2019-2020学年浙江省金华市东阳中学高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

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1、2019-2020 学年浙江省金华市东阳中学高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10 小题）.1已知集合A1，2，3，4，B 2，4，6，则 AB 的元素个数是（）A0 个B1 个C2 个D3 个2直线 x+2y+30 的斜率是（）A-12B12C 2D23“k2 且 b 1”是“直线ykx+b 过点（1，1）”的（）A充分条件不必要B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4函数 f（x）sin（2x+?3）（x R）的最小正周期为（）A?2BC2D45已知向量?=(?，?)，?=(?，?)，且?，则实数x 的值是（）A 2B2C8D 86已知等比数列an中，an23n1，则由此

2、数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和 Sn的值为（）A3n1B3（3n1）C9?-14D3(9?-1)47在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，若（?bc）cosAacosC，则 cosA（）A12B 32C 33D 2284设椭圆 C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A?242-?232=1B?2132-?252=1C?232-?242=1D?2132-?2122=19设 x，y 满足约束条件?-?-?-?+?，?，若目标函数zax+by（a0，b0）的最大值是 12，

3、则?29+?24的最小值为（）A1325B12C1D210定义域为R 的偶函数f（x）满足对任意x R，有 f（x+2）f（x）f（1），且当 x 2，3时，f（x）2x2+12x18，若函数yf（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A（0，33）B（0，22）C（0，55）D（0，66）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分11已知?=33，则 cos2，?(?+3?2)=12若函数 f（x）（a+x）（2x）（a R）是偶函数，则a，值域为13在等差数列an中，若 a1+a5+a94，则 a5，tan（a2+

4、a8）14一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为，该该几何体的体积为15过点 P（2，1）的直线与抛物线y216x 交于 A、B 两点，且?+?=?则此直线的方程为16函数 f（x）x3+ax2 在区间（1，+）内是增函数，则实数 a 的取值范围是17 若对任意 x 1，2且 y 2，3，不等式 xyax2+2y2恒成立，则实数 a的取值范围是三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知向量?=(?，?)，?=(?，?)，?=32，且 A，B，C 分别是锐角三角形ABC 三边 a，b，c 所对的角（）求 C 的大小；（）若a，

5、c，b 成等比数列，且?=?，求 c 的值19设 an是公差大于零的等差数列，已知a12，a3a2210（）求 an的通项公式；（）设 bn是以 1 为首项，以3 为公比的等比数列，求数列anbn的前 n 项和 Sn20在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD，AD BC，BC2AD4，AB CD=?（）证明：BD平面 PAC；（）若二面角APCD 的大小为60，求 AP 的值21已知椭圆C：?2?2+?2?2=?(?)的离心率为 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点 A 的坐标为（a，0），|AB|=425，

6、求直线 l 的倾斜角22设函数f（x）xlnx（x0）（1）求函数 f（x）的最小值；（2）设 F（x）ax2+f（x）（a R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为 k 的直线与曲线yf（x）交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）两点，求证：?1?参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A1，2，3，4，B 2，4，6，则 AB 的元素个数是（）A0 个B1 个C2 个D3 个【分析】求出A 与 B 的交集，找出交集元素的个数即可解：A1，2，3，4，B2，4，6，AB2，4，则 AB 的元

7、素个数是2 个故选：C2直线 x+2y+30 的斜率是（）A-12B12C 2D2【分析】将直线方程变形后，即可求出直线的斜率解：直线变形得：y=-12x-32，则直线斜率为-12故选：A3“k2 且 b 1”是“直线ykx+b 过点（1，1）”的（）A充分条件不必要B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线ykx+b 过点（1，1），所以得到1k+b，下面只要验证k+b1 能否得出 k2 且 b 1，k 2 且 b 1 能否得出 k+b1 就可以了解：由直线y kx+b 过点（1，1）得：1k+b，即：k+b1，k+b1 得不出 k 2 且b 1，直线 ykx+b 过点

8、（1，1）不是 k2 且 b 1 的必要条件；而 k2 且 b 1 能得出 k+b1，直线ykx+b过点（1，1）是 k2 且 b 1 的充分条件故选：A4函数 f（x）sin（2x+?3）（x R）的最小正周期为（）A?2BC2D4【分析】根据了函数yAsin（x+）的周期为2?，计算求得结果解：函数f（x）sin（2x+?3）（x R）的最小正周期为T=2?2=，故选：B5已知向量?=(?，?)，?=(?，?)，且?，则实数x 的值是（）A 2B2C8D 8【分析】由题意可得x+240，解之即可解：向量?=(?，?)，?=(?，?)，且?，x+24 0，解得 x 8故选：D6已知等比数列a

9、n中，an23n1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和 Sn的值为（）A3n1B3（3n1）C9?-14D3(9?-1)4【分析】求出等比数列an中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求解：等比数列an中，an23n1，即有 a2 6，a454，则新数列的公比为9，即有 Sn=6(1-9?)1-9=3(9?-1)4故选：D7在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，若（?bc）cosAacosC，则 cosA（）A12B 32C 33D 22【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sinB 不

10、为 0 求出 cosA 的值即可解：已知等式（?b c）cosAacosC，利用正弦定理化简得：（?sinB sinC）cosAsinAcosC，整理得：?sinBcosAsinAcosC+cosAsinCsin（A+C）sinB，sinB0，cosA=33，故选：C84设椭圆 C1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A?242-?232=1B?2132-?252=1C?232-?242=1D?2132-?2122=1【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到?=?=?，曲线C2是以 F1（5，0

11、），F2（5，0），为焦点，实轴长为8 的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程解：在椭圆C1中，由?=?=513，得?=?=?椭圆 C1的焦点为F1（5，0），F2（5，0），曲线 C2是以 F1、F2为焦点，实轴长为8 的双曲线，故 C2的标准方程为：?242-?232=1，故选：A9设 x，y 满足约束条件?-?-?-?+?，?，若目标函数zax+by（a0，b0）的最大值是 12，则?29+?24的最小值为（）A1325B12C1D2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数zax+by（a0，b0）的最大值是 12，确定 a，b 之间的关系，二次函数的图象和性质确定函数的最小值解：

12、作出不等式对应的平面区域如图：由 zax+by（a 0，b0），得 y-?+?，平移直线y-?+?，由图象可知当直线y-?+?经过点 A 时，直线y-?+?的截距最大，此时确定最大值12，由?-?-?=?-?+?=?，解得?=?=?，即 A（4，6），代入目标函数得4a+6b12，即?3+?2=?，则?2=?-?3，6b12 4a0，0a3?29+?24=?29+(?-?3)?=2?29-2?3+?=29(?-32)?+12，0a3，当 a=32时，?29+?24=29(?-32)?+12取得最小值12故选：B10定义域为R 的偶函数f（x）满足对任意x R，有 f（x+2）f（x）f（1），

13、且当 x 2，3时，f（x）2x2+12x18，若函数yf（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A（0，33）B（0，22）C（0，55）D（0，66）【分析】由题意可判断函数f（x）是定义在R 上的，周期为 2 的偶函数，令 g（x）loga（x+1），画出 f（x）与 g（x）在0，+）的部分图象如下图，将 yf（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点可化为f（x）与 g（x）的图象在（0，+）上至少有三个交点，从而解出a 的取值范围解：f（x+2）f（x）f（1），令 x 1，则 f（1）f（1）f（1），f（x）是定义在R 上的偶函数，

14、f（1）0f（x）f（x+2），则函数 f（x）是定义在R 上的，周期为2 的偶函数，又当 x 2，3时，f（x）2x2+12x18，令 g（x）loga（x+1），则 f（x）与 g（x）在 0，+）的部分图象如下图yf（x）loga（x+1）在（0，+）上至少有三个零点可化为f（x）与 g（x）的图象在（0，+）上至少有三个交点，g（x）在（0，+）上单调递减，则?-?，解得：0a33，故选：A二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分11已知?=33，则 cos2-13，?(?+3?2)=-33【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，诱导公式即可化

15、简求解解：?=33，cos2 2cos2 12(33)?-1=-13，?(?+3?2)=-cos=-33故答案为：-13，-3312若函数f（x）（a+x）（2x）（a R）是偶函数，则a2，值域为（，4【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）（a+x）（2x）x2（a2）x+2a，分析可得f（x）是对称轴为xa2 的二次函数，结合偶函数的性质可得a 的值，即可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案解：根据题意，函数f（x）（a+x）（2x）x2（a2）x+2a，是对称轴为xa 2 的二次函数，若函数 f（x）（a+x）（2x）（a R）是偶函数，必有a20，即 a2；则 f（

16、x）（2+x）（2 x）4x24，即函数的值域为（，4；故答案为：2，（，413在等差数列an中，若 a1+a5+a94，则 a543?，tan（a2+a8）-?【分析】由已知结合等差数列的性质可求a5，然后结合特殊角的三角函数值即可求解解：等差数列an中，由等差数列的性质可得，a1+a5+a93a5 4，则 a5=4?3，tan（a2+a8）tan2 a5tan8?3=tan2?3=-?故答案为：4?3，-?14一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为144cm2，该该几何体的体积为64cm3【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积解：根据几何体

17、的三视图转换为直观图为：该几何体为正棱锥体如图所示：故：?=?+?12?=?cm2，?=13?-?=?cm3故答案为：144cm2，64cm315过点 P（2，1）的直线与抛物线y216x 交于 A、B 两点，且?+?=?则此直线的方程为8xy15 0【分析】设出A，B 两点的坐标并代入抛物线方程，由?+?=?知 P 为 AB 的中点，利用点差法求出直线AB 的斜率，由点斜式得方程解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）由?+?=?，得 P 为 AB 的中点把 A，B 的坐标代入抛物线方程得，?=?=?得：?1-?2?1-?2=16?1+?2所以?=?1-?2?1-?2=162=?则过 AB

18、 两点的直线方程为y18（x 2）即 8x y15 0故答案为8xy15016函数 f（x）x3+ax2 在区间（1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是3，+）【分析】求出f（x），因为要求函数的增区间，所以令f（x）大于等于0，然后讨论 a 的正负分别求出x 的范围，根据函数在区间（1，+）上是增函数列出关于a 的不等式，求出a 的范围即可解：f（x）3x2+a，令 f（x）3x2+a0 即 x2-?3，当 a0，x R；当 a0 时，解得x-?3，或 x-?3；因为函数在区间（1，+）内是增函数，所以-?3 1，解得 a 3，所以实数a 的取值范围是3，+）故答案为：3，+）17若对任意

19、x 1，2且 y 2，3，不等式 xyax2+2y2恒成立，则实数 a 的取值范围是1，+）【分析】将a 分离出来得a?-2?（?）2，然后根据x 1，2，y 2，3，求出?的范围，令t=?，可得at2t2在1，3上恒成立，利用二次函数的性质求出t2t2的最大值，即可求出a 的范围解：由不等式xyax2+2y2对于 x 1，2且 y 2，3恒成立，可得 a?-2?（?）2，对于 x 1，2且 y 2，3恒成立，令 t=?，由?=?-0?-0表示两点（0，0）与（x，y）的斜率，根据右图可知，点（2，2）代入可得t 的最小值为1，点（1，3）代入可得t 的最大值3，则 1t3，则 at2t2在1

20、，3上恒成立，由 y 2t2+t 2（t-14）2+18，1t3，可得函数y 在 1，3递减，则t1，即 xy1 时，ymax 1，可得 a 1，故答案为：1，+）三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18已知向量?=(?，?)，?=(?，?)，?=32，且 A，B，C 分别是锐角三角形ABC 三边 a，b，c 所对的角（）求 C 的大小；（）若a，c，b 成等比数列，且?=?，求 c 的值【分析】（）通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解C 的大小（）a，c，b 成等比数列，得到c2 ab，结合向量的数量积转化求解即可解：（）向量?=(

21、?，?)，?=(?，?)，?=32，可得 sinAcosB+cosAsinB=32即 sin（A+B）=32，所以sinC=32，又因为 C 是锐角三角形内角，所以C=?3（）因为a，c，b 成等比数列，所以c2 ab，又?=?，所以abcosC18所以ab36，即 c236，所以 c 619设 an是公差大于零的等差数列，已知a12，a3a2210（）求 an的通项公式；（）设 bn是以 1 为首项，以3 为公比的等比数列，求数列anbn的前 n 项和 Sn【分析】（）由已知条件利用等差数列通项公式求出差，由此能求出an2n（）由已知条件得?=?-?，anbn2n3n1，由此能求出数列anb

22、n的前 n 项和Sn解：（）an是公差大于零的等差数列，a1 2，a3a22102+2d（2+d）210，解得 d2，或 d 4（舍），an2+（n1）22n（）bn是以 1 为首项，以3 为公比的等比数列，?=?-?，anbn2n 3n1，Sn2（1+2+3+n）（1+3+32+3n1）2?(?+1)2-1-3?1-3=?+?+12-3?220在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD，AD BC，BC2AD4，AB CD=?（）证明：BD平面 PAC；（）若二面角APCD 的大小为60，求 AP 的值【分析】（）设O 为 AC 与 BD 的交点，作DE BC 于点 E，证明 BOC90，可

23、得 ACBD 由 PA平面 ABCD 得 PABD，利用线面垂直的判定定理，可得BD平面 PAC；（）方法一：作OHPC 于点 H，连接 DH，可得 DHO 是二面角A PCD 的平面角，在Rt PAC 中，?=?，可求AP 的值；方法二：以O 为原点，OB，OC 所在直线为x，y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC、平面 PAC 的法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角APCD 的大小为60，可求AP 的值【解答】（）证明：设O 为 AC 与 BD 的交点，作DEBC 于点 E由四边形ABCD 是等腰梯形得CE=?-?2=1，DE=?-?=3，所以 BEDE，从而得 DBC BCA 45

24、，所以 BOC90，即 ACBD由 PA平面 ABCD 得 PABD，因为 ACPAA，所以 BD平面 PAC（）解：方法一：作OHPC 于点 H，连接 DH 由（）知DO平面 PAC，故 DOPC所以 PC平面 DOH，从而得PC OH，PCDH 故 DHO 是二面角APCD 的平面角，所以 DHO 60在 Rt DOH 中，由 DO=?，得 OH=63在 Rt PAC 中，?=?设 PAx，可得?2+18=36解得 x=32211，即 AP=32211方法二：（）由（）知ACBD 以 O 为原点，OB，OC 所在直线为x，y 轴，建立空间直角坐标系O xyz，如图所示由题意知各点坐标如下：

25、A（0，-?，0），B（?，0，0），C（0，?，0），D（-?，0，0）由 PA平面 ABCD，得 PAz 轴，故设点 P（0，-?，t）（t0）设?=（x，y，z）为平面PDC 的法向量，由?=（-?，-?，0），?=（-?，?，t）知-?-?=?-?+?-?=?取 y1，得?=（2，1，3 2?）又平面 PAC 的法向量为?=（1，0，0），于是|cos?，?|=|?|?|?|=25+18?2=12解得 t=32211，即 AP=3221121已知椭圆C：?2?2+?2?2=?(?)的离心率为 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l 与椭圆相交于

26、不同的两点A、B，已知点 A 的坐标为（a，0），|AB|=425，求直线 l 的倾斜角【分析】（1）由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a 和 b 的值，求得椭圆的方程；（2）设直线 l 方程，代入椭圆方程，求得B 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨 AB 丨，即可求得k 的值，求得直线l 的倾斜角解：（1）由椭圆的离心率e=?=?-?2?2=32，则 a2 4b2，a2b，由122a2b4，即 ab2，由 解得：a2，b1，椭圆的方程?24+?=?；（2）由题知，A（2，0），直线l 斜率存在，故设l：y k（x+2），则?=?(?+?)?24+?=?，整理得：（

27、1+4k2）x2+16k2x+（16k24）0，0，由-?=16?2-41+4?2，得?=2-8?21+4?2，?=4?1+4?2，|?|=(-?-?)?+(?-?)?=41+?21+4?2，4 1+?21+4?2=4 25，k 1故直线的倾斜角为?4或3?422设函数f（x）xlnx（x0）（1）求函数 f（x）的最小值；（2）设 F（x）ax2+f（x）（a 一、选择题），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为 k 的直线与曲线yf（x）交于 A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2）两点，求证：?1?【分析】（1）根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么

28、极小值就是最小值；（2）先确定函数的定义域然后求导数F（x），讨论a 在函数的定义域内解不等式F（x）0 和 F（x）0 即可求得；（3）要证?1?，即证?2-?1?2-?1?，等价于证?2?1-1?2?1?2?1，令?=?2?1，则只要证?-1?，由 t1 知 lnt 0，故等价于证lnt t 1tlnt（t1）即可【解答】（1）解：f（x）lnx+1（x0），令 f（x）0，得?=1?当?(?，1?)时，f（x）0；当?(1?，+)时，f（x）0，当?=1?时，?(?)?=1?1?=-1?（2）F（x）ax2+lnx+1（x0），?(?)=?+1?=2?2+1?(?)当 a0 时，恒有F（

29、x）0，F（x）在（0，+）上是增函数；当 a0 时，令 F（x）0，得 2ax2+10，解得?-12?；令 F（x）0，得 2ax2+10，解得?-12?综上，当a0 时，F（x）在（0，+）上是增函数；当 a0 时，F（x）在(?，-12?)上单调递增，在(-12?，+)上单调递减（3）证：?=?(?2)-?(?1)?2-?1=?2-?1?2-?1要证?1?，即证?2-?1?2-?1?，等价于证?2?1-1?2?1?2?1，令?=?2?1，则只要证?-1?，由 t1 知 lnt 0，故等价于证lnt t 1tlnt（t1）（*）设 g（t）t1lnt（t1），则?(?)=?-1?(?)，故 g（t）在 1，+）上是增函数，当 t1 时，g（t）t1 lntg（1）0，即 t1lnt（t1）设 h（t）tlnt（t1）（t1），则 h（t）lnt 0（t1），故 h（t）在 1，+）上是增函数，当 t1 时，h（t）tlnt（t1）h（1）0，即 t1tlnt（t1）由 知（*）成立，得证