2019-2020学年四川省成都外国语学校高一下学期期中(理科)数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年四川省成都外国语学校高一第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知 ab0，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Ba2abC1?1?D?2在等比数列an中，a22，a516，则 a6（）A28B32C64D143已知直线3xy+10 的倾斜角为，则 tan（+?4）（）A 2B-12C2D124 ABC 中，如果?=?=?，那么 ABC 是（）A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形5已知等差数列an中，前 n 项和 Sn满足 S10S342，则 a7的值是（）A3B6C7D96等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S2 2，S3 6，

2、则 S5（）A18B10C 14D 227几何原本卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）A?+?2?（a0，b0）B a2+b22ab（a0，b0）C2?+?（a0，b0）D?+?2?2+?22（a0，b0）8在 ABC 中，A、B、C 对边分别为a、b、c，A60，b1，这个三角形的面积为?，则 a（）A2B?C2?D?9已知数列 an为等差数

3、列，Sn为前 n 项和，公差为d，若?20202020-?2020=?，则 d的值为（）A120B110C10D2010设当 x时，函数f（x）2sinxcosx 取得最大值，则cos（）A55B255C-55D-25511设直线nx+（n+1）y=?(?)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+S2019+S2020的值为（）A20172018B20182019C20192020D2020202112在锐角 ABC 中，a2，B2A，则 b 的取值范围是（）A(?，?)B(?，?)C(?，?)D(?，?)二、填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分）13 sin?12=

4、14等比数列 an前 n 项和?=?+?，则 r15已知直线kx y+1k0 恒过定点A，且点 A 在直线 mx+ny20（m 0，n0）上，则 mn 的最大值为16 若对于?(?，?2)，不等式1?2?+?2?恒成立，则正实数p 的取值范围为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）过 A 点且平行于BC 的直线方程（2）AC 边上的高所在的直线方程18在 ABC 中，a 7，c3，且 5sinC3sinB（）求b 的值；（）求A 的大小19已知数列 an的前 n 项和 Sn2n2n（1）求数列 an的通项公式

5、；（2）设 bn（1）n?an，求数列 bn的前 2n 项和 T2n20已知函数?(?)=?(?-?3)+?（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当?-?12，?2时，求函数f（x）的值域21在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足?-?+?=?+?-?（1）求角 A；（2）若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积 S的最大值22已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 S32S2+1（1）求数列 an的通项公式；（2）若数列 an为递增数列，数列bn满足?=2?-12?(?)，求数列bn的前 n 项和Tn（3）在条件（2）下，若不等式 nTn 3 n

6、+bn0 对任意正整数n 都成立，求的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分共 60 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷1已知 ab0，则下列不等式成立的是（）Aa2b2Ba2abC1?1?D?【分析】方法一：该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足ab0 任意数，代入后看所给等式是否成立，即可得到正确选项方法二：比较大小可采用作差比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系解：方法一：若ab 0，不妨设a 2，b 1 代入各个选项，错误的是A、B、D，故选 C方法二：ab0a2b2（ab）（a+b）0 即 a2

7、b2，故选项A 不正确；ab0a2ab a（ab）0 即 a2ab，故选项B 不正确；ab01?-1?=?-?0 即1?1?，故选项C 不正确；ab0?-1=?-?0 即?1，故选项D 正确故选：D2在等比数列an中，a22，a516，则 a6（）A28B32C64D14【分析】利用等比数列的通项公式即可得出解：设等比数列an的公比为q，a2 2，a516，a1q 2，?=16，解得 a1 1，q2则 a62532故选：B3已知直线3xy+10 的倾斜角为，则 tan（+?4）（）A 2B-12C2D12【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求得tan的值，再利用两角和的正切公式求得tan（+?

8、4）的值解：直线3xy+10 的倾斜角为，tan 3，则 tan（+?4）=?+11-?=-2，故选：A4 ABC 中，如果?=?=?，那么 ABC 是（）A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【分析】把已知等式中切转化成弦，进而利用正弦定理求得cosA 与 cosB，cosC 相等，判断出 ABC，进而可知三角形为等边三角形解：?=?=?，?=?=?，?=?=?，cosAcosBcosC，ABC，三角形为等边三角形故选：B5已知等差数列an中，前 n 项和 Sn满足 S10S342，则 a7的值是（）A3B6C7D9【分析】利用等差数列的求和公式通项公式即可得出解：S10S34

9、2，10a1+45d（3a1+3d）42，化为：a1+6d6，则 a7a1+6d6，故选：B6等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S2 2，S3 6，则 S5（）A18B10C 14D 22【分析】运用等比数列的通项公式和前n 项和公式列方程解方程可解决此问题解：根据题意得，q1a?+a22 a3 8 又 a1（1+q）2，a1q2 8q2 44q解得 q 2，a1 2S5 22故选：D7几何原本卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F 在半圆 O

10、上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB，设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）A?+?2?（a0，b0）B a2+b22ab（a0，b0）C2?+?（a0，b0）D?+?2?2+?22（a0，b0）【分析】由图形可知：OF=12?=?+?2，OC=?-?2在 Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF=(?+?2)?+(?-?2)?=?2+?22利用 CF OF 即可得出解：由图形可知：OF=12?=?+?2，OC=?-?2在 Rt OCF 中，由勾股定理可得：CF=(?+?2)?+(?-?2)?=?2+?22CF OF，?+?2?2+?22（a，b0）故选：D8在 ABC 中，

11、A、B、C 对边分别为a、b、c，A60，b1，这个三角形的面积为?，则 a（）A2B?C2?D?【分析】在ABC 中，由，A60，b1，其面积为?，可求得c，利用余弦定理a2b2+c2 2b?c?cosA 可以求得a解：在 ABC 中，A60，b1，SABC=12?=12?=?，c 4，由余弦定理得：a2b2+c22b?c?cosA1724112=13，解得 a=?；故选：D9已知数列 an为等差数列，Sn为前 n 项和，公差为d，若?20202020-?2020=?，则 d的值为（）A120B110C10D20【分析】等差数列的性质可知，?=a1+12(?-?)?，代入即可求解解：由等差数

12、列的性质可知，?=a1+12(?-?)?，若?20202020-?2020=?，则 d=12?-12?=100，解可得，d=110故选：B10设当 x时，函数f（x）2sinxcosx 取得最大值，则cos（）A 55B2 55C-55D-255【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=?sin（x+）（其中，cos=25，sin=-15），由题意可得+2k+?2，k z，即 2k+?2-，k z，再利用诱导公式求得cos 的值解：当 x时，函数f（x）2sinxcosx=?（2 5sinx-15cosx）=?sin（x+）取得最大值，（其中，cos=25，sin=-15）+2k+

13、?2，k z，即 2k+?2-，k z，cos cos（2k+?2-）cos（?2-）sin=-15，故选：C11设直线nx+（n+1）y=?(?)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+S2019+S2020的值为（）A20172018B20182019C20192020D20202021【分析】首先利用直线的方程的应用求出三角和形的面积，进一步利用裂项相消法的应用求出结果【解答】解直线nx+（n+1）y=?(?)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则当 y0 时，解得?=2?当 x0 时，解得?=2?+1，所以?=122?2?+1=1?(?+1)=1?-1?+1，则：S1+S2+S2

14、019+S2020=?-12+12-13+?+12020-12021=?-12021=20202021故选：D12在锐角 ABC 中，a2，B2A，则 b 的取值范围是（）A(?，?)B(?，?)C(?，?)D(?，?)【分析】由已知结合锐角三角形的条件可求A 的范围，然后结合正弦定理可表示b，进而可求解：因为?2?2?-?2，解可得，?6?4，由正弦定理可得，?=?，所以 b=2?2?=4cosA(?，?)故选：B一、选择题13 sin?12=6-24【分析】由半角公式及特殊角的函数值即可求值解：sin?12=1-?62=1-3222-34=6-24故答案为：6-2414等比数列 an前 n

15、 项和?=?+?，则 r1【分析】可根据 anSnSn1求得数列的通项公式，进而求得a1，再根据 a1S1求得 r解：Sn3n+r，Sn13n1+r，（n2，n N+），anSnSn1 2?3n1，又 a1S1 3+r，由通项得：a26，公比为3，a12，r 1故答案为：115已知直线kx y+1k0 恒过定点A，且点 A 在直线 mx+ny20（m 0，n0）上，则 mn 的最大值为1【分析】利用直线系方程求得A 的坐标，代入mx+ny2 0，得 m+n2，再由基本不等式求最值解：由直线kxy+1k0，得 k（x1）y+10，则?-?=?-?+?=?，解得 x 1，y1直线 kxy+1k0

16、恒过定点A（1，1），代入 mx+ny2 0，得 m+n2，又 m0，n0，mn(?+?2)?=(22)?=?当且仅当mn 1 时等号成立故答案为：116若对于?(?，?2)，不等式1?2?+?2?恒成立，则正实数p 的取值范围为p4【分析】因为?(?，?2)，不等式1?2?+?2?恒成立，首先把不等式利用sin2x+cos2x1 进行变换，然后利用?+?当且仅当ab 时取等号的方法求出其最小值，让最小值大于等于9 得到关于P 的不等式求出解集即可解：1?2?+?2?=(1?2?+?2?)(?+?)=?+?+?2?2?+?2?2?+?+?=(?+?)?所以由不等式1?2?+?2?恒成立，得(?

17、+?)?故答案为：p4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：（1）过 A 点且平行于BC 的直线方程（2）AC 边上的高所在的直线方程【分析】（1）求得直线BC 的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，以及点斜式方程即可得到所求直线方程；（2）求得 AC 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，以及点斜式方程即可得到所求直线方程解：（1）?=10-68-0=12，直线为?=12(?-?)，整理得 2yx 40；（2）?=6-00-4=-32，AC 边的高过 B（8，10）点，且斜率为23，y 10=23（x8），

18、整理得 AC 边的高所在直线方程为2x3y+14 018在 ABC 中，a 7，c3，且 5sinC3sinB（）求b 的值；（）求A 的大小【分析】（）由正弦定理可将5sinC3sinB 化为 5c3b，代入 c 的值，求出b；（）由余弦定理可得cosA，然后求出A解：（）5sinC 3sinB，5c3b，?=53?=53?=5；（）由余弦定理，有cosA=?2+?2-?22?=25+9-4930=-12，A（0，），A=2?319已知数列 an的前 n 项和 Sn2n2n（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bn（1）n?an，求数列 bn的前 2n 项和 T2n【分析】（1）直接利用数

19、列的递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和解：（1）数列 an的前 n 项和 Sn2n2n 所以当 n2 时，?-?=?(?-?)?-(?-?)所以 an SnSn12n2n2（n1）2+n 14n 3当 n 1 时，首项符合通项，故 an4n3（2）由于 an4n3，所以?=(-?)?(?-?)，故?=?-?(?为偶数)?-?(?为奇数)，所以?=?(5+4?-3)2+?(-1+3-4?)2=?(4?-2+2-4?)2=?20已知函数?(?)=?(?-?3)+?（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）当?-?12，?2时，求函数f（x）的值域【

20、分析】（1）结合两角差的正弦公式，二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后根据正弦函数的性质可求；（2）由?-?12，?2，可求?-?6-13?，56?，结合正弦函数的性质可求值域解：（1）?(?)=?(?-?3)+?，4cosx（12?-32?+sinx），4cosx（32?-32?）6sinxcosx2?cos2x，3sin2x-?（1+cos2x）2?sin（2x-?6）-?，T，由 2x-?6=12?+?可得对称轴x=13?+12?，k Z，（2）由?-?12，?2，可得?-?6-13?，56?，sin（2x-?6）-32，?，2?sin（2x-?6）-?，2?sin（2x-?6）-

21、?-?-?，?，函数 f（x）的值域为 3-?，?21在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足?-?+?=?+?-?（1）求角 A；（2）若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积 S的最大值【分析】（1）由已知化简可得b2+c2 a2bc，利用余弦定理可求cosA=12，结合范围A（0，），可得A 的值（2）根据正弦定理求出a，根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可解：（1）?-?+?=?+?-?a2（bc）2bc，可得 b2+c2 a2bc，cosA=?2+?2-?22?=?2?=12，A（0，），A=?3（2）ABC 的外接圆半径R 为 1

22、，由正弦定理得?=2R2，得 a2sinA2sin?3=232=?，a2b2+c22bccos?3，即 3b2+c2 bc2bc bcbc，即 bc3则三角形的面积S=12bcsinA12 332=334，（bc 时取等号）故三角形面积最大值为3 3422已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 S32S2+1（1）求数列 an的通项公式；（2）若数列 an为递增数列，数列bn满足?=2?-12?(?)，求数列bn的前 n 项和Tn（3）在条件（2）下，若不等式 nTn 3 n+bn0 对任意正整数n 都成立，求的取值范围【分析】（1）设公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得q，

23、进而得到所求通项公式；（2）由题意可得an2n1，bn（2n1）?（12）n，由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；（3）由题意可得2?-1?(2?+3)恒成立，可令t 2n1（t 为正奇数），转化为t 的函数，求得最大值即可解：（1）等比数列 an的公比设为q，前 n 项和为 Sn，a11，且 S32S2+1，可得 1+q+q22（1+q）+1，解得 q 1 或 q 2，则 an（1）n1；或 an 2n1；（2）数列 an为递增数列，可得an2n1，数列 bn满足?=2?-12?(?)，即为 bn（2n1）?（12）n，前 n 项和 Tn1?12+3?14+?+（2n

24、1）?（12）n，12Tn1?14+3?18+?+（2n 1）?（12）n+1，相减可得12Tn=12+2（14+18+?+（12）n）（2n1）?（12）n+1=12+2?14(1-12?-1)1-12-（2n1）?（12）n+1，化为 Tn 3（2n+3）?（12）n；（3）不等式 nTn3 n+bn0 对任意正整数n 都成立，即为 （Tn3）+?0，即 2?-1?(2?+3)恒成立，可令 t2n1（t 为正奇数），可得2?-1?(2?+3)=2?(?+1)(?+4)=2?+4?+5，由 t+4?4，当 t1 时，t+4?=5，t3 时，t+4?=133，t5 时，t+4?=295，可得 t3，即 n2 时，2?-1?(2?+3)取得最大值314，则 314