2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)(20200816113326).pdf
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1、第1页(共 31页)2005 年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)一、选择题:1(2005 福建文、理)已知等差数列na中,12497,1,16aaaa则的值是()A15 B30 C31 D 64 解:由7916aa,得 a8=8,8 17844d,a12=1+874=15,选(A)2.(2005 广东)已知数列nx满足212xx,)(2121nnnxxx,,4,3n若2limnxx,则1x(B)A23B3 C4 D5 解法一:特殊值法,当31x时,3263,1633,815,49,2365432xxxxx由此可推测2limnxx,故选B解法二:)(2121nnnxxx,)(21211
2、nnnnxxxx,21211nnnnxxxx即,nnxx1是以(12xx)为首项,以21为公比 6 的等比数列,令nnnxxb1,则11111211)21()21(2)21)(xxxxqbbnnnnn)()(23121xxxxxxn)(1nnxx121211)21()21()2(xxxx11)21(xn3)21(32)21(1)21(12111111xxxxnn2323)21(321111limlimxxxxnxnx,31x,故选B.解法三:)(2121nnnxxx,0221nnnxxx,其特征方程为0122aa,解得211a,12a,nnnacacx2211,11xx,212xx,3211x
3、c,3212xc,3)21(3232)21(3211111xxxxxnnn,以下同解法二第2页(共 31页)3(2005 湖南文)已知数列na满足)(133,0*11Nnaaaannn,则20a=()A0 B3C3D23评述:本题由数列递推关系式,推得数列 an是周期变化的,找出规律,再求 a20.【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系.,【正确解答】解法一:由 a1=0,).(1331Nnaaannn得 a2=-,0,3,343aa由此可知:数列 an是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=-.3故选 B.解法二:设tannna,则1tantan3tan()31ta
4、ntan3nnnnay,则13nn,由10a可知,00,故数列 n是以零为首项,公差为3的等差数列,20019()3,202019tantan()33a.选 B【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的,如此这般,既显得过于复杂,同时破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的.4(2005 湖南理)已知数列 log2(an1)(nN*)为等差数列,且a13,a25,则lim21321111()nnnaaaaaa=
5、()A2B23C1D21评析:本题考查了等差数列,等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。【思路点拨】本题是涉及到数列与极限的混和题,运用等差数列的性质与公式来化简,求出数列的一个关系式,最后利用无穷极限的运算性质完成.【解法 1】由题意知,221212log(1)log(1)log(1)nnnaaa,得:211(1)(1)(1)nnnaaa,得1na是一个等比数列,得12nna,所以11111121212nnnnnaa由等比数列无穷数列极限得:lim21321111()1nnnaaaaaa.选 C.解法 2:由题意得:d2logloglog2222242,求得 d=1,则nnan
6、1)1(1)1(log212,21nnnnaa即又由nnnnnaa21221111第3页(共 31页)所以nnnaaaaaa212121111212312=nn211211)211(21所以.1)211(lim)111(lim12312nnnnnaaaaaa故选 C。【解后反思】这是一道数列极限的综合题,解决此类问题,一般都要找出数列中前后项隐含的关系,当然,如果是等比数列和等差数列就更好啦,如果不是,就要求出它们之间存在的递推关系,并将这个等式代入所要求的式子,进行初步化简,最后再利用极限的运算法则,就可以得到正确的答案.5.(2005 江苏)在各项都为正数的等比数列 an中,首项a13,前
7、三项和为21,则 a3a4a5(A)33(B)72(C)84(D)189 答案:C 评述:本题考查了等比数列的相关概念,及其有关计算能力.解析:设等比数列 an的公比为q(q0),由题意得:a1+a2+a3=21,即 3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得 q=2(q=-3 舍去),所以 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4,8421故选 C.6.(2005 全国文)如果数列na是等差数列,则(A)a1+a8a4+a5(D)a1a8=a4a5【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想,最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.【正确解答】由14853,3a
8、ad aad得,21845459a aa ada a(0d)选 B解法 2:本题是单项选择题,可用举实例的方法来决定选择支,最简单的例子如1,2,3,4,5,6,7,8。显然只有1 84 5,即 a1a8a4 a5,故选(B)【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算,而对于本题等差数列来说,一般方法,即转化为首项和公差处理,是最基本的方法,要牢固掌握.7.(2005全国理)如果 a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列,公差d0,则(A)a1a8a4a5(B)a1a8a4a5(C)a1+a8a4+a5(D)a1a8=a4a5【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想,最有效的办法是将
9、数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.【正确解答】由14853,3aad aad得,21845459a aa ada a(0d)选 B 解法 2:本题是单项选择题,可用举实例的方法来决定选择支,最简单的例子如1,2,3,4,5,6,7,8。显然只有1 84 5,即 a1a81,则nnnbbbb121lim.解:nnnbbbb121lim11111limlimlim(1)1nnnnnnnnnbbbbbbbbb=11b5(2005 湖北理)设等比数列na的公比为q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q 的值为.解:由题意可知q1,可得 2(1-qn)=(1-qn+1
10、)+(1-qn+2),即 q2+q-2=0,解得 q=-2 或 q=1(不合题意,舍去),q=-2.6.(2005 全国文)在22738和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_.【思路点拨】本题考查等比数列的基本概念和基础知识.【正确解答】设插入三个数为2,a aq aq,则aq是22738和的等比中项,且0aq,即第6页(共 31页)38 27366()21832aqaq2(aq),所以,插入的三个数的乘积为218.解法 2:a1=83,a5=272,a2a3a4=(a1a5)1.5=63=216.【解后反思】要熟悉等差(等比)中项的性质,恰当地设项便于问题的解决.一
11、般地,等差数列的连续三项可设为,2,3ad ad ad或,ad a ad,等比数列的连续三项可设为2,a aq aq或,aa aqq.7.(2005山东理)2222lim(1)nnnnCCn_【思路点拨】本题考查组合数公式和性质及数列极限的基本运算,先化简分子,分子分母除以n 的最高次幂就可得到结果.【正确解答】222222221(1)1322332limlimlimlim21(1)(1)(1)221nnnnnnnnnn nCCCCnnnnnn.答案 32【解后反思】要会求分子分母均是n 的多项式,当n时的极限,分式是型时.1010()lim0()()naba na nab nbnb(,N)不
12、存在8.(2005 天津文、理)在数列na中,121,2aa,且21(1)nnnaa*()nN,则10S【思路点拨】本题考查数列的运算能力和判断能力,考虑到100S和符号因子(1)n可对 n 的奇偶性分析入手,找出规律而解之.【正确解答】当n为奇数时,20nnaa;当n为偶数时,22nnaa因此,数列na的奇数各项都是1,偶数项成公差为2 的等差数列2100100115050 21005050260022aaSaa本题答案填写:2600【解后反思】根据数列的特征,分n 为奇偶找出其规律性是解决本题的关键.9(2005 重庆理)nnnnn231233232lim=.解:nnnnn23123323
13、2lim=8()38939limlim3889()19nnnnnnnn第7页(共 31页)10、(2005 上海理)计算:112323limnnnnn=_.【思路点拨】本题考查了数列的极限求法,是属于lim0nq(1q)型,由分母分子都除以3n进行求极限.【正确解答】1123()323limlim31 2321()2 3nnnnnnnn.【解后反思】要掌握数列常规极限的方法.三、解答题:1、(2005 春招北京文)(本小题满分 14 分)已知na是等比数列,21a,454a;nb是等差数列,21b,1234123.bbbbaaa(1)求数列na的通项公式及前n项和nS的公式;(2)求数列nb的
14、通项公式;(3)设14732nnUbbbb,其中,2,1n,求10U的值。1本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力满分14 分解:()设 an 的公比为q,由341aa q得34127,3aqqa,所以数列na的通项公式为12 3nna。数列na的前n项和的公式为2(31)31.31nnnS()设数列nb的公差为 d,1234143486.2bbbbbdd由312341233126bbbbaaa,得8626,3.dd所以1(1)31.nbbndn()14732,nb b bb组成以 3d 为公差的等差数列,所以10110(10 1)103425.
15、2Ubd2、(2005春招北京理)(本小题满分 14 分)已知na是等比数列,21a,183a;nb是等差数列,21b,203214321aaabbbb。(1)求数列nb的通项公式;(2)求数列nb的前n项和nS的公式;(3)设23741nnbbbbP,82141210nnbbbbQ,其中,2,1n,试比较nP与nQ的大小,并证明你的结论。2本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解决第8页(共 31页)问题的能力满分14 分解:()设 an 的公比为 q,由 a3=a1q2得39132qaaq.13,3,226234426,.,20261862,3;,20,2
16、0141862,3114321321321321nbdbdbbbbbdbaaaqaaaaaaqnn所以解得又得由的公差为设数列故符合题意时当故舍去矛盾这与时当().21232)(21nnbbnSnn()b1,b4,b7,b3n-2组成以 3d 为公差的等差数列,所以.,18;,19;,20,),19(23)263()2529(,26322)1(,29,2,;252932)1(22210108214121021nnnnmnnnnnnQPnQPnQPnnnnnnnnQPnndnnnbQbdbbbbnndnnnbP时当时当时当对于正整数所以所以为公差的等差数列组成3.(2005 春招上海)(本题满分
17、14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第 2 小题满分8分.某市 2004 年底有住房面积1200 万平方米,计划从 2005 年起,每年拆除20 万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2005 年底和 2006 年底的住房面积;(2)求 2024 年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)3.解(1)2005 年底的住房面积为124020%)51(1200(万平方米),2006 年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002(万平方米)2005 年底的住房面积为1240 万平方米,2006 年底的住房
18、面积约为1282 万平方米.6 分(2)2024 年底的住房面积为20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(120018192010 分64.252205.0105.120%)51(12002020(万平方米)2024 年底的住房面积约为2522.64 万平方米.14 分4.(2005 北京文)数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,113nnaS,n=1,2,3,求(I)a2,a3,a4的值及数列 an 的通项公式;(II)2462naaaa的值.第9页(共 31页)【详解】(I)由 a1=1,113nnaS,n=1,2,3,得211111333aSa,3212114(
19、)339aSaa,431231116()3327aSaaa,由1111()33nnnnnaaSSa(n2),得143nnaa(n 2),又 a2=31,所以 an=21 4()3 3n(n2),数列 an 的通项公式为2111 4()23 3nnnan;(II)由(I)可知242,naaa是首项为31,公比为24()3项数为 n 的等比数列,2462naaaa=22241()1343()143731()3nn.5(2005 北京理)(本小题共12 分)设数列.,41,21,4111为奇数为偶数且的首项nanaaaaannnn记.,3,2,1,4112nabnn()求a2,a3;()判断数列nb
20、是否为等比数列,并证明你的结论;()求).(lim21nnbbb【答案】【详解】解:(I)213211,44111.228aaaaaa(II)因为43113428aaa,所以54113.2416aaa所以1b112335111111110,(),().44424444baabaabaa猜想:nb是公比为12的等比数列.证明如下:因为第10页(共 31页)12121414nnnbaa122121*111)24411()241,()2nnnaabnN(所以nb是首项为14a,公比为12的等比数列.(III)11121(1)12lim(.)lim2().1141122nnxxbbbbba【名师指津】
21、数列类型题,数列通项公式的递推公式经常在已知条件中给出,利用列举、叠加、叠乘等方法求之通项公式的方法应掌握,另外递推公式与数学归纳法思想一致,数学归纳法证明方法经常在此类题中运用.等差等比数列的通项公式及前n项和公式的求法和运用,等差等比数列的性质做为本章复习的重点内容.6(2005 福建文)(本小题满分12 分)已知 na是公比为 q 的等比数列,且231,aaa成等差数列.()求q 的值;()设 nb是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为 Sn,当 n2 时,比较 Sn与 bn的大小,并说明理由.解:()由题意得:2a2=a1+a2,即 2a2q2=a1+a1q,a10,2
22、q2-q-1=0,q=1 或 q=12()若 q=1,则2(1)32122nn nnnSn.当 n2 时,1(1)(2)02nnnnnSbS,故nnSb若 q=12,则2(1)1192()222nn nnnSn,当 n2 时,1(1)(10),2nnnnnSbS,故对于 nN+,当 2n9 时,Snbn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n11 时,Snbn7(2005 福建理)(本小题满分14 分)已知数列 an满足 a1=a,an+1=1+na1我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1 时,得到无穷数列:.0,1,21:,21;,35,23,2,1得到有穷数列时当a()求当a
23、 为何值时 a4=0;第11页(共 31页)()设数列 bn满足 b1=1,bn+1=)(11Nnbn,求证 a 取数列 bn中的任一个数,都可以得到一个有穷数列 an;()若)4(223nan,求 a 的取值范围.解:()a1=a,1+11a=a2,a2=1aa,3212111aaaa,43131121aaaa,故当23a时,40a()b1=-1,1111,1,1nnnnbbbb当 a=b1时,a1=1+11b=0 当 a=b2时,a2=211b=b1,a2=0,当 a=b3时,a3=1+31b=b2,a3=1+122111bab,a4=0,一般地,当 a=bn时,an+1=0,可得一个含育
24、n+1 项的有穷数列a1,a2,a3,an+1.可用数学归纳法加以证明:当 n=1 时,a=b1,显然 a2=0,得到一个含2项的有穷数列a1,a2.假设当 n=k 时,a=bk,得到一个含有k+1 项的有穷数列a1,a2,a3,ak+1,其中 ak+1=0,则 n=k+1 时.a=bk+1,a2=1+11kkbb.由假设可知,可得到一个含有k+1 项的有穷数列a2,a3,ak+2,其中 ak+2=0.由知,对一切 nN+,命题都成立.()要使32,2na即13112,2na,1an-12.要使32,2na,当且仅当它的前一项an-1,满足 1an-10.8(2005 湖北文)(本小题满分12
25、 分)设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2,nb为等比数列,且.)(,112211baabba()求数列na和nb的通项公式;第12页(共 31页)()设nnnbac,求数列nc的前 n 项和 Tn.8本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解:(1):当;2,111San时,24)1(22,2221nnnSSannnn时当故 an 的通项公式为4,2,241daanann公差是即的等差数列.设 bn 的通项公式为.41,4,11qdbqdbq 则故.42,4121111nnnnnnbbqbb的通项公式为即(II),4)12(422411nnnnnnnba
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