得到复数 z 的不同情况；2两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断一、基础过关1设 a，bR.“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C 充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B 解析因为 a，bR.“a0”时“复数 abi 不一定是纯虚数”“复数 abi 是纯虚数”则“a0”一定成立所以 a，bR.“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要而不充分条件2下列命题正确的是()A若 aR，则(a1)i 是纯虚数B若 a，bR且 ab，则 ai bi C 若(x2

10、1)(x23x2)i 是纯虚数，则实数x1D 两个虚数不能比较大小答案D 解析对于复数 abi(a，bR)，当a0 且b0时为纯虚数在 A中，若 a1，则(a1)i 不是纯虚数，故A错误；在 B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在 C中，若 x1，不成立，故 C错误；D正确3以52i 的虚部为实部，以5i 2i2的实部为虚部的新复数是()A22i B 55i C 2i D.55i 答案A 解析设所求新复数zabi(a，bR)，由题意知：复数52i 的虚部为 2；复数5i 2i25i 2(1)25i 的实部为 2，则所求的 z22i.故选 A.4若(xy)i x1(x，yR)，则 2xy的值为

11、()A.12 B 2 C 0 D 1 答案D 解析由复数相等的充要条件知，xy0，x10，解得x1，y1，xy0.2xy201.5若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数x 的值为()A1 B 0 C 1 D 1 或 1 答案A 解析由复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数得x210，x10，解得 x1.6设 m R，m2m 2(m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m _.答案2 解析m2m 20m210?m 2.7已知(2 xy1)(y2)i 0，求实数 x，y 的值解(2 xy1)(y2)i 0，2xy10，y20.解得x12，y2.所以实数 x，y 的值分别为12，2

12、.二、能力提升8若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则实数x 的值是()A1 B 1 C 1 D 1 或2 答案A 解析由题意，得x210，x23x20.解得x1.9z134i，z2(n23m 1)(n2m 6)i，且 z1z2，则实数 m _，n_.答案2 2解析由 z1z2得3n23m 14n2m 6，解得m 2n2.10 已知集合 M 1,2，(a23a1)(a25a6)i，N 1,3，若 M N 3，则实数 a_.答案1 解析由 M N3 知，3 M，即有(a2 3a 1)(a2 5a6)i 3，所以a23a13，a25a60，解得 a1.11实数m分别为何值时，复数z2m2m 3

13、m 3(m23m18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z为实数，则m23m 180m 30，解得 m 6.所以当 m 6 时，z 为实数(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使 z 为虚数，则 m23m 180，且 m 30，所以当 m 6且 m 3 时，z 为虚数(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为 0.故若使 z 为纯虚数，则2m2m 30m 30m23m 180，解得 m 32或 m 1.所以当 m 32或 m 1 时，z 为纯虚数12设 z1m21(m2m 2)i，z24m 2(m25m 4)i，若 z1z2，求实数 m的取值范围解由于 z1z2，m R，z1R且z2R，当 z1R时，m2m 20，m 1 或 m 2.当 z2R时，m25m 40，m 1 或 m 4，当 m 1 时，z12，z26，满足 z1z2.z1 1，如何求自然数 m，n 的值？解因为12log(m n)(m23m)i 1，所以12log(m n)(m23m)i 是实数，从而有m23m 0，12logm n 1，由得 m 0 或 m 3，当 m 0 时，代入得 n0，所以 n1；当m3 时，代入得n1，与n是自然数矛盾，综上可得 m 0，n1.