人教版八年级数学等腰三角形“三线合一”的性质讲义(含解析).pdf

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1、第 6 讲 等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5 分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。知识梳理讲解用时：20分钟 B C 等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。2、等腰三角形的性质：（1）等

2、腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）A 课堂精讲精练【例题 1】在ABC 中，AB=AC，AB=15，则 C的度数为（）A50B55C60D70【答案】B【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得C的度数等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和

3、判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.A B C解：AB=AC，AB=15B=C，A=B+15B+C+A=180 C=55 故选：B讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了三角形内角和等腰

4、三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 1.1】3如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D是 AC上一点，BC=BD=AD，求 A的大小？【答案】【解析】由 BD=BC=AD可知，ABD，BCD 为等腰三角形，设 A=ABD=x，则C=CDB=2x，又由 AB=AC 可知，ABC为等腰三角形，则 ABC=C=2x，在ABC中，用内角和定理列方程求解解：BD=BC=AD，ABD，BCD 为等腰三角形，设A=ABD=x，则 C=CDB=2x，又AB=AC 可知，ABC 为

5、等腰三角形，ABC=C=2x，在ABC 中，A+ABC+C=180，即 x+2x+2x=180，解得 x=36，即A=36讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 2】在ABC 中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（）AA的平分线，AB边上的中线，AB边上的高BA的平分线，BC边上的中线，BC边上的高CB的平分线，AC边上的中线，AC边上的高DC的平分线，AB边上的中线，AB边上的

6、高【答案】B【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解：在 ABC 中，AB=AC，A是顶角，A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合故选：B讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 2.1】如图，在 ABC中，AB=AC，点 D为 BC的中点，则下列结论中错误的是（）ABAD=CAD BAD BC C B=C DBAC=B【答案】D【解析】由在 ABC中，AB=AC，点 D为 BC的中点，根据等

7、边对等角与三线合一的性质，即可求得答案解：AB=AC，点 D为 BC的中点，BAD=CAD，AD BC，B=C故 A、B、C正确，D错误故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】如图，在ABC中，AB=AC，AD平分 BAC，那么下列结论不一定成立的是（）AABD ACD BB=C CAD是ABC的中线DABC是等边三角形【答案】D【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断解：在 ABC 中，AB=AC，AD平分 BA

8、C，B=C，AD是ABC的中线，高线，BD=DC，ADB=ADC=90，在 RtABD与 RtACD中，RtABD RtACD（SAS），故 A、B、C都成立，只有 D不一定成立故选：D讲解用时：3 分钟解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 三线合一 教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 3.1】如图，在 ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分 BAC，则 BD=cm【答案】3【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC 解：AB=AC，AD平分 BAC，BD

9、=BC=6=3cm 故答案为：3讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 3.2】如图，在等边 ABC 中，BD AC于 D，若 AB=4，则 AD=【答案】2【解析】根据 ABC是等边三角形可知AB=AC，再由 BD AC可知 AD=AC，由此即可得出结论解：ABC 是等边三角形，AB=4，AB=AC=4，BD AC，AD=AC=4=2故答案为：2讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性

10、质是解答此题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 4】如图，在 ABC 中，AB=AC，D是 BC边上的中点，且 DE AB，DF AC 求证：1=2【答案】1=2【解析】D是 BC的中点，那么 AD就是等腰三角形 ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是 BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解证明：连接 AD 点 D是 BC边上的中点AD平分 BAC（三线合一性质），DE AB，DF AC DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离

11、相等），1=2（等边对等角）讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 4.1】如图，在 ABC 中，AB=AC，DB=DC 求证：（1）BAD=CAD（2）AD BC【答案】（1）BAD=CAD；（2）AD BC【解析】（1）利用“边边边”证明 ABD和ACD 全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得BAD=CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可证明：（1）在 ABD 和ACD中，AB

12、D ACD（SSS），BAD=CAD；（2）ABD ACD，BAD=CAD，又AB=AC，AD BC 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 5】ABC 中，AB=AC，中线 BD将ABC周长分成 12 和 9 两部分求 ABC三边【答案】8，8，5 或 6，6，9【解析】设 AB=AC=2x，BC=y，则 AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答解：设 AB=AC=2x

13、，BC=y，则 AD=BD=x，AC上的中线 BD将这个三角形的周长分成12 和 9两部分，有两种情况：1、当 3x=12，且 x+y=9，解得 x=4，y=5，三边长分别为 8，8，5；2、当 x+y=12 且 3x=9 时，解得 x=3，y=9，此时腰为 6，三边长分别为 6，6，9，综上，三角形的三边长为8，8，5 或 6，6，9讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 5.1】有一条长为 21cm的细绳围成一个

14、等腰三角形（1）如果腰长是底边长的3 倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由【答案】（1）3cm；（2）底边是 5cm，腰长是 8cm的等腰三角形【解析】（1）设底边长为 xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分 5 是底边和腰长两种情况讨论求解解：（1）设底边长为 xcm，则腰长为 3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得 x=3cm；（2）若 5cm为底时，腰长=（215）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若 5cm为腰时，底边=2152=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，5+5=1

15、011，不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是 8cm的等腰三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 6】如图，在ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC边上，且 BE=CF，BD=CE（1）求证：DEF是等腰三角形；（2）当 A=40时，求 DEF的度数【答案】（1）DEF是等腰三角形；（2）70【解析】（1）由 AB=AC，ABC=ACB，BE=CF，B

16、D=CE 利用边角边定理证明DBE CEF，然后即可求证 DEF是等腰三角形（2）根据 A=40 可求出 ABC=ACB=70 根据 DBE CEF，利用三角形内角和定理即可求出 DEF的度数证明：AB=AC，ABC=ACB，在DBE 和CEF中，DBE CEF，DE=EF，DEF是等腰三角形；（2）DBE CEF，1=3，2=4，A+B+C=180，B=（18040）=701+2=1103+2=110DEF=70 讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180，因此有一定的难度，属于中档题教学建议：通过证明两个三

17、角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 6.1】如图，在 ABC 中，AB=AC，A=36，DE是 AB的垂直平分线（1）求证：BCD 是等腰三角形；（2）若 ABD的周长是 a，BC=b，求 BCD的周长（用含 a，b 的代数式表示）【答案】（1）BCD是等腰三角形；（2）ab【解析】（1）先由 AB=AC，A=36，可求 B=ACB=72，然后由 DE是 AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得 ACD=A=36，然后根据外角的性质可求：CDB=ACD+A=72，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证BC

18、D 是等腰三角形；（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由ABD的周长是 a，可得 AB=a 2b，由 AB=AC，可得 CD=a 3b，进而得到 BCD的周长=CD+BD+BC=a3b+b+b=a b（1）证明：AB=AC，A=36，B=ACB=72，DE是 AC的垂直平分线，AD=DC，ACD=A=36，CDB 是ADC 的外角，CDB=ACD+A=72，B=CDB，CB=CD，BCD 是等腰三角形；（2）AD=BD=CB=b，ABD 的周长是 a，AB=a 2b，AB=AC，CD=a 3b，BCD 的周长长=CD+BD+BC=a3b+b+b=a b讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了

19、等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识 此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 7】如图，ABC 中，AB=AC，D是 BC的中点，过 A点的直线 EF BC，且 AE=AF，求证：DE=DF【答案】DE=DF【解析】连接 AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD BC，再结合已知条件 EF BC，得到 AD EF，又 AE=AF，即 AD垂直平分 EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=

20、DF 证明：如图，连接AD ABC 中，AB=AC，D是 BC的中点，AD BC，EF BC，AD EF，又 AE=AF，AD垂直平分 EF，DE=DF 讲解用时：4 分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中准确作出辅助线是解题的关键教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 7.1】如图BD平分 ABC，点 E在 AB边上，满足 DE=BE 试判断 DE与 BC的位置关系，并证明你的结论【答案】DE BC【解析】根据角平分线的定义可得1=2，根据等边对等角可得2=3，然后求出

21、 1=3，再根据内错角相等，两直线平行解答解：DE BC 理由如下：如图，BD平分 ABC，1=2，DE=BE，2=3，1=3，DE BC 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 8】在ABC 中，AD平分 BAC，BD AD，垂足为 D，过 D作 DE AC，交 AB于 E，若AB=5，求线段 DE的长【答案】2.5【解析】求出 CAD=BAD=EDA，推出 AE=DE，求出 ABD=EDB，推出 B

22、E=DE，求出 AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可解：AD平分 BAC，BAD=CAD，DE AC，CAD=ADE，BAD=ADE，AE=DE，AD DB，ADB=90，EAD+ABD=90，ADE+BDE=ADB=90，ABD=BDE，DE=BE，AB=5，DE=BE=AE=AB=2.5讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习 8.1】如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平

23、分线，交BC于 D，过点 B 作 BE AC于 E，交 AD于 F，又知 AF=2BD，BCE与AFE全等吗？为什么？【答案】全等【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD BC，由已知条件得到 AF=BC，由垂直的定义得到 AEF=BEC=90，推出 EAF=CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论解：BCE与AFE全等，理由：AB=AC，AD是BAC的平分线，BC=2BD，AD BC，AF=2BD，AF=BC，BE AC于 E，AEF=BEC=90，AFE=BFD，EAF=CBE，在BCE 与AFE中，BCE AFE 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰

24、三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，已知 DE BC，AB=AC，1=125，则 C的度数是（）A55B45C35D65【答案】A【解析】首先根据 1=125，求出 ADE的度数；然后根据DE BC，AB=AC，可得 AD=AE，C=AED，求出 AED的度数，即可判断出 C的度数是多少解：1=125，ADE=180 125=55，DE BC，AB=AC，AD=AE，C=AED，AED=ADE=55，又 C=AED，C=55 故选：A讲解用时

25、：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 2】如图，在 ABC中，D为 AB边上一点 BD=BC，AD=DC，B=36求 ACB的度数【答案】108【解析】根据等腰三角形两底角相等求出BCD=BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出ACD，然后相加即可解：BD=BC，B=36，BCD=BDC=（180 B）=（18036）=72，AD=DC，A=ACD，ACD=BDC=72=36，ACB=ACD+BCD=36+72=108讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】下列说法中正确的是（）A等腰三

26、角形顶角的外角平分线与底边平行B等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C等腰三角形三条高都在三角形内D等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍【答案】A【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的解：A正确，可以通过证明验证如图所示，ABC 中，AB=AC，AE是 BA的延长线，AF是EAC的角平分线求证：AFBC 证明：AB=AC B=C AF是EAC的角平分线EAF=FAC EAC=B+C=EAF+FAC B=C=EAF=FAC AF BC 选项 A正确；其它选项无法证明是正确的故选：A讲解用时：4 分钟难度：4 适应场景：练习题

27、例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，在ABC中，AB=AC，AD是 BC边上的中线，E是 AC 边上的一点，且CBE=CAD 求证：BE AC【答案】BE AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD BC，再得出 CBE+C=90 证明：AB=AC，AD是 BC边上的中线，AD BC，CAD+C=90，又 CBE=CAD，CBE+C=90，BE AC 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】如图，已知 ABC 中，AB=AC，BC=6，AM平分 BAC，D为 AC的中点，E为 BC延长线上一点，且 CE=BC（1）求 ME的长；（2）求证：DMC 是等腰三角形【答案】（1）3；（2）DMC 是等腰三角形【解析】（1）由条件可知 M是 BC的中点，可知 BM=CM=CE=3；（2）由条件可知 DM为 RtAMC 斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得 DMC 是等腰三角形（1）解：AB=AC，AM平分 BAC，BM=CM=BC=CE=3，ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：AB=AC，AM平分 BAC，AM BC，D为 AC中点，DM=DC，DMC 是等腰三角形讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018