高中数学第2章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2.pdf

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1、精品教案可编辑【金版学案】2016-2017 学年高中数学第 2 章 平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修 2 一、数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”解析几何研究问题的主要方法坐标法，就是数形结合的典范在本章的学习中主要体现在以下两个方面：(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关

2、系等都可能用到数形结合思想例 1 已知圆C1：x2y24 和圆C2：x2(y8)24，直线y52xb在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围解：画出示意图如图所示，直线y52xb，即5x2y 2b0.精品教案可编辑当直线与圆C1相切时，|2b|5 42，解得b3；当直线与圆C2相切时，|16 2b|5 42，解得b5 或b11.结合图形可知3b5.规律总结圆是一种几何特征非常明显的图形在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题变式训练 1设点P(x，y)是圆x2(y4)24 上的任意一点，则（x1）2（y1）2的最大值为 _ 解析：因为点P

3、(x，y)是圆x2(y4)24 上的任意一点，精品教案可编辑所以（x1）2（y1）2表示点(1，1)与该圆上任意一点的距离易知点(1，1)在圆x2(y 4)24 外，如图所示，所以（x1）2（y1）2的最大值为（10）2（14）2 2262.答案：26 22已知点A(3，1)，在直线yx和y 0 上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出最短周长解：由点A(3，1)及直线yx，可求得点A关于yx的对称点B(1，3)，同理可得点A关于y0 的对称点C(3，1)，如图所示精品教案可编辑则AMANMNBMCNMNBC，当且仅当B，M，N，C四点共线时，AMN的周长最短，为BC25.由点B(1，3)

4、，C(3，1)可得直线BC的方程为2xy50.由2xy 50，yx，得x53，y53.故点M的坐标为53，53.对于 2xy50，令y0，得x52，故点N的坐标为52，0.故点M53，53与点N52，0 即所求，此时AMN的周长最短，且最短周长为25.二、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一，其实质就是把整体问题化为部分问题，从而增加题设的条件来解决问题例 2 过点P(1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线方程解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x 1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)

5、当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x 1)，ykx2.令y0，分别得x 1，x2k.由题意12k 1，即k1.精品教案可编辑所以这两条直线的方程分别为yx1，yx 2，即xy 10，xy20.综上可知，所求的直线方程分别为x 1，x0 或xy10，xy20.规律总结研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类讨论这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视，也是犯“对而不全”错误的根源之一变式训练 3已知直线l：4xysin 10，求它的斜率及斜率的取值范围解：直线l的方程中y的系数是 sin，而 sin 的值域是 1，1，sin 的值可取零

6、，但 sin 0 的直线的斜率不存在，故视sin 为研究对象，分类讨论(1)当 sin 0，即k(k Z)时，直线l的斜率不存在，倾斜角2；(2)当 sin 0，即k(k Z)时，直线l的斜率k4sin?k的取值范围为(，4 4，)三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较广泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都精品教案可编辑要用到函数与方程思想例 3 已知过点(3，0)的直线l与圆x2y2x6y3 0 相交于P，Q两点，且OPOQ(其中O为坐标原点)，求直线l的方程分析：已知OPOQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2y1y20，由点P，Q在圆及直线l上，可联立方

7、程，借助根与系数的关系求解解：设直线l的方程为xay30，由题意知a 0.由x2y2x 6y30，xay30，(*)消去y，得x23xa2x 63xa30，即(a21)x2(a26a6)x3a218a90，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x23a218a 9a21.由方程组(*)消去x，得(3ay)2y23ay 6y30，即(a21)y2(7a 6)y150，所以y1y215a21.依题意知OPOQ，所以x1x2y1y20.将代入，得3a218a9a2115a21 0.整理，得a26a80，解得a2 或a4，经检验知a2 和a4 都满足题意，所以直线l的方程为x2y30 或x4y3

8、0.精品教案可编辑规律总结函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量间的函数关系通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定变式训练 4已知直线l：y12x和两个定点A(1，1)，B(2，2)，问直线l上是否存在一点P，使得|PA|2|PB|2取得最小值，若存在，求出点P的坐标和|PA|2|PB|2的最小值；若不存在，说明理由解：假设存在一点P，使得|PA|2|PB|2取得最小值，设此点为P(2x0，x0)，则|PA|2|PB|2(2x01)2(x01)2(2x02)2(x02)210 x2018x010.因为x0R

9、，所以当x0910，即点P的坐标为95，910时，PA2PB2可取得最小值，且最小值为1910.四、转化与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，从而精品教案可编辑使问题快速得到解决例 4 已知实数x，y满足yx2 2x2(1x 1)，试求y3x2的最大值和最小值解：设yx2 2x2(1x 1)表示曲线段AB.由y3x2的几何意义可知，它表示定点P(2，3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，如图所示，可知kPAkkPB.由已知可得A(1，1)，B(1，5)，所以kPA1（3）1（2）43，kPB5（3）1（2）8.所以43k8，故y 3x2的最大值是8，最小值是43.精品教案可编辑规律总结对于形如ky2y1x2x1的分式函 数ycdxabx的值域问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，利用数形结合进行求解变式训练 5已知实数x，y满足xy10，求x2y2 2x2y2 的最小值解：原式可化为(x 1)2(y1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1，1)间距离的平方，而点P(x，y)在直线xy10 上设d为点Q到直线xy10 的距离，由|PQ|d得（x1）2（y1）2|1 11|2，即x2y22x2y 292，故所求最小值为92.