北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步练习题(含答案,教师版).pdf

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1、北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3 正方形的性质与判定同步练习题一、选择题1下列说法正确的是(C)A一组邻边相等的四边形是菱形 B四边相等的四边形是正方形C对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 D对角线相等的矩形是正方形2如图，在 ABC中，ACB 90，BC的垂直平分线EF 交 BC于点 D，交 AB于点 E，且BE BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(D)ABC AC B BD DF C CFBF DAC BF 3如图，正方形ABCD 中，AB 1，则 AC的长是(B)A1 B.2 C.3 D2 4.如图，正方形 ABCD的边长是2，对角线 AC，

2、BD相交于点O，点 E，F 分别在边AD，AB上，且 OE OF，则四边形AFOE的面积是(C)A4 B2 C 1 D.125.如图，以正方形ABCD 的顶点 A为坐标原点，直线 AB为 x 轴建立平面直角坐标系，对角线AC与 BD相交于点E，P为 BC上一点，点 P坐标为(a，b)，则点 P绕点 E顺时针旋转90得到的对应点P的坐标是(D)A(a b，a)B(b，a)C(a b，0)D(b，0)二、填空题6.如图，在正方形ABCD 的外侧作等边ABE，则 BFC 60.7如图，在正方形ABCD 中，E是 BD上一点，BE BA，则 ACE 22.5 8如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点

3、B，点 A，C到直线 l 的距离分别是3 和 4，则正方形ABCD 的面积是259.如图，在等腰RtABC中，C90，点 O是 AB的中点，且AC 1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC，BC相交，交点分别为 D，E，则两个三角形重叠部分的面积为14三、解答题10.如图，在矩形ABCD中，BE 平分 ABC，CE平分 DCB，BF CE，CFBE.求证：四边形BECF是正方形证明：BF CE，CFBE，四边形 BECF是平行四边形又在矩形ABCD 中，BE平分 ABC，CE平分 DCB，EBC ECB 45.BEC 90，BE CE.四边形 BECF

4、是正方形11.如图，点M，N分别是正方形ABCD 的边 BC，CD上的点，且BM CN，AM与 BN交于点 P，试探索 AM与 BN的关系(1)数量关系AM BN，并证明；(2)位置关系AM BN，并证明解：(1)AMBN.证明如下：四边形 ABCD 是正方形，ABM BCN 90，AB BC.在 ABM 和 BCN中，AB BC，ABM BCN，BM CN，ABM BCN(SAS)AM BN.(2)AM BN.证明如下：ABM BCN，BAM NBC.NBC ABN ABC 90，BAM ABN 90.APB 90.AM BN.12.如图，等边 AEF的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边

5、BC，CD上，且 CEF 45.求证：矩形ABCD 是正方形证明：四边形ABCD是矩形，B D C90.AEF是等边三角形，AE AF，AEF AFE 60.CEF 45，CFE CEF 45.AFD AEB 180 45 60 75.AEB AFD(AAS)AB AD.矩形 ABCD是正方形13.已知：如图，P是正方形ABCD 的对角线BD上一点，PE DC，PFBC，E，F 分别为垂足，求证：AP EF.证明：连接PC.ABCD 是正方形，ABP CBP，BCD 90.PE CD，PFBC，四边形 PFCE是矩形EFPC.在 ABP和 CBP中，AB CB，ABP CBP，BP BP，AB

6、P CBP(SAS)AP CP.AP EF.14.如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，E是 OC上一点，连接EB.过点 A作 AMBE，垂足为 M，AM与 BD相交于点 F.求证：OE OF.证明：四边形ABCD是正方形，BOE AOF 90，OB OA.又 AM BE，BEO MAE AFO MAE 90.BEO AFO.BOE AOF(AAS)OE OF.15.已知：如图，在菱形 ABCD中，点 E，O，F分别为 AB，AC，AD的中点，连接 CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCE DCF；(2)当 AB与 BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由解：(1

7、)证明：四边形ABCD是菱形，B D，AB BC DC AD.点 E，O，F 分别为 AB，AC，AD的中点，AE BE DFAFOF OE 12BC，OE BC.在 BCE和 DCF中，BE DF，B D，BC DC，BCE DCF(SAS)(2)当 AB BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)可得 AE OE OF AF，四边形 AEOF是菱形AB BC，OE BC，OE AB.AEO 90.四边形 AEOF是正方形16.如图，正方形 ABCD 的对角线交于点O，点 E，F 分别在 AB，BC上(AEBE)且 EOF 90，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N

8、，连接 MN.求证：OM ON.证明：EOF 90，AOB 90，AOM BON.四边形 ABCD 是正方形，DAC ABD 45，OA OB.OAM OBN 135.在 AOM 和 BON 中，AOM BON，OA OB，OAM OBN，AOM BON(ASA)OM ON.17.如图，在正方形ABCD 中，点 E是 BC的中点，连接DE，过点 A作 AG ED交 DE于点 F，交 CD于点 G.(1)求证：ADG DCE；(2)连接 BF，求证：AB FB.证明：(1)四边形ABCD 是正方形，ADG C90，AD DC.又 AG DE，DAG ADF CDE ADF 90.DAG CDE.

9、ADG DCE(ASA)(2)延长 DE交 AB的延长线于点H，E是 BC的中点，BE CE.又 C HBE 90，DEC HEB，DCE HBE(ASA)BH DC AB.B是 AH的中点又 AFH 90，在 RtAFH中，BF12AH AB.18.如图 1，?ABCD中，O是 CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：AOD EOC；(2)如图 2，连接 AC，DE，当 B AEB 45时，求证：四边形ACED 是正方形图 1 图 2 证明：(1)四边形ABCD 是平行四边形，AD BC.D OCE，DAO E.O是 CD的中点，OC OD.在 AOD 和 EOC 中，

10、D OCE，DAO E，DO CO，AOD EOC(AAS)(2)AOD EOC，OA OE.又 OC OD，四边形ACED 是平行四边形 B AEB 45，AB AE，BAE 90.四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD，ABCD.COE BAE 90.四边形 ACED 是菱形AB AE，ABCD，AE CD.四边形形ACED 是正方形19.如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均是正方形，连接BG，DE.(1)试判断 BG与 DE的关系；(2)当 AB 3，CE 2 时，求 BE2DG2的值解：(1)延长 BG交 DE于点 H.四边形 ABCD 和四边形CEFG是正方形DC BC，C

11、G CE，BCG DCE 90.RtBCG RtDCE(SAS)BG DE，GBC EDC.BGC GBC 90，BGC DGH，DGH EDC 90.DHG 90.BG DE.BG与 DE的关系是BG DE且 BG DE.(2)四边形ABCD 是正方形，BC AB DC 3.BE BC CE 3 25.四边形 CEFG 是正方形，CG CE 2.DG DC CG 321.BE2DG225126.20.如图，四边形ABCD 是正方形，点E是边 BC上任意一点，AEF 90，且 EF交正方形外角的平分线CF于点 F.求证：AE EF.证明：在 AB上截取 BM BE，连接 ME.B 90，CF平

12、分 DCH，BME FCH 45.AME ECF 135.AEF 90，AEB FEC 90.AEB MAE 90，MAE FEC.AB BC，BM BE，AM EC.在 AME 和 ECF中，MAE CEF，AM EC，AME ECF，AME ECF(ASA)AE EF.21.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC，AD AB，E是对角线AC上一点，且EB ED.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若 DE EC 26，AD43，求证：四边形ABCD 是正方形证明：(1)在 ADE和 ABE中，AD AB，AE AE，ED EB，ADE ABE(SSS)AED AEB，DAC BA

13、C.在 ADC和 ABC中，AD AB，DAC BAC，AC AC，ADC ABC(SAS)DC BC.AD BC，DAC ACB.ACB BAC.ABBC.AB BC CD AD.四边形 ABCD 是菱形(2)DE EC 26，AD 43，DE2EC2AD2 CD2.DEC 90.DCE EDC 45.ADC ABC，BCE DCE 45.DCB 90.四边形 ABCD 是菱形，四边形 ABCD 是正方形22.如图，在正方形ABCD 中，E是 AB上一点，F是 AD延长线上一点，且DFBE.(1)求证：CE CF；(2)若点 G在 AD上，且 GCE 45，则 GE BE GD成立吗？为什么

14、？解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，BC CD，B CDF.又 BE DF，CBE CDF(SAS)CE CF.(2)GE BE GD成立理由：由(1)得，CBE CDF，BCE DCF.BCE ECD DCF ECD，即 BCD ECF 90.又 GCE 45，GCF GCE 45.ECG FCG(SAS)GE GF.GE DFGD BE GD.23如图，在?ABCD 中，点 E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AECG，AH CF，且EG平分 HEF.(1)求证：AEH CGF；(2)若 EFG 90，求证：四边形EFGH 是正方形证明：(1)四边形ABCD 是平行四边形

15、，A C.在 AEH和 CGF中，AECG，A C，AHCF，AEH CGF(SAS)(2)四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，ABCD，B D.AE CG，AHCF，EB DG，HD BF.BEF DGH(SAS)EFHG.又 AEH CGF，EH GF.四边形 EFGH 为平行四边形EH FG.HEG FGE.EG平分 HEF，HEG FEG.FGE FEG.EFGF.又 EFG 90，四边形EFGH 是正方形24.如图，在正方形ABCD中，点 E，F分别为边BC，CD上一点，且 EAF 45，AE，AF分别交对角线BD于点 M，N.求证：MN2BM2DN2.解：过点 A作 GA A

16、N，使 GA NA，连接 GB，GM.GAB BAF 90，NAD BAF 90，GAB NAD.在 GAB和 NAD中，GA NA，GAB NAD，BA DA，GAB NAD(SAS)ABG ADN 45，BG DN.GBM 90.EAF 45，GAN 90，GAM 45.在 GAM 和 NAM 中，GA NA，GAM NAM，AM AM，GAM NAM(SAS)GM MN.在 RtGBM 中，GM2GB2BM2，MN2BM2DN2.25.如图，四边形ABCD 是正方形，G是直线 BC上的任意一点，DE AG于点 E，BFAG于点F.(1)如图 1，若点 G在线段 BC上，判断AF，BF，E

17、F之间的数量关系，并说明理由；(2)若点 G在 BC延长线上，判断AF，BF，EF之间的数量关系，并说明理由；(3)若点 G在 CB延长线上，直接写出AF，BF，EF之间的数量关系解：(1)AF EF BF.理由如下：四边形 ABCD 是正方形，AB AD，BAD 90.DE AG，BFAG，AFB DEA 90.BAF DAE DAE ADE 90.BAF ADE.在 BAF和 ADE中，AFB DEA，BAF ADE，AB DA，BAF ADE(AAS)AE BF.AFAE EFBFEF.(2)AF EFBF.理由如下：四边形 ABCD 是正方形，AB AD，BAD 90.DE AG，BFAG，AFB DEA 90.BAF DAE DAE ADE 90.BAF ADE.在 BAF和 ADE中，AFB DEA，BAF ADE，AB DA，BAF ADE(AAS)AE BF.AFEFAEBF.(3)AF BFEF.