2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学文4月23日版广州二模数学(文科)试题(包含答案).pdf

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1、2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)20124 本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 l20 分钟。注意事项：1答卷前。考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改

2、动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中 S是锥体的底面积，h 是锥体的高一、选择题：本大题共8 小题。每小题 5 分满分 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A 满足 A1，2，则集合 A 的个数为A4 B3 C2 D1 2已知 i 为虚数单位，复数1zai，22zi，且12|z|z|，则实数a的值为A2 B-

3、2 C2 或-2 D 2 或 03已知双曲线221yxm的虚轴长是实轴长的2 倍，则实数m的值是A 4 B14C14D-44某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分 l00 分)的茎叶图如图l，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83则xy的值为A7 B8 C9 D10 5已知向量OAuu u r=(3，-4)，OBuuu r=(6，-3)，OCuu u r=(m，m+1)，若ABuu u rOCuuu r，则实数 m 的值为A32B14C12D326 已知函数1xxf(x)ee(e 是自然对数的底数)，若2f(a)，则f(a)的值为A3

4、B 2 C1 D0 7已知两条不同直线m、l，两个不同平面、，在下列条件中，可得出的是A ml，l，l B ml，I，mCm l，l，mDml，m，l8下列说法正确的是A函数1f(x)x在其定义域上是减函数B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C命题“210 xR,xx”的否定是“210 xR,xx”D给定命题 P、q，若 Pq 是真命题，则P 是假命题9阅读图2 的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为A9 B10 C11 D12 10 已 知 实 数a，b 满 足22430aba，函 数1f(x)a sin xbcos x的最大值记为(a,b)，则(a,b)的最小值为A1 B2

5、C31D3二、填空题：本大题共5 小题。考生作答4 小题每小题5 分，满分 20 分。(一)必做题(11l3 题)11不等式2230 xx的解集是。12如图 3，A，B 两点之间有4 条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，2，3，4从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5 的概率是13已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，|OP|=2(点 O 为坐标原点)，点M(-1，0)，则 cosOPM的取值范围是(二)选做题(1415 题，考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点 A，B，C 按顺时针方向排列)的顶点 A,

6、B 的极坐标分别为(2，6)，(2，76)，则顶点 C 的极坐标为15(几何证明选讲选做题)如图 4，AB 是圆 O 的直径，延长 AB 至 C，使 BC=208，CD 是圆 O 的切线，切点为D，连接 AD，BD，则ADBD的值为三、解答题：本大题共 6 小题。满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16(本小题满分 12 分)已知函数f(x)(cos xsin x)(cos xsin x)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若02，02，且123f()，223f()，求sin()的值17(本小题满分l2 分)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示食物类型甲乙丙维生

7、索 C(单位 kg)300 500 300 维生素 D(单位 kg)700 100 300 成本(元 k)5 4 3 某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg、y kg、z kg(1)试以 x、y 表示混合食物的成本P；(2)若混合食物至少需含35000 单位维生素C 及 40000 单位维生素D，问 x、y、z 取什么值时，混合食物的成本最少?18(本小题满分14 分)某建筑物的上半部分是多面体MN-ABCD，下半部分是长方体ABCD-A1B1C1D1(如图 5)该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图6，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组

8、合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成(1)求线段 AM 的长；(2)证明：平面ABNM平面 CDMN；(3)求该建筑物的体积19(本小题满分14 分)已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：24xy有一个相同的焦点F1，直线 l：2yxm与抛物线 C2只有一个公共点(1)求直线 l 的方程；(2)若椭圆 C1经过直线 l 上的点 P，当椭圆 C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点 P的坐标20(本小题满分14 分)已知数列 na的前 n 项和为nS，对任意*nN，都有0na且122nnn(a)(a)S,令1nnnln abln a。(1)求数列 na的通项公式；(2)

9、使乘积12kbb.b?g g为整数的*k(kN)叫“龙数”，求区间 1，2012内的所有“龙数”之和；(3)判断nb与1nb的大小关系，并说明理由21(本小题满分l4 分)已知函数212f(x)ln xaxx,aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使得函数f(x)的极值大于 0?若存在，求 a的取值范围；若不存在，说明理由2012 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）参考答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对

10、解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共10 小题，每小题5 分，满分50 分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A C A B A D C D C B 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题，考生作答4 小题，每小题 5 分，满分2

11、0 分，其中1415 题是选做题，考生只能选做一题11.(-3,1)12.31 13.1,22 14.)32,32(15.2说明：第14 题答案可以是)(23232(Zkk，三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12 分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力）(1)解：)sin)(cossin(cos)(xxxxxfxx22sincos 2 分x2cos.4 分函数 f(x)的最小正周期为22T.6 分(2)解：由(1)得xxf2cos)(

12、.32)2(,31)2(ff，32cos,31cos.8 分20,20。322cos1sin2，35cos1sin2.10 分sincoscossin)sin(11 分3531323229524 12 分17.（本小题满分12 分）（本小题主要考查线性规划等知识，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识）(1)解：依题意得.345,100zyxPzyx 2 分由100zyx，得yxz100，代入zyxP345，得yxP2300.3 分(1)解：依题意知x、y、z 要满足的条件为.40000300100700.35000300500300,0,0,0zyxzyxzyx 6 分把yxz100代入方

13、程组得.25,502.0100,0,0yyxyxyx 9 分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A(37.5，25)10 分让目标函数Pyx3002在可行域上移动，由此可知yxP2300在 A(37.5，25)处取得最小值 11 分当)(5.37),(25),(5.37kgzkgykgx时，混合食物的成本最少.12分18（本小题满分14 分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）(1)解：作MO平面 ABCD，垂足为O，连接 AO，由于AB平面 ABCD，故ABMO.作ABMP，垂足

14、为P，连接 PO，又MMPMO，且MO平面 MPO，MP平面 MPO，AB平面 MPO.1 分由题意知MO=PO=AP=1，41AA，AD=2,2分在 RtPOM 中，222MOPOPM，3 分在 RtAPM中，322PMAPAM，4 分线段 AM的长为3.5 分(2)解：延长PO交 CD于点 Q，连接 MQ，由(1)知 AB 平面 MPO.MQ平面 MPO，MQAB.ABMN/，MQMN.6 分在 PMQ 中，2MPMQ，PQ=2，2224PQMQMP，MQMP.7 分MMNMP，MP平面 ABNM，MN平面 ABNM，MQ平面 ABNM 8 分MQ平面 CDMN，平面 ABNM 平面CDM

15、N.9 分(3)解法 1：作MPNP/1交 AB于点 P1，作MQNQ/1交 CD于点 Q1，由题意知多面体MN-ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥M-APQD 和N-P1BCQ1和一个直三棱柱MPQ-NP1Q1四棱锥 M-APQD 的体积为3212131311MOADAPV，10 分直三棱柱MPQ-NP1Q1的体积为222221212MNMQMPV，11 分多面体MN-ABCD 的体积为3102322221VVV.12 分长方体1111DCBAABCD的体积为3242413AABCABV.13 分建筑物的体积为31063VV.14 分解法 2：如图将多面体MN-ABCD 补成一个直三棱柱A

16、DQ-BCQ1，依题意知211CQBQDQAQ，11NQMQ，AD=2 多面体 MN-ABCD 的体积等于直三棱柱ADQ-BCQ1的体积减去两个等体积的三棱锥M-ADQ 和 N-BCQ1的体积2224ADDQAQ，90AQD.直三棱柱ADQ-BCQ1的体积为21211ABDQAQV4422，10 分三棱锥 M-ADQ 的体积为3121312MQDQAQV3112221 11 分多面体MN-ABCD 的体积为310324221VVV.12 分长方体1111DCBAABCD的体积为3242413AABCABV.13 分建筑物的体积为31063rV.14 分19.（本小题满分14 分）（本小题主要考

17、查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解法 1：由yxmxy4,22消去 y，得0482mxx.1 分直线 l 与抛物线C2只有一个公共点，04482m，解得 m=-4 3 分直线 l 的方程为y=2x-4 4 分解法 2：设直线 l 与抛物线C2的公共点坐标为),(00yx.由241xy，得xy21，直线 l 的斜率021|0 xykxx.1 分依题意得2210 x，解得40 x.2 分把40 x代入抛物线C2的方程，得40y.点),(00yx在直线 l 上，m424，解得 m=-4.3 分直线 l 的方程为y=

18、2x-4 4 分(2)解法 1：抛物线C2的焦点为)1,0(1F，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21FF.5 分设点)1,0(1F关于直线 l 的对称点为),(001yxF，则.42221,1210000 xyxy 7 分解得.1,400yx点)1,4(1F.8 分直线 l 与直线1:21yFF的交点为)1,23(0P.9 分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆 C1的长轴长4|2212121FFPFPFPFPFa，11 分其中当点P与点 P0重合时，上面不等式取等号当 a=2时，椭圆C1的长轴长取得最小值，其值为4.12 分此时椭圆C1的方程为13422xy，点 P的

19、坐标为)1,23(.14分解法 2：抛物线C2的焦点为)1,0(1F，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21FF.5 分设椭圆 C1的方程为)1(112222aaxay，6 分由11,422222axayxy消去 y，得.(*)0)16)(1()1(16)45(22222aaxaxa 7 分由0)16)(1)(45(4)1(1622222aaaa，8 分得020524aa.9 分解得42a.2a.11 分当 a=2时，椭圆C1的长轴长取得最小值，其值为4.12 分此时椭圆C1的方程为13422xy.13 分把 a=2 代入（*）方程，得1,23yx，点 P的坐标为)1,2

20、3(.14分20.（本小题满分14 分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识）(1)解：由于222)2)(1(2nnnnnaaaaS，当 n=1 时,2212111aaSa.1 分整理得02121aa，解得 a1=2 或 a1=-10na，21a.2 分当 n2 时，1nnnSSa22221212nnnnaaaa，3 分化简得01212nnnnaaaa，0)1)(11nnnnaaaa.0na，11nnaa.4 分数列na是首项为2，公差为1 的等差数列1)1(2nnan.5 分(2)解：)1ln()

21、2ln(lnln1nnaabnnn，kbbb?21)1ln()2ln(3ln4ln2ln3ln?kk2ln)2ln(k)2(log2k.6 分令mk)2(log2，则22mk（m为整数），7 分由2012221m，得201423m，10,4,3,2m.在区间 1，2012 内的 k 值为22,22,221032，8 分其和为)22()22()22(103292)222(10321821)21(292 9 分=2026 10 分(3)解法 1：1)1ln()1ln()1ln()2ln(nnnnbn，)1ln()2ln()2ln()3ln(1nnnnbbnn)2(ln)1ln()3ln(2?nnn

22、 11 分)2(ln2)1ln()3ln(22nnn 12 分)2(ln4)1)(3ln(22nnn)2(ln4)213ln(222nnn 13 分=1nnbb1.14 分解法 2：1)1ln()1ln()1ln()2ln(nnnnbn，)1ln()2ln()2ln()3ln(1nnnnbbnn=)1ln()2ln()2(ln)1ln()3ln(2?nnnnn 11 分)1ln()2ln()2(ln2)1ln()3ln(22nnnnn 12 分)1ln()2ln()2(ln2)1)(3ln(22?nnnnn)1ln()2ln()2(ln)213ln(21222?nnnnn 13 分=0nnbb

23、1.14分解法 3：设)2(ln)1ln()(xxxxf，则xxxxxxf2ln)1ln(1ln11)(.11分2x，0)1ln(1ln1)1ln(1ln11xxxxxxxx.0)(xf.12分函数 f(x)在),2上单调递减*Nn，212nn.)1()2(nfnf.)1ln()2ln()2ln()3ln(nnnn.13 分nnbb1.14 分21（本小题满分14 分）（本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）(1)解：函数 f(x)的定义域为),0(.1 分xxaxaxxxf111)

24、(2.2 分当 a=0 时，xxxf1)(，0)(,0 xfx函数 f(x)单调递增区间为),0(.3 分当0a时，令 f(x)=0得012xxax，01,02xaxx.a41.(i)当0，即41a时，得012xax，故0)(xf，函数 f(x)的单调递增区间为)0(，.4 分(ii)当0，即41a时，方程012xax的两个实根分别为aaxaax2411,241121.5 分若041a，则0,021xx，此时，当),0(x时，0)(xf.函数 f(x)的单调递增区间为),0(，6 分若 a0，则0,021xx，此时，当),0(2xx时，0)(xf，当),(2xx时，0)(xf，函数 f(x)的

25、单调递增区间为)2411,0(aa，单调递减区间为),2411(aa.7 分综上所述，当a0 时，函数f(x)的单调递增区间为)2411,0(aa，单调递减区间为),2411(aa：当0a时，函数f(x)的单调递增区间为),0(，无单调递减区间8 分(2)解：由(1)得当0a时，函数f(x)在(0，+)上单调递增，故函数f(x)无极值；9 分当 a0 时，函数f(x)的单调递增区间为)2411,0(aa，单调递减区间为),2411(aa；则 f(x)有极大值，其值为2222221ln)(xaxxxf，其中aax24112 10 分而01222xax，即1222xax，21ln)(222xxxf

26、.11 分设函数)0(21ln)(xxxxh，则0211)(xxh，12分则21ln)(xxxh在),0(上为增函数又 h(1)=0，则 h(x)0等价于 x1021ln)(222xxxf等价于12x.13分即在 a0 时，方程012xax的大根大于1，设1)(2xaxx，由于)(x的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴021ax，则只需0)1(，即 a-1-10 解得 a0，故实数 a 的取值范围为(0，2)14 分说明：若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1 分1由于aaa212411aaa2141212aa41212在),0(是减函数，而12411aa时，a=2，故12411aa的解集为（0，2），从而实数a的取值范围为(0，2)2解不等式12411aa，而 a0，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为(0，2).