初中数学竞赛辅导资料(20200816145045).pdf

《初中数学竞赛辅导资料(20200816145045).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导资料(20200816145045).pdf（3页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、33初中数学竞赛辅导资料经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由(1)2 1，（1）31，（1）4 1，归纳出 1 的奇次幂是1，而1 的偶次幂是 1。由两位数从10 到 99 共 90 个（9 10），三位数从100 到 999 共 900 个（9 102），四位数有 91039000 个（9103），归纳出 n 位数共有910n-1(个)3由 1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1 开始的 n 个連续奇数的和等于n2等。可以看出

2、经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）乙例题例 1平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点，12第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得123第 4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得123第 5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，得1234第 n 条直线和前n1 条直线

3、都相交，增加了n 1 个交点由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点1 23 n1（个），这里 n2，其和可表示为1+（n+1）21n,即2)1(nn个交点。34例 2符号 n！表示正整数从1 到 n 的連乘积，读作n 的阶乘。例如5！12345。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）解：当 n 1 时，3n 3,（n1）！1 22当 n 2 时，3n9，（n1）！1236当 n 3 时，3n27,（n1）！123424当 n 4 时，3n81,（n1）！12345120当 n 5 时，3n243,（n1）！6！720猜想其结论是：当 n1，2，3 时，3n（n1）！，当 n3 时 3

4、n（n1）！。例 3求适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。分析：这2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2 个，3 个，4 个直到发现规律为止。解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正

5、整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解为x1=x2=x3=x2001=1,x2002=2，x2003=2003。丙练习 141 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数有个。2 十进制的两位数21aa可记作 10a1a2,三位数321aaa记作 100a1+10a2+a3,四位数4321aaaa记作，n 位数记作3 由 1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2,13152，1323 n3=()2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（

6、是什么正整数的平方）个1101111252222个（）2；121111n个22222n个（）2。位91111位95655（）2；n位n位56551111（）2355 把自然数1 到 100 一个个地排下去：123 91011 991001这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算12111131211413120191（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.8.如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长8 等分，分成24 个小长方形，那么这24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽m 等分,长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数)那么这 mn 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分，切成 64 个小正方体，那么这64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长m 等分,宽 n 等分,高 p等分，（m,n,p 都是大于2 的自然数）那么这 mnp 个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，。