【精编】近世代数复习.pdf

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1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.一、选择题(每题 2 分,共 16 分)1.若(),Gaord an,（）则下列说法正确的是2.假定是 A与()A AA间的一一映射,Aa,则)(1a和)(1a分别为3.若 G 是群,()18,aG ord a则8()orda4.指出下列那些运算是二元运算5.设12,nA AA和 D 都是非空集合,而f是12nAAA到 D 的一个映射,那么6.设是正整数集合N上的二元运算,其中max(,)a ba b,那么在Z中7.在群 G 中,Gba,则方程bax和bya分别有唯一解为8.设

2、H 是群 G 的子群,且 G 有左陪集分类,H aHbHcH.如果:6GH,那么 G9.设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 AB 中含有（）个元素。10.设 ABR(实数集)，如果 A 到 B 的映射：xx2，xR，则是从 A 到 B 的11.设 Z15是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。12、G是 12 阶的有限群，H是 G的子群，则 H的阶可能是13、下面的集合与运算构成群的是14、关于整环的叙述，下列正确的是15、关于理想的叙述，下列不正确的是16.整数环 Z 中，可逆元的个数是17.设 M2(R)=dcbaa

3、,b,c,dR，R 为实数域按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是18.设 Z 是整数集，(a)=为奇数时当为偶数时当a,21aa,2a，Za，则是R 的19、设 A=所有实数 x，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到 A 的一个子集的同态满射的是().20、设 是正整数集Z上的二元运算，其中max,a ba b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）21.设3S=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则3S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是()22、设,G为群，其中 G 是实数集，而乘法:a babk，这里k为G中固定

4、的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）23、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类,H aH bHcH。如果 H6,那么G的阶 G16.整数环 Z 中，可逆元的个数是().24、设12:fRR是环同态满射，()f ab，那么下列错误的结论为（）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.25.设 A=所有非零实数 x,A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集A的同态满射的是().26.在 3 次对称群 S3中，阶为 3 的元有().27剩余类环 Z6的子环有().28、设cba,和x都

5、是群 G 中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）二、填空题(每题 2 分,共 22 分）1.设,A B是集合,2,3AB,则可共定义个从 A到 B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射.2.设群 G,12,G若存在,aG()6,ord a则2()ord a,子群3()Ha在G 中的指数是 .3.设()Ga且11G,则群 G 的非平凡子群的个数为 .4.在模 9 的剩余类环90,1,2,3,4,5,6,7,8Z中,958 ,958 ,方程21x的所有根的集合为 .5.环120,1,2,3,4,567,8,9,10,11Z，的全部零因子为 .6.在 5 次对称群5S中,(14

6、)(135),1(12345),(352)ord .7.整数加群 Z 是一个循环群,它的生成元为 .8.设集合 1,0,1,ABa b,则AB .9.如果f是 A与A间的一一映射，a是 A的一个元，则aff1 .10.设集合 A有一个分类，其中iA与jA是 A的两个类，如果jiAA，那么jiAA .11.一个有限非交换群至少含有个元素.12.如果是集合 A 的元间的一个等价关系,ab 是两个等价类,则 ab 的充要条件是 .11.设 G 是 p 阶循环群(p 是素数),则 G 的生成元有个.12.群 G 的元a的阶是n,若d 是正整数r和n的最大公因子,则ra的阶是 .13.在无零因子环 R中

7、,如果对Rba,有0ab,那么必有 .14.某个非空集合上具有对称性、传递性和的一个二元关系是等价关系15.设 5-循环置换(31425),那么1 .16.设群 G 中元素a的阶为m,如果nae,那么m与n之间存在的关系为 .17.设集合,1,2Aa b cB,则有 BA .18.设集合 A有一个分类,其中iA与jA是 A的两个类,如果ijAA,那么ijAA .19.环120,1,2,3,4,567,8,9,10,11Z，的全部零因子为 .文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.3文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.20.在模 9 的剩余类环90,1,2,

8、3,4,5,6,7,8Z中,方程21x的所有根的集合为 .21.一个有限非交换群至少含有个元素.22.剩余类加群 Z12有_个生成元.23、设群 G 的元 a的阶是 n，则 ak的阶是 _.24.6 阶循环群有 _个子群.25、设 G 为群，aG，若12a，则8a_。26.模 8 的剩余类环 Z8的子环有 _个.27.设 A=a,b,c，则 A到 A的一一映射共有 _ 个.28、n 次对称群 Sn的阶是。29、9-置换728169345987654321分解为互不相交的循环之积是。30.剩余类环 Z6的子环 S=0,2,4，则 S 的单位元是 _.31.24中的所有可逆元是：_.32、凯莱定理

9、的内容是：任一个子群都同一个_同构。33.设()Ga为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G 同构于 _，（2）若a的阶为 n，则G同构于 _。34.在整数环中，23=_；35.设12,A A为群 G 的子群，则21AA是群 G 的子群的充分必要条件为 _。36、除环的理想共有 _个。37.剩余类环 Z5的零因子个数等于 _.38、已知12 3 4 53 12 5 4为5S上的元素，则1_。31.每一个有限群都与一个 _群同构。39.整数加群 Z 有_个生成元.40、设 Z11是整数模 11 的剩余类环，则 Z11的特征是 _.41.设群 G=e，a1，a2，an-1，运算为乘法，e 为 G

10、的单位元，则 a1n=_.42.剩余类环 Zn是域n 是_.43、设 Z7=0，1，2，3，4，5，6是整数模 7 的剩余类环，在 Z7 x 中,(5x-4)(3x+2)=_.三、判断题(每空 2 分,共 12 分)1.群中的元的阶都有限的群一定是有限群.2.如果H是群G的一个非空子集,则H是群G的子群的充分必要条件是,a bHabH.3.设 N 是群G的不变子群,则aGnNanna,有.4.设 H 是有限群G的子群,则 H 的左陪集个数与右陪集个数相等.5.如果一个集合 A的代数运算同时适合结合律和交换律,那么在12naaa里,元的次序可以掉换.6.域F的每一个元素皆有逆元.7.任意集合与其

11、真子集之间皆不能有一一映射存在.8.若12,HH都是群 G 的子群,则12HH也是群 G 的子群.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.4文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.9.整除关系是整环 Z 的元素间的一个等价关系.10.CS002是CM2的子域.11.循环群有且仅有一个生成元.12.无限群中存在阶是有限的元素.13.如果非空集合A的代数运算同时适合结合律和交换律,则在12naaa里,元的次序可以掉换.14.设环 R的加群是循环群,那么环 R必是交换环.15.设 H 是有限群G的子群,则 H 的左陪集个数与右陪集个数相等.16、设 A、B、D 都是

12、非空集合，则BA到 D 的每个映射都叫作二元运算。17、除环中的每一个元都有逆元。18、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则 G 与整数加群同构。19、如果群 G 的子群H是循环群，那么 G 也是循环群。20、域是交换的除环。21、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。22、设 f：GG是群G到群G的同态满射，aG，则 a与 f(a)的阶相同。23、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。24、循环群的子群也是循环群。25、整数环是无零因子环，但它不是除环。26、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。27、只要f是 A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。28、如果环R的阶2，那么

13、R的单位元 10。29、指数为 2的子群不是不变子群。（）30、有限群 G 中每个元素a的阶都整除群 G 的阶。31、对于环 R,若a是 R的左零因子,则a必同时是 R的右零因子.32、剩余类mZ是无零因子环的充分必要条件是m为素数.四、证明题（共 20 分)1.设,1abGa b c dZ adbccd,101xHxZ,证明:(1)G 对普通乘法做成群.(2)HG,但 H 不是 G 的正规子群.2.,(,)122nnmmZ nNm证明:集合关于数的加法运算和乘法运算构成整环3.,(,)1,.Ga bGam bn m nabbaabmn设是群,若证明：4.6.证明 阶交换群是循环群5.证明 4

14、Z 关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.6在群中,对任意,方程与都有唯一解.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.5文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.7全体可逆的阶方阵的集合()关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵.每个元素(即可逆矩阵)的逆元是的逆矩阵.8，。那么 H 是3S的一个子群。9一个群 G的一个不空有限子集H作成 G的一个子群的充分而且必要条件是：10 设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.是所有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合.则是的子群.11群的任何两个子群的交集也是的子群.12 设为的子群.则在

15、中左陪集的个数与右陪集的个数相同.13有限群的任一元素的阶都是群的阶数的因子.14 设与为群,是与的同构映射,则 (1)如果为的单位元,则为的单位元;(2)任给,为的逆元,即15如果是交换群,则的每个子群都是的正规子群.16 设为群的子群.若,那么.17 设,则.18群的任何两个正规子群的交还是的正规子群.19设为环.证明的中心是的子环.20设与是群,是到的满同态.如果是的正规子群,则是的正规子群.21设，的阶为，证明的阶是，其中。22设是循环群，G 与同态，证明是循环群。23 证明循环群的子群也是循环群。24假定和是一个群 G 的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，证明：的阶是。25假定 H

16、是 G的子群，N是 G的不变子群，证明 HN是 G的子群。26设是一个环,如果有单位元,则的单位元是唯一的.的单位元常记作.27、设R为实数集，,0a bR a，令(,):,a bfRR xaxbxR，将R的所有这样的变换构成一个集合(,),0a bGfa bR a，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。28全体偶数关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.29、设群 G的每个元素 x 都适合方程 x2=e，这里 e 是 G的单位元，求证：G是交换群。30 证明数集关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.31在一个无零因子环中,两个消去律成立.即设,如果,或,则.文档来源为

17、:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.6文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.32、群 G 的两个子群的交集还是G 的子群。33 证明为域.34、设 R 是阶大于 1 的交换环。证明：当R 不含零因子时，Rx 亦然。35 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。36、若 R环的特征为素数p,且 R可交换,则有,bppbabaRba,.37 如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。38、求证：若 a 生成一个 n 阶循环群 G，k 与 n 互素，则 ak也生成 G。39 设为的非空子集.证明:为的子环的充分必要条件时,存在非负整数,使

18、得40、求证：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环是一个除环。五、计算题(共 20 分)1.KleinK4求出四元群的所有子群.2 设按顺序排列的 13 张红心纸牌 A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K经一次洗牌后牌的顺序变为3,K,8,A,4,10,Q,J,7,5,6,2,9问:再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?3设为整数加群,求?:HZ4、找出3S，18Z的所有子群。5试举例说明，环xR中的 m次与 n 次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式.6 将表为对换的乘积.7.设 A是实数集,规定 A的元间的一个关系R如下:,0a bA aRbab.问 R是 A的元间的

19、等价关系？8.设60,1,2,3,4,5Z是模 6 的剩余类环,且6(),()f xg xZ.如果3()352,f xxx2()453g xxx,计算()(),()(),()()f xg xf xg x f x g x以及它们的次数.9 在6Z中,计算:(1);(2);(3);(4).10 试求12Z中的所有零因子与可逆元,并确定每个可逆元的逆元素.11、举例说明，非零因子的象可能会是零因子.。12 在12Z中,解下列线性方程组:13求18Z的所有子环.14、在中,求的全部根.15、指出2421011-0B,0012，CA中哪些元素是给定的环)(2FM的零因子.16.含有(n n为某个大于 1 的正整数)个元数集 S关于普通加法和乘法是否作成一个环？17、设(1),(12)H,求3S关于 H 的所有左陪集以及右陪集.六 简答题（10 分）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.7文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.1、等价关系2、运算律3、数环与环4、数域与域5、群的判定6、环的判定7、正规子群的判定8、除环的判定9、特殊映射的判定