2002年高考.北京卷.理科数学试题及答案.pdf

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1、第 1页（共 20页）2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工）（北京卷）参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin;)sin()sin(21coscos)cos()cos(21coscos;)cos()cos(21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式1cc)2S台体（l其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式334RV球其中R表示球的半径一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1满足条件3,2,1 1M的集合M的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)42在平面直角坐标系中，已知两点000020sin,20cos

2、),80sin,80(cosBA，则AB的值是（）(A)21(B)22(C)23(D)13下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间),2(上为减函数的是（）(A)xy2cos(B)xysin2(C)xycos31(D)xycot464个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V，表面积之和为甲S；一个直径为a的球，记其体积为乙V，表面积为乙S，则（）(A)乙甲乙甲且SS,VV(B)乙甲乙甲且SS,VV(C)乙甲乙甲且SS,VV(D)乙甲乙甲且SS,VV5已知某曲线的参数方程是)(,tansec为参数yx，若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（）

3、(A)1(B)12cos(C)12sin26给定四条曲线：2522yx，14922yx，1422yx，1422yx其中与直线05yx仅有一个交点的曲线是（）(A)(B)(C)(D)7已知1z，Cz2，且11z若221zz，则21zz的最大值是（）(A)6(B)5(C)4(D)3第 2页（共 20页）8若11cot21cot，则2sin12cos的值为（）(A)3(B)-3(C)-2(D)21912 名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（）(A)4448412CCC种(B)44484123CCC种(C)3348412PCC种(D)334448412/

4、PCCC种10设命题：“直四棱柱1111DCBAABCD中，平面1ACB与对角面DDBB11垂直”；命题乙：“直四棱柱1111DCBAABCD是正方体”，那么，甲是乙的（）(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)即非充分又非必要条件11已知)(xf是定义在)3,3(上的奇函数，当30 x时，)(xf的图象如图所示，那么不等式0cos)(xxf的解集是（）(A)3,2()1,0()2,3(B)3,2()1,0()1,2(C)3,1()1,0()1,3(D)3,1()1,0()2,3(12如图所示，)4,3,2,1)(ixfi是定义在1,0上的四个函数，其中满足性质：“对1

5、,0中任意的1x和2x，任意 1,0，)()1()()1(2121xfxfxxf恒成立”的只有（）(A)(),(21xfxf(B)(2xf(C)(),(32xfxf(D)(4xf二填空题：13)45arctan(),43arccos(),52arcsin(从大到小的顺序是14等差数列na，中，21a，公差不为零，且naaa,31恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于15关于直角AOB在平面内的射影有如下判断：可能是00的角；可能是锐角；可能是直角；可能是直角；可能是0180的角其中正确的序号是（注：把你认为正确判断的序号都填上）16已知P是直线0843yx上的动点，PA，PB是圆

6、082222yxyx的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17解不等式212xx18如图，在多面体1111DCBAABCD中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与FE,两点，上、下底面矩形的长、宽分别为dc,与ba,，且dbca,，两底面间的距离为hADEFBCA1B1C1D1abdc第 3页（共 20页）（1）求侧面11AABB与底面ABCD所成二面角的大小；（2）证明：ABCDEF面/；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式hSV中截面估来计算，已知它的体积

7、公式是)4(6hV下底面中底面上底面SSS试判断估V与V的大小关系，并加以证明（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）19数列na由下列条件确定：01ax，Nnxaxxnnn),(211（1）证明：对2n，总有axn；（2）证明：对2n，总有1nnxx；（3）若数列na的极限存在，且大于零，求nnxlim的值20在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数nvvv,21的和nniivvvv211，计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有

8、数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果11V221VV22V112VV（1）当4n时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果11V22V33V44V（2）当128n时，要使所有机器都得到niiv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21已知)0,0(O，)0,1(B，),(cbC是OBC的三个顶点（1）写出OBC的重心G，外心

9、F，垂心H的坐标，并证明HFG,三点共线；（2）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹第 4页（共 20页）22 已 知)(xf是 定 义 在R上 的 不 恒 为 零 的 函 数，且 对 于 任 意 的Rba,都 满 足：)()()(abfbafbaf（1）求)1(),0(ff的值；（2）判断)(xf的奇偶性，并证明你的结论；（3）若2)2(f，)()2(Nnnfunn，求数列nu的前n项的和nS第 5页（共 20页）参考解答说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二.对

10、计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一.选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分 60 分。1.B2.D3.B4.C5.D6.D7.C8.A9.A10.C11.B12.A二.填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4 分，满分 16 分。13.523arctan()arcsin()arccos()45414.41

11、5.（1）（2）（3）（4）（5）16.2 2三.解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分12分。解：原不等式212212xxxx因为212212210202122xxxxxxxx()xxxx12250122又212210202122xxxxxx()或21020 xxxxx26502或122xxx215或122x25x或122x125x第 6页（共 20页）P G E F D1 C1A1c B1d D Q C H b A a B 所以，原不等式组xxx12125125因此，原不等式

12、的解集为|xx12518.本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12 分。（1）解：过B C11作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B GPQ1,垂足为平面 ABCD/平面A B C D1111，A B C11190ABPQ，AB B P1B PG1为所求二面角的平面角过C1作C HPQ1，垂足为 H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B PQC11为等腰梯形PGbd12()又B Gh1tgB PGhbdbd12()B PGarctghbd12，即所求二面角的大小为arctghbd2（2）证明：AB、CD 是

13、矩形 ABCD 的一组对边，有AB/CD又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线AB/面 CDEFEF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线AB/EFAB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外EF/面 ABCD（3）VV估证明：ac，bdVVhcdabacbdacbdh估642222()hcdabac bdac bd122223()()()()hac bd120()()VV估19.本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分12分。（1）证明：由xa10及xxaxnnn112()可归纳证明xn0（没有证明过程不扣分）第 7页（共 20页

14、）从而有xxaxxaxa nNnnnnn112()()所以，当n2时，xan成立（2）证法一：当n2时，因为xan0，xxaxnnn112()所以xxxaxxaxxnnnnnnn1212120()故当n2时，xxnn1成立证法二：当n2时，因为xan0，xxaxnnn112()所以xxxaxxxaxxxxnnnnnnnnnn12222212221()故当n2时，xxnn 1成立（3）解：记limnxAn，则limnxAn 1，且A0由xxaxnnn112()得lim(limlim)nxnxanxnnn112即AAaA12()由A0，解得Aa故20.本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学

15、问题的能力，满分12 分（1）解：当n4时，只用 2 个单位时间即可完成计算方法之一如下：第一单位时间第二单位时间第三单位时间机器号初始时被读机号结果被读机号结果被读机号结果1 v12 v1+v23 vvvv12342 v21 v2+v14 vvvv21433 v34 vv341 vvvv34124 v43 vv432 vvvv4321（2）解：当n12827时，至少需要7 个单位时间才能完成计算21.本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13第 8页（共 20页）分（1）解：由OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c0），可求得重心 G（b

16、13，c3），外心 F（12，bcbc222），垂心 H（b，bbc2）当b12时，G、F、H 三点的横坐标均为12，故三点共线当b12时，设 G、H 所在直线的斜率为kGH，F、G 所在直线的斜率为kFG因为kcbbcbbcbbcbGH3133312222()kcbcbcbcbbcbFG32131233122222()所以kkGHFG，G、F、H 三点共线综上可得，G、F、H 三点共线（2）解：若FH/OB，由kcbbcbFH2233120()，得3022()bbc（c0，b12）配方得3123422()bc，即()()()bc12123212222即()()()xy12123212222（

17、x12，y0）所以，顶点 C 的轨迹是中心在（12，0），长半轴长为32，短半轴长为12，且短轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（12，32），（12，32）四点22.本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13分（1）解：ffff()()()()00 000000因为ffff()()()()11 11111所以f()10（2）f x()是奇函数证明：因为ffff()()()()111102第 9页（共 20页）所以f()10fxfxfxxffx()()()()()11因此，fx()为奇函数（3）解法一：由f aaf aaf aafa()()()()2

18、2f aa f aaf aa f a()()()()32223猜测fanaf ann()()1下面用数学归纳法证明：1.当n1时，f aaf a()()101，公式成立2.假设当nk时，fakaf akk()()1成立那么当nk1时f aaf aaf akkk()()()1a f akaf akk()()()()kaf ak1，公式仍成立由上两步可知，对任意nN，f anaf ann()()1成立所以ufnfnnn()()()212121因为f()22，ffff()()()()12122121220所以ff()()1214212unn()()12121（nN）因此Snnn12112112121()()（nN）解法二：当ab0时，f a babf bbf aa()()()令g xf xx()()，则g a bg ag b()()()故g ang an()()所以faag ana g anaf annnnn()()()()1所以ufnfnnn()()()212121（以下同解法一）第 10页（共 20页）第 11页（共 20页）第 12页（共 20页）第 13页（共 20页）第 14页（共 20页）第 15页（共 20页）第 16页（共 20页）第 17页（共 20页）第 18页（共 20页）第 19页（共 20页）第 20页（共 20页）