（最新）极限运算法则两个重要极限.pdf

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1、复习旧课：1无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限23 极限的运算法则231 极限的性质定理 1：（唯一性）如果极限?Skip Record If.?存在，则它只有一个极限。即若?Skip Record If.?，?Skip Record If.?，则?Skip Record If.?定理 2：（有界性）若极限?Skip Record If.?存在，则函数?Skip Record If.?在?Skip Record If.?的某一空心邻域内有界定理 3：（局部保号性）如果?Skip Re

2、cord If.?，并且?Skip Record If.?（或?Skip Record If.?），则在?Skip Record If.?的某一空心邻域内，有?Skip Record If.?（或?Skip Record If.?）。推论若在?Skip Record If.?的某一空心邻域内有?Skip Record If.?（或?Skip Record If.?），且?Skip Record If.?，则?Skip Record If.?（或?Skip Record If.?）。232 极限的运算法则定理 1：设?Skip Record If.?,?Skip Record If.?,则(1)

3、?Skip Record If.?=?Skip Record If.?(2)?Skip Record If.?若?SkipRecord If.?.(常数),则?Skip Record If.?(3)?Skip Record If.?证明 因为?Skip Record If.?,?Skip Record If.?，利用2。2 定理，它们可以分别写为:?Skip Record If.?=?Skip Record If.?,?Skip Record If.?讲述我们先介绍极限的运算法则证明从略。以 上 性 质 只 对?Skip Record If.?的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。其中?S

4、kip Record If.?均为无穷小量，则有：(1)?Skip Record If.?+?Skip Record If.?=A+B+?Skip Record If.?由 22 定理知?Skip Record If.?仍为无穷小量,所以?Skip Record If.?+?Skip Record If.?以 A+B为极限.即?Skip Record If.?=?Skip Record If.?.容易证明：?Skip Record If.?Skip Record If.?例 1 求?Skip Record If.?解?Skip Record If.?15例 2 求?Skip Record If

5、.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?例 3 求?Skip Record If.?解因为?Skip Record If.?0 根据无穷大于无穷小的关系所以有?Skip Record If.?SkipRecord If.?注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。例 4 求?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例 5?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例 6

6、求?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?结论：?Skip Record If.?例 7 求?Skip Record If.?设?Skip Record If.?为多项式当?Skip Record If.?时，?Skip Record If.?因 为?Skip Record If.?为多项式，所以极 限 值 等 于 在?Skip Record If.?处的函数值因 为?Skip Record If.?为 两 个 多 项 式商的极限，且在 x=1 处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。在 x=-1 处，分母为零，不能直接计算极限。

7、解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?小结：1 极限运算法则 2求极限方法 1）设?Skip Record If.?为多项式，则?Skip Record If.?。2）?Skip Record If.?、?Skip Record If.?均为多项式，且?Skip Record If.?，则?Skip Record If.?3）若?Skip Record If.?，则?Skip Record If.?4）若?Skip Record If.?为“?Skip Record If.?”型时，用因式分解找出“零因子”。5）结论：?Skip R

8、ecord If.?6）若?Skip Record If.?有界，则?Skip Record If.?7）若?Skip Record If.?为“?Skip Record If.?”型时，一般是通分或有理化后再处理。24 两个重要极限241 判别极限存在的两个准则准则 1（夹逼定理）设函数?Skip Record If.?在?Skip Record If.?的某一邻域?Skip Record If.?内满足?Skip Record If.?且有极限?Skip Record If.?，则有?Skip Record If.?准则 2 如果数列?Skip Record If.?单调有界，则?Skip

9、 Record If.?一定存在。242 两个重要极限在 x=-1 处，分母为零，不能直接计算极限。“?Skip Record If.?”型，先设法约去非零因子。“?Skip Record If.?”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以 x 的最高次幂。先通分，再计算。1极限?Skip Record If.?例 8 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?=?Skip Record If.?Skip Record If.?=1例 9 计算?Skip Record If.?解?Skip Rec

10、ord If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例 10 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?结论：?Skip Record If.?例 11 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?例 12 求?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例 13 求?Skip Record If.?解 错误做法：?Skip

11、 Record If.?Skip Record If.?1正确做法：?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?2极限?Skip Record If.?Skip Record If.?例 14 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?例 15 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?例 16 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Re

12、cord If.?例 17 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例 18 计算?Skip Record If.?解?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?例 19?Skip Record If.?解 令?Skip Record If.?所以?Skip Record If.?Skip Record If.?小结：?Skip Record If.

13、?Skip Record If.?；?Skip Record If.?1；?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?；?Skip Record If.?Skip Record If.?1；?Skip Record If.?1作业 P27 1（3）（6），P31 1（1）（6）（9）2（1）（3）一般?Skip Record If.?证明略例 8、例 9 结果可作为公式使用。?Skip Record If.?Skip Record If.?可证得此结论。和差化积公式练习：?Skip Record If.?4因为当?Skip Record If.?时，?Skip Record If.?一般?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?e2例 18，例 19 视情况选讲