南京市金陵中学2014届高三上学期期中考试数学试题(含答案).pdf

《南京市金陵中学2014届高三上学期期中考试数学试题(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京市金陵中学2014届高三上学期期中考试数学试题(含答案).pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、金陵中学 20132014 学年度第一学期高三期中试卷数学（必做题）一、填空题:本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上1 设集合 A x12x2，B xx21 ，则 AB【答】x 1 x22.复数 i2（12i）的实部是【答】（1）3.命题“x R，x2+ax+10,b0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为【答】2【解析】由题意3ba，2()12cbeaa8.已知直线l平面 ，直线 m平面 ，则下列四个命题：若 ,则 l m；若 ,则 lm；若 lm,则 ；若 lm,则 .其中正确命题的序号是【答】9若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n 作为

2、点 P的横、纵坐标，则点 P在直线 xy=5 下方的概率为【答】16【解析】点 P在直线 x y=5 下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为666=1610.已知 f(x)=3sin(2x6)，若存在(0,)，使 f(+x)=f(-x)对一切实数x 恒成立，则=【答】65,311.已知 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f(x)x22x，若 f(2a2)f(a)，则实数a 的取值范围是【答】(2,1)12.已知函数 f(x)=|lg(x-1)|若 ab,f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是【答】32213.定义

3、在 R上的函数 f(x)满足 f(x)f(x5)16，当 x(1，4时，f(x)x22x，则函数 f(x)在0，2013上的零点个数是_【答】604【解析】由()(5)16fxf x，可知(5)()16fxf x，则(5)(5)0f xf x，所以()f x是以 10 为周期的周期函数.在一个周期(1,9上，函数2()2xf xx在(1,4x区间内有3 个零点，在(4,9x区间内无零点，故()f x在一个周期上仅有3 个零点，由于区间(3,2013中包含 201 个周期，又0,3x时也存在一个零点2x，故()f x在0,2013上的零点个数为32011604.14.已知函数 f(x)=4x+k

4、?2x+14x+2x+1，若对任意的实数x1,x2,x3,不等式 f(x1)+f(x2)f(x3)恒成立，则实数k的取值范围是【答】1,42【解析】42122()421221xxxxxxxxkkf x，令22xxt，则(1)()1(2)11tkkf tttt原题等价为：对于2t，minmax2()()f tf t恒成立，求实数k 的取值范围（1）当1k时，显然成立；（2）当1k时，2()13kf t，由22()13k，得112k；（3）当1k时，21()3kf t，由22 13k，得14k综上，实数k 的取值范围为1,42二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题纸指定区域内作答，解

5、答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14 分)已知向量a=(2cosx,2sinx)，b=(3cosx,cosx),设函数 f(x)=a?b-3,求：(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若()()626212ff,且 (2,).求.解()3f xa b=22 3cos2sin cos3xxx=sin 23cos2xx=2sin(2)3x-3 分(1)函数()f x的最小正周期为22T-5 分由222232kxk，得51212kxk（kZ）函数()f x的单调递增区间为5,()1212kkkZ-8分(2)()()626212ff，2sin2cos6，2 2sin(

6、)6411 分3sin()42，(,)2，3(,)444，43或23，712或1112-14 分16(本题满分14 分)如图,四边形 ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且 BD平面 CDE，H是 BE的中点,G是 AE,DF的交点.（1）求证:GH平面 CDE；（2）求证:面 ADEF 面 ABCD.证明：G是,AE DF的交点，G是 AE 中点，又 H 是 BE的中点，EAB中，ABGH/，-2分ABCD为平行四边形ABCD/GHCD，-4分又,CDCDE GHCDE平面平面/GH平面 CDE-7分BDCDE平面，所以 BDED，-9 分又因为四边形 AFED 为正方形，EDAD

7、，-10分ADBDD，EDABCD面，-12分EDAFED面AFEDABCD面面.-14分17（本题满分14 分）已知等差数列 an中，首项 a11，公差 d 为整数，且满足a1+3 a4，数列 bn满足 bn=1 an an+1，其前 n 项和为 Sn(1)求数列 an的通项公式；(2)若 S2为 S1，Sm(mN)的等比中项,求正整数 m 的值(3)对任意正整数k,将等差数列 an中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列 cn的前 n 项和 Tn 解：（1）由题意，得111132,53,aadadad解得32 d 0,a1)（1）若 a1，且关于x 的方程 f(x)=m 有两个

8、不同的正数解，求实数m 的取值范围；（2）设函数 g(x)=f(-x)，x-2，+），g x满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与 a 无关.试求 a 的取值范围解：(1)令xat，0 x，因为1a，所以1t，所以关于x 的方程fxm有两个不同的正数解等价于关于t的方程2tmt有相异的且均大于1 的两根，即关于t的方程220tmt有相异的且均大于1 的两根，2分所以2280,1,2120mmm，4分解得2 23m，故实数m的取值范围为区间(2 2,3).6分(2)|()2,2,)xxg xaax 当1a时，a)0 x时，1xa，()3xg xa，所以()3,)g x，b)20 x时

9、，211xaa()2xxg xaa，所以221()ln2lnlnxxxxag xaaaaaa8 分)当2112a即412a时，对(2,0)x，()0gx，所以()g x在 2,0)上递增，所以222(),3)g xaa，综合 a)b)()g x有最小值为222aa与 a 有关，不符合 10分)当2112a即42a时，由()0g x得1log 22ax，且当12log 22ax时，()0gx，当1log 202ax时，()0gx，所以()g x在1 2,log 22a上递减，在1log 2,02a上递增，所以min1()log 22ag xg22，综合 a)b)()g x有最小值为22与 a 无

10、关，符合要求1 2 分 当01a时，a)0 x时，01xa，()3xg xa，所以()(0,3g xb)20 x时，211xaa，()2xxg xaa，所以221()ln2lnlnxxxxagxaaaaaa0，()g x在 2,0)上递减，所以222()(3,g xaa，综合 a)b)()g x有最大值为222aa与 a 有关，不符合 1 5 分综上所述，实数a 的取值范围是42a16分金陵中学 20132014 学年度第一学期高三期中试卷数学（附加题）21【选做题】在下面A，B，C，D 四个小题中只能选做两题，每小题10 分，共 20 分A选修 41：几何证明选讲（本小题满分10 分）如图，

11、设 AB为O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P是O 与 l 的公共点，ACl，BDl，垂足分别为C，D，且 PC=PD，求证：（1）l 是 O 的切线；（2）PB平分 ABD.证明：（1）连结 OP，因为 ACl，BD l，所以 AC/BD.又 OA=OB，PC=PD，所以 OP/BD，从而 OPl.因为 P在O 上，所以 l 是O 的切线.5 分（2）连结 AP，因为 l 是O 的切线，所以 BPD=BAP.又BPD+PBD=90，BAP+PBA=90，所以 PBA=PBD，即 PB平分 ABD.10 分B选修 42：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵M1 23 4，N0 11 3（

12、1）求矩阵MN；（2）若点 P在矩阵 MN 对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点 P的坐标解：（1）MN1 23 40 11 32 54 9；5 分（2）设 P(x，y)，则解法一：2 54 9xy01，即2x5y0，4x9y1解得x52，y 1，即 P(52，1)10分解法二：因为2 54 919252 2 1所以xy9252 2 101521即 P(52，1)10分C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在直角坐标系xoy 中,曲线C的参数方程为22cos,2sin,xy（为参数），若以直角坐标系xoy 的原点为极点，OX 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l的极坐标

13、方程为 sin(+4)=0,求与直线l 垂直且与曲线C相切的直线m 的极坐标方程.解：22:,:(2)4lyx Cxy 3 分设:m yxb,直线m与C相切，可得|2|2,21 1bb或3 2b，7 分直线m的极坐标方程为cossin20或cossin3 20 10 分D选修 4-5：不等式选讲（本小题满分10 分）设 f(x)=x2x+13，实数 a 满足|x-a|1，求证：|f(x)-f(a)|2(|a|+1)证：13)(2xxxf，|)()(|22aaxxafxf1xaxa1x a，又1()21xaxaa21xaa1212(1)aa 10分必做题22（本小题满分10 分）口袋中有n(nN

14、)个白球，3 个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X,若 P(X=2)=730求：（1）n 的值；（2）X的概率分布与数学期望.解：（1）由题知,307)2)(3(3)2(23113nnnAAAXPnn分所以因为即即5.7,.0)7)(67(,042557*2nNnnnnn（2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以,120112073071071)4(,1207)3(,307)2(,107)1(310172311017XPAAAXPXPAAXP所以，X的概率分布表为X 1 2 3 4 P 107307120

15、71201所以.811120141207330721071)(XE答 X的数学期望是.81110分23（本小题满分10 分）设 P1，P2，Pj为集合 P1，2，i的子集，其中 i，j 为正整数 记 aij为满足 P1P2 Pj的有序子集组(P1，P2，Pj)的个数（1）求 a22的值；（2）求 aij的表达式解：（1）由题意得P1，P2为集合 P 1，2的子集，因为 P1P2，所以集合P1，2中的元素“1”共有如下3 种情形：1P1，且 1 P2；1P1，且 1 P2；1P1，且 1P2；同理可得集合P1，2中的元素“2”也有 3 种情形，根据分步乘法原理得，a2233 9；4 分（2）考虑 P 1，2，i中的元素“1”，有如下情形：1 不属于 P1，P2，Pj中的任何一个，共C0j种；1 只属于 P1，P2，Pj中的某一个，共C1j种；1 只属于 P1，P2，Pj中的某两个，共C2j种；1 只属于 P1，P2，Pj中的某(j1)个，共 Cj1j种，根据分类加法原理得，元素“1”共有 C0jC1jC2j Cj1j2j1 种情形，8 分同理可得，集合P 1，2，i中其它任一元素均有(2j1)种情形，根据分步乘法原理得，aij(2j1)i 10分