高考数学基础知识总结：第13章极限.pdf

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1、高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法数学归纳法应用数列的极限函数的极限根限的四则运算函数的连续性考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（2）了解数列极限和函数极限的概念（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质13.极 限知识要点1.第一数学归纳法：证明当 n取第一个0n时结论正确；假设当kn（0,nkNk）时，结论正确，证明当1kn时，结论成立.第二数学归纳法：设)(nP是一个与正整数n有关的命题，如果当0nn（Nn0）时，)(nP成立；假设当kn（0,nkNk）时，)

2、(nP成立，推得1kn时，)(nP也成立.那么，根据对一切自然数0nn时，)(nP都成立.2.数列极限的表示方法：aannlim当 n时，aan.几个常用极限：CCnlim（C 为常数）),(01lim是常数kNknkn对于任意实常数，当1|a时，0limnna当1a时，若 a=1，则1limnna；若1a，则nnnna)1(limlim不存在当1a时，nnalim不存在数列极限的四则运算法则：如果bbaabnnnlim,lim，那么babannn)(limbabannn)(lim)0(limbbabannn特别地，如果C是常数，那么CaaCaCnnnnnlimlim)(lim.数列极限的应用

3、：求无穷数列的各项和，特别地，当1q时，无穷等比数列的各项和为)1(11qqaS.（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3.函数极限；当自变量x 无限趋近于常数0 x（但不等于0 x）时，如果函数)(xf无限趋进于一个常数a，就是说当 x 趋近于0 x时，函数)(xf的极限为 a.记作axfxx)(lim0或当0 xx时，axf)(.注：当0 xx时，)(xf是否存在极限与)(xf在0 x处是否定义无关，因为0 xx并不要求0 xx.（当然，)(xf在0 x是否有定义也与)(xf在0 x处是否存在极限无关.函数)(xf在0 x有定义是)(lim0 xfxx存在的既不充

4、分又不必要条件.）如1111)(xxxxxP在1x处无定义，但)(lim1xPx存在，因为在1x处左右极限均等于零.函数极限的四则运算法则：如果bxgaxfxxxx)(lim,)(lim00，那么baxgxfxx)()(lim0baxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0bbaxgxfxx特别地，如果C是常数，那么)(lim)(lim00 xfCxfCxxxx.nxxnxxxfxf)(lim)(lim00（Nn）注：各个函数的极限都应存在.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.几个常用极限：01limxn0limxxa（0 a1）；0l i mxxa（a

5、1）1sinlim0 xxx1sinlim0 xxxexxx)11(lim，exxx10)1(lim（71828183.2e）4.函数的连续性：如果函数f（x），g（x）在某一点0 xx连续，那么函数)0)()()(),()(),()(xgxgxfxgxfxgxf在点0 xx处都连续.函数 f（x）在点0 xx处连续必须满足三个条件：函数f（x）在点0 xx处有定义；)(lim0 xfxx存在；函数f（x）在点0 xx处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim00 xfxfxx.函数 f（x）在点0 xx处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点0 xx处有下列三种情况之一时，则称0 x为

6、函数 f（x）的不连续点.f（x）在点0 xx处没有定义，即)(0 xf不存在；)(lim0 xfxx不存在；)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx.5.零点定理，介值定理，夹逼定理：零点定理：设函数）（xf在闭区间,ba上连续，且0)()(bfaf.那么在开区间),(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点（a b）使0)(f.介值定理：设函数)(xf在闭区间,ba上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf)(,)(，那么对于BA,之间任意的一个数C，在开区间),(ba内至少有一点，使得Cf)(（a b）.夹逼定理：设当|00 xx时，有)(xg)(xf)(xh，且Axhxgxxxx)(lim)(lim00，则必有.)(lim0Axfxx注：|0 xx：表示以0 x为的极限，则|0 xx就无限趋近于零.（为最小整数）6.几个常用极限：1,0limqqnn)0(0!limanannkaannkn,1(0lim为常数）0lnlimnnnknnkn,0(0)(lnlim为常数）